Bestimmung der Modulationstransferfunktion einer CCD-Kamera ...

ky (nm −1 )
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
kx (nm −1 −20 −10 0 10
)
(a) Simuliertes Beugungsbild von GaAs.
2.6 Dynamische Beugungstheorie und Elektron-Phonon-Streuung
ky (nm −1 )
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
kx (nm −1 −10 −5 0 5 10
)
(b) Vergrößerung der Bragg-Reflexe des nebenstehenden
Beugungsbildes.
Abbildung 2.7: Beide Bilder zeigen ein mit STEMsim [30] und mittels der Multislice-Methode simuliertes
Beugungsbild einer an GaAs elastisch gestreuten Elektronenwelle in 〈100〉-ZA-Orientierung. Die Probendicke
ist 140nm. Die Intensität ist in beiden Aufnahmen logarithmisch aufgetragen, so dass der überall
vorliegende TDS-Hintergrund deutlich hervortritt. Zudem zeigen sich im Hintergrund die im Abschn. 2.5.2
erläuterten Kikuchi-Bänder.
resultiert.
2.6.2 Hochenergie-Näherung für Elektronen und die Multislice-Lösung
Ein Ansatz, um die Streuung hochenergetischer Elektronen am Kristall zu erfassen, ist das
Multislice-Verfahren. Das Prinzip besteht darin, den Kristall in Schichten (engl. Slices) zu unterteilen
und die Elektronen schrittweise durch diese in Nahfeld-Näherung gemäß Gl. 2.7 propagieren
zu lassen (s. Abschn. 2.3).
Ein Zugang zur mathematischen Beschreibung hochenergetischer Elektronen ist zunächst die
relativistische Energie-Impuls-Beziehung aus Gl. 2.4. Wird dort gemäß des Korrespondenzprinzips
der Quantenmechanik die Energie mit E → E + ˆ V (r) und der Impuls mit ˆp = −i∇ ersetzt,
gelangt man zur Klein-Gordon-Gleichung, die nach Ferwada et al. gegeben ist mit [40]:
∆ + 4π 22 k
ψ(r) = −4π 22eE ˆ V (r) + e2Vˆ 2 (r)
h2c2 ψ(r)
= −4π 2 ÛE(r)ψ(r) mit ÛE(r) = 2eE ˆ V (r)
h 2 c 2 . (2.23)
Der Wellenvektor k ist der eintretenden Elektronenwelle zugeordnet. E entspricht weiterhin der
Elektronenenergie und ˆ V (r) dem ortsabhängigen Kristallpotenzial. Der quadratische Term kann
aufgrund der erheblich höheren Elektronenenergie gegenüber dem Potenzial mit 2eE ˆ V (r) ≫
e 2 ˆ V 2 (r) vernachlässigt werden [39]. Verwendet man nun als Ansatz eine ebene Welle mit z als
Ausbreitungsrichtung gemäß ψ(r) = ˆ ψ(r)·e i2πk·z und der ortsabhängigen Amplitude ˆ ψ(r) erhält
die Klein-Gordon-Gleichung mit der Auftrennung des Laplace-Operators in seine lateralen und
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