Primordiale Schwarze Löcher im inflationären Universum

2.1. KLASSISCHE BEHANDLUNG 37
PSfrag replacements
r = const.
III
t = const.
II
T
IV
r = 0
Singularität
I
Singularität
r = 0
X
r = const.
Abb. 2.1: Kruskal-Diagramm der erweiterten Schwarzschild-Mannigfaltigkeit.
Die Region I stellt unser Universum dar und wird durch die Standardkoordinaten
der Schwarzschild-Metrik mit r > RS beschrieben.
lediglich als Koordinaten-Artefakt: Kruskal fand eine Koordinatentransformation
(t, r) → (T, X), mit der Singularitäten (außer im Ursprung) vermieden
werden und bei der für radiale Lichtstrahlen
dT = ±dX (2.3)
wie im flachen Raum gilt. Die Kruskal-Koordinaten decken nun im Gegensatz
zu den Schwarzschild-Koordinaten die gesamte Raumzeit ab 1 , wie dies
in Abb. 2.1 dargestellt ist. Die Region I entspricht dabei dem durch die
Schwarzschildmetrik für r > RS beschriebenen Bereich. Man erkennt, daß
die Singularität bei r = 0 raumartig ist – also keinen Ort, sondern eine
bestimmte Zeit beschreibt. In der vollen Kruskal-Mannigfaltigkeit gibt es
sogar zwei dieser Singularitäten – eine in der Vergangenheit und eine in der
Zukunft aller Beobachter der Region I oder III.
Wegen der Eigenschaft (2.3) verlaufen radiale Lichtstrahlen in der Abbildung
2.1 wie im Minkowski-Raum auf geraden Linien mit einer Steigung von
1 Sie sind genauer gesagt die maximale analytische Erweiterung der Schwarzschild-
Mannigfaltigkeit (die durch die Schwarzschildkoordinaten mit r > RS beschrieben wird),
d.h. jede Geodätische kann entweder bis zum Wert ∞ ihres affinen Parameters verfolgt
werden oder trifft vorher auf eine Singularität.