Primordiale Schwarze Löcher im inflationären Universum

2.2. QUANTENASPEKTE 43
Verfolgt man aus J − einfallende Moden durch den kollabierenden Stern,
so ergibt sich im wesentlichen nur für diejenigen Moden eine auf J + asymptotisch
andere Form als die einfallende, die gerade noch J + erreichen und
nicht in der Singularität landen (In Abbildung 2.4 sind sie gestrichelt dargestellt).
Drückt man die ausfallenden Moden ˜ fωlm := fωlm(J + ) positiver Frequenz
nun wieder durch die einlaufenden Kugelwellen fωlm(J − ) aus, so sieht
man, daß sie diese ursprünglichen Moden sowohl mit positiver als auch mit
negativer Frequenz enthalten. Eine solche Mischung positiver und negativer
Frequenzen ist aber äquivalent dazu, daß der Vakuumserwartungswert
des Teilchenzahloperators nicht erhalten ist: 〈0| ã †
ωlmãωlm |0〉 =
〈0| a †
ωlmaωlm |0〉 = 0, wobei ãωlm die zu ˜ fωlm gehörenden Vernichtungsoperatoren
bezeichnet. Diese Teilchenproduktion läßt sich letztendlich darauf
zurückführen, daß man (ähnlich wie bei der Anwesenheit starker elektrischer
Felder) keinen eindeutig bestimmten Begriff vom Vakuum mehr hat
– insbesondere stimmen die auf J − und J + definierten Vakua nicht mehr
überein. In dem hier betrachteten Fall findet man schließlich für die Teilchenproduktion
pro Zeiteinheit wie schon erwähnt eine Planck-Verteilung mit der
Temperatur (2.5).
Die Strahlung eines Schwarzen Loches hat weitreichende Konsequenzen.
Nimmt man für die Strahlungsleistung der Einfachheit halber ein Stefan-
Boltzmann-Gesetz an, so findet man beispielsweise, daß die Masse m des
Schwarzen Loches mit
dm
dt ∝ −R2 S · T 4 ∝ − 1
m 2
(2.9)
abnimmt. Daraus ergibt sich eine endliche Lebenszeit Schwarzer Löcher von 3
tevap ≈ 10 65
−2 m
y. (2.10)
M⊙
Die in diesem Abschnitt beschriebenen Resultate sind auch noch in
einem anderen Zusammenhang interessant. Rein klassisch gesehen lassen
sich nämlich für Schwarze Löcher Sätze beweisen, die genau den Haupsätzen
der Thermodynamik entsprechen, wenn man ihnen formal eine Temperatur
3 Dies gilt natürlich nur, solange man den Einfluß der Massenzunahme durch Akkretion
umliegender Materie vernachlässigen kann. Schwarze Löcher astrophysikalischen Ursprungs
beispielsweise haben eine Temperatur von weniger als einem Mikro-Kelvin, siehe
(2.5), nehmen also allein schon aufgrund der Hintergrundstrahlung deutlich mehr Strahlung
auf als sie abgeben. Da die Hintergrundstrahlung in einem expandierenden Universum
aber immer weiter abnimmt, werden auch diese Schwarzen Löcher irgendwann zerstrahlt
sein (vorausgesetzt, das Universum kollabiert nicht vorher).