10. Schulst. (alle)

ab Ende der 10. Schulstufe 

ALLGEMEINE SINUSFUNKTION_1 

Die Abbildung zeigt die Graphen f, g1, g2 und g3 von Funktionen der Form g(x) sin(x + c) 

= . 

a) Ordne die Funktionsgraphen g1, g2 und g3 den entsprechenden Funktionsgleichungen 

f1, f2 und f3 zu. 

f1 ( x) 

f2( x) 

f3 ( x) 

= 

= 

= 

Funktionsgleichung Graph 

sin( x 

sin( x 

sin( x 

+ 

− 

2) 

2) 

+ 1) 

b) Kreuze die richtigen Aussagen an 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der positiven x-Achse. 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der positiven y-Achse. 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der negativen x-Achse. 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der negativen y-Achse. 

sin( x + c) 

mit c < 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der negativen y-Achse. 

sin( x + c) 

mit c < 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der positiven x-Achse. 

keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich 

Allgemeine Sinusfunktion_1 1

a) 

b) 

f1 ( x) 

f2( x) 

f3 ( x) 

Möglicher Lösungsweg 

Funktionsgleichung Graph 

= sin( x + 2) 

g3 

= sin( x − 2) 

g1 

= sin( x + 1) 

g2 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der positiven x-Achse. 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der positiven y-Achse. 

⊠ sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der negativen x-Achse. 

sin( x + c) 

mit c > 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der negativen y-Achse. 

sin( x + c) 

mit c < 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der negativen y-Achse. 

⊠ sin( x + c) 

mit c < 0 bewirkt Verschiebung um c in Richtung der positiven x-Achse. 


Klassifikation 

Bezug zu Grundkompetenzen des sRP-Konzepts 

Die Aufgabe geht über die sRP-Grundkompetenzen hinaus, ist aber als Unterrichtsaufgabe wegen 

der Anwendungsmöglichkeiten in der Physik sehr geeignet. 

Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension 

a) H2 • mit und in Tabellen oder Grafiken operieren 

b) H3 • zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen 

a) 

b) 

a) 

b) 

Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension 

I2 • Einfluss von Parametern 

Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension 

K1 • Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten 

Kommentar 

Die vorliegende Aufgabe ist als Unterrichtsaufgabe (in Form einer Partnerarbeit) zum Erarbeiten bzw. 

Vertiefen neuer Inhalte vorstellbar. 

Die Lösung kann durch einfachen Vergleich der drei Funktionsgraphen aber auch durch Erstellen einer 

Wertetabelle begründet werden. 




Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der folgenden Funktionen: 

f(x) = sin(x) 

g1 (x) = sin(2x) 

g2 (x) = sin(x) + 2 

g3(x) = 2 ⋅ sin(x) 

Kreuze die richtigen Aussagen (jeweils für a > 1) an: 

Veränderung gegenüber der Funktion 

f(x) = sin(x) 

Funktionsgleichung 

g(x) = 

sin( a ⋅ x) 

sin( x) 

+ a a ⋅ sin( x) 

Verschiebung um a in der x-Richtung □ □ □ 

Verschiebung um –a in der x-Richtung □ □ □ 

Verschiebung um a in der y-Richtung □ □ □ 

Verschiebung um –a in der y-Richtung □ □ □ 

Streckung auf das a-fache in der x-Richtung □ □ □ 

Streckung auf der a-fache in der y-Richtung □ □ □ 

Stauchung auf das 1/a-fache in der x-Richtung □ □ □ 

Stauchung auf das 1/a-fache in der y-Richtung □ □ □ 



Veränderung gegenüber der Funktion 

f(x) = sin(x) 


Funktionsgleichung 

g(x) = 

sin( a ⋅ x) 

sin( x) 

+ a a ⋅ sin( x) 

Verschiebung um a in der x-Richtung □ □ □ 

Verschiebung um –a in der x-Richtung □ □ □ 

Verschiebung um a in der y-Richtung □ ⊠ □ 

Verschiebung um –a in der y-Richtung □ □ □ 

Streckung auf das a-fache in der x-Richtung □ □ □ 

Streckung auf der a-fache in der y-Richtung □ □ ⊠ 

Stauchung auf das 1/a-fache in der x-Richtung ⊠ □ □ 

Stauchung auf das 1/a-fache in der y-Richtung □ □ □ 




2. Funktionale Abhängigkeiten 

Sinusfunktion, Cosinusfunkion 

• Grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art 

f(x) = a ⋅ sin(b ⋅ x) als Allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; 

zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können 

• Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können 


H3 • zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen 





Kommentar 

Das vorliegende Beispiel ist zum Erarbeiten neuer Inhalte in einem schülerzentrierten Unterricht oder 

einer Partnerarbeit geeignet. 

