Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

2 Wechselwirkung hochenergetischer Elektronen mit Kristallen
2.5.3 Reflexintensität und Strukturfaktor
Die Bragg-Reflexe entstehen bei näherer Betrachtung durch die Streuung der Elektronenwelle
an den Coulomb-Potenzialen, die sich im Kristall an den Atompositionen r = R + rj befinden.
Das Streuvermögen eines einzelnen Atoms j wird mit der atomaren Streuamplitude f j ( k ′ − k)
charakterisiert, welche die Wahrscheinlichkeit eines Elektrons mit dem Wellenvektor k angibt,
am Atom j mit dem Potenzial V (rj) in Richtung k ′ gestreut zu werden [20]. Das Streuvermögen
einer einzelnen EZ resultiert weiter mit der Summe aller atomarer Streuamplituden f j ( k ′ − k)
und wird mit dem Strukturfaktor Fhkl formuliert. Ferner beschreibt die Gitteramplitude G mit
der Summe über alle direkten Gittervektoren R den Einfluss des endlich ausgedehnten Kristalls
Ω. Diese Größen ergeben sich aus der Fourier-transformierten Amplitude A(q) der gestreuten
Elektronenwelle [33]:
A(q) ∝
f j ( k ′ − k)e −i2π(k ′ −k)·(
R+rj)
= f j ( k ′ − k)e −i2π(k ′ −k)·rj
e −i2π(k ′ −k)· R
.
j∈EZ R∈Ω
j∈EZ
:=Fhkl
(2.17)
Die Bragg-Intensität berechnet sich dann mit dem Strukturfaktor und der Gitteramplitude zu
R∈Ω
:=G
I(q) = |A(q)| 2 ∝ |Fhkl| 2 |G| 2 . (2.18)
Die Intensität ist damit proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors. Mit der Bragg-
Bedingung 2.13 treten allerdings nur Bragg-Reflexe dort auf, wo die Ewald-Kugel reziproke
Gittervektoren schneidet. Bei strikter Einhaltung dieser Bedingung könnten aber nicht so viele
Reflexe angeregt werden, wie beispielsweise in Abb. 2.5(b) tatsächlich beobachtet werden. Die
dennoch auftretenden Reflexe lassen sich dabei auf die endliche Größe des Kristalls zurückführen.
Daher wird ein Anregungsfehler s eingeführt, so dass die Bragg-Bedingung für den Differenzvektor
aus Gl. 2.14 k ′ − k = g + s aufgeweicht wird [33, 20]. Die Gitteramplitude aus Gl. 2.17
setzt sich aufgrund der drei Kristallrichtungen aus einer Dreifachsumme zusammen. Für sehr
viele Einheitszellen werden diese im Grenzfall zu einem Dreifachintegral, deren Grenzen über
das gesamte Kristallvolumen Ω = LxLyLz mit Li = Miai gehen. Wird nun der Anregungsfehler
in die Gitteramplitude von Gl. 2.17 eingesetzt, wird aus Gl. 2.18:
I(q) ∝ |Fhkl| 2 |G| 2 = |Fhkl| 2 sin2 (πsxM1a1)
(πsxa1) 2
sin2 (πsyM2a2)
(πsya2) 2
sin2 (πszM3a3)
(πsza3) 2 . (2.19)
Mi gibt dabei die Anzahl der Einheitszellen mit den Komponenten der Basisvektoren ai in die
i-te Richtung an [33].
Ist die laterale Ausdehnung des Kristall (x, y)max → ∞ sehr groß, können in x- und y-Richtung
nur noch für sehr kleine Anregungsfehler sx,y ≈ 0 Beugungsreflexe angeregt werden, was der
Bragg-Bedingung von Gl. 2.13 entspricht. Dieser Sachverhalt ist mit der schmalen Sinusfunktion
in Abb. 2.6(a) illustriert. Es ergibt sich hingegen für eine dünne Probe in z-Richtung mit dem
in Abb. 2.6(b) illustrierten, breiten Bereich eine größere Anzahl von angeregten Punktreflexen,
was z.B. dem in Abb. 2.5(b) gezeigten Beugungsbild entspricht [20, 33]. Der Sinusverlauf für
den Anregungsfehler in z-Richtung ist auch in Grafik 2.4(b) links unten skizziert.
2.5.4 Debye-Waller-Faktor
Wegen den stets auftretenden, thermischen Oszillationen der Atomrümpfe, die im Kristall in ihrer
Gesamtheit als Phononen beschrieben werden, wird bei der Betrachtung des idealen Kristalls
22