Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

A Anhang
A.1 Grundlagen der Fourier-Transformation
Dieser Abschnitt befasst sich mit der Definition und den für die Arbeit wichtigen Theoremen der
Fourier-Transformation (FT). Die Koordinaten r = (x, y) stellen die realen Längen bzw. Pixel
im Bild dar (Realraum) und das Koordinatenpaar k = (kx, ky) die zugehörigen Raumfrequenzen
im Spektrum oder die reziproken Gitterpunkte im Beugungsbild.
• Die Definition der zweidimensionalen FT ist [44]
F {f(r)} = 1
∞
√
2π
Die Rücktransformation erfolgt mit
f(r) = 1
√ 2π
∞
−∞
−∞
f(r) · e −i2π k·r d 2 r. (A.1)
F {f(r)} · e i2π k·r d 2 k. (A.2)
Diese Transformationen können auf ein beliebiges Signal bzw. eine beliebige, nicht periodische
Funktion angewendet werden. Dabei wird angenommen, dass das nicht-periodische
Signal eine unendlich große Periodenlänge besitzt [44]. Im Gegensatz zur diskreten Fourier-
Reihenentwicklung beschreibt diese Integraltransformation eine kontinuierliche Überlagerung
von allen harmonischen Oszillationen mit den Frequenzen k. F {f(r)} kann demnach
als eine spektrale Dichtefunktion einer in f(r) vorkommenden, spektralen Verteilung aufgefasst
werden.
• Eine wichtige Rechenregel ist darüber hinaus mit der Linearität gegeben [44]:
F {a · f(r) + b · g(r)} = a · F {f(r)} + b · F {g(r)} . (A.3)
• Faltungstheorem [44]:
F {f(r)} · F {g(r)} = f(r)e −i2π
k·r 2
d r
=
u= R+r
g( R)e −i2π k· R d 2 R =
f(r)g(u − r)e −i2π k·u d 2 r d 2 u =
e −i2π k·u
f(r)g( R)e −i2π k·( R+r) d 2 r d 2 R
f(r)g(u − r)d 2
r d
Faltung=:f⊗g(u)
2 u
=F {f ⊗ g} , da Gl. A.1 gilt. (A.4)
Das Ergebnis des Faltungstheorems ermöglicht es, numerisch aufwändige Faltungsintegrale
von zwei Funktionen g und f im Realraum r mit einer einfachen Multiplikation beider FTs
F {g(r)} bzw. F {f(r)} im Frequenzraum k zu ersetzen. Eine anschließende Rücktransformation
nach Gl. A.2 führt auf das Faltungsergebnis im Realraum r.
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