Die Aufgabe versteht sich in ihrer Konzeption als Fortführung des Gedankens der elementaren 

Transformationen von Funktionen [f(x)+c, f(x+c), c.f(x), –f(x), f(–x)], der bereits ab der 9. Schulstufe 

eine zentrale Rolle im kompetenzorientierten Mathematikunterricht spielt. 




Die Abbildung zeigt die Graphen f1, f2, f3 von Funktionen der Form f(x) sin(b ⋅ x) 

f1 (x) = sin(x) 

f2 (x) = sin(2x) 

(x) 

f 3 

⎛ x ⎞ 

= sin⎜ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Bestimme jeweils die primitive (kleinste) Periode p. 

= . 



f1 : p = 2π 

f2 : p = π 

f3 : p = 4π 










H3 • Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext 

deuten 

I2 


• wichtige Funktionseigenschaften (z.B. Nullstelle, Monotonie, Extremwert, Wendepunkt, 

Periodizität, Symmetrie) 

• Einfluss von Parametern 



Kommentar 

Das Beispiel ist geeignet für einen schülerzentrierten Unterricht; der Begriff „primitive Periode“ muss 

bereits geläufig sein und soll durch die Interpretation der Funktionsgraphen vertieft werden. 

Erweiternd kann eine allgemeine Formel für die primitive Periode erarbeitet werden. 




Die Abbildung zeigt den Graphen f einer Funktion der Form f( x) 

= a ⋅ sin( b ⋅ x) 

. 

Bestimme die Werte der Parameter a und b und begründe deine Entscheidung. 

Gib die Funktionsgleichung an. 



a = 3 (Streckung auf das 3-fache in y-Richtung) 

b = 2 (Stauchung auf das ½ -fache in x-Richtung bzw. primitive Periode p = π) 

f( x) 

= 3 ⋅ sin( 2x) 





H3 

H4 






• Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext 

deuten 

• mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten 

mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten 

Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen 





Kommentar 

Da die Wirkung der Parameter a und b im Wesentlichen bereits bekannt sein muss, ist das vorliegende 

Beispiel zur Wiederholung bereits bekannten Lehrstoffes, als Diagnoseinstrument oder als Testaufgabe 

gedacht. Als die am besten geeignete Arbeitsform kann daher die Einzelarbeit betrachtet werden. 




Die Abbildung zeigt den Graphen f einer Funktion der Form f ( x) 

= a ⋅ sin( x + c) 

. 

Bestimme die Werte der Parameter a und c und begründe deine Entscheidung. 

Gib die Funktionsgleichung an. 



a = 2 (Streckung auf das Doppelte in y-Richtung) 

c = 2 π 

− (Verschiebung um 2 π in der x-Richtung) 

f ( x) 

H3 

H4 

⎛ π ⎞ 

= 2 ⋅ sin⎜ 

x − ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 



Die Aufgabe geht über die sRP-Grundkompetenzen hinaus, ist aber als Unterrichtsaufgabe 

wegen der Anwendungsmöglichkeiten in der Physik sehr geeignet. 



deuten 








Kommentar 

Die Aufgabe ist eine Unterrichtsaufgabe, um die Auswirkungen von Parametern auf den Verlauf von 

Funktionsgraphen zu untersuchen. 



AUSZEICHNUNG 1 

In einer bestimmten Klasse haben am Ende des Schuljahres 3 der 13 Burschen und 5 

der 12 Mädchen einen ausgezeichneten Erfolg. Der Klassenvorstand kontrolliert noch 

einmal die Zeugnisse. 

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Zeugnis einer zufällig ausgewählten 

Schülerin eine Auszeichnung enthält? 

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Zeugnis mit 

einer Auszeichnung einem Mädchen gehört? 

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Zeugnis einer 

Schülerin mit Auszeichnung gehört? 

Erweiterung: 

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Zeugnis einem 

Mädchen gehört oder eine Auszeichnung enthält? 

keine Hilfsmittel erlaubt gewohnte Hilfsmittel möglich besondere Technologie erforderlich 

Auszeichnung_1 1


Burschen Mädchen Summe 

Auszeichnung 3 5 8 

keine 

Auszeichnung 

10 7 17 

Summe 13 12 25 

a) P(Auszeichnung | Mädchen) = 5 = 0, 

417 

12 

b) P(Mädchen | Auszeichnung) = 5 = 0, 

625 

8 

c) P(Mädchen ∧ Auszeichnung) = 5 = 1 = 0, 

2 

25 5 

Erweiterung 

d) P(Mädchen ∨ Auszeichnung) = 

= P(Mädchen) + P(Auszeichnung) - P(Mädchen ∧ Auszeichnung) = 

= 12 + 

8 − 5 = 15 = 3 = 0, 

6 

25 25 25 25 5 

Auszeichnung_1 2



4. Wahrscheinlichkeit und Statistik 

Wahrscheinlichkeit 

a) 

b) 

c) 

d) 

a) 

b) 

• Wahrscheinlichkeit als Instrument zur Modellierung des Zufalls angemessen 

verwenden bzw. deuten können; Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil und als 

relative Häufigkeit in einer Versuchsserie anwenden und interpretieren können 

• Begriff und Schreibweise bedingter Wahrscheinlichkeiten kennen und interpretieren 

können; bedingte Wahrscheinlichkeiten sowie Additions- und Multiplikationsregel 

intuitiv anwenden können 


H2 • elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und 

durchführen 


I4 • abhängige und unabhängige Ereignisse; bedingte Wahrscheinlichkeit 

c) I4 • Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil, als relative Häufigkeit 

d) I4 • Baumdiagramme; Additions- und Multiplikationsregel 

a) 

b) 

c) 

d) 



Kommentar 

Die Lösungen der Teilaufgaben a), b) und c) zeigen, dass sich bzw. wie sich Wahrscheinlichkeitswerte 

je nach Informationsstand (nach betrachteter Grundgesamtheit) ändern. 

Teilaufgabe d) ist eine Anwendung der Additionsregel, die über reine Grundkompetenzen hinausgeht. 

Sie wurde als Erweiterung aufgenommen, um zu zeigen, wie scheinbar geringfügige Änderungen in der 

Formulierung beträchtliche Auswirkungen auf den Lösungsweg haben können. Wurden bisher die 

Antworten direkt der Angabe entnommen, so ist hier erstmals die Anwendung einer Formel erforderlich. 

Auszeichnung_1 3


AUSZEICHNUNG 2 

In einer bestimmten Klasse haben am Ende des Schuljahres 3 der 13 Burschen und 

5 der 12 Mädchen einen ausgezeichneten Erfolg. Der Klassenvorstand kontrolliert noch 

einmal die Zeugnisse. 

Zu dieser Ausgangssituation werden in einer Hausübung vier Fragen gestellt: 

A Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 

dass das Zeugnis einer zufällig 

ausgewählten Schülerin eine 

Auszeichnung enthält? 

B Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 

dass ein zufällig ausgewähltes 

Zeugnis mit einer Auszeichnung 

einem Mädchen gehört? 

C Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 


Zeugnis einer Schülerin mit Auszeichnung 

gehört? 

D Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 


Zeugnis einem Mädchen gehört 

oder eine Auszeichnung enthält? 

1 P(Mädchen ∧ Auszeichnung) = 

2 P(Mädchen ∨ Auszeichnung) = 

3 P(Mädchen | Auszeichnung) = 

4 P(Auszeichnung | Mädchen) = 

Welche verbale Formulierung passt zu welcher mathematischen Schreibweise? 

Bilde passende Paare: 

A B C D 

Auszeichnung_2 1


A 4 B 3 C 1 D 2 






können; bedingte Wahrscheinlichkeiten sowie Additions- und Multiplikationsregel intuitiv 

anwenden können 


H1 • alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen 





Kommentar 

Die Aufgabe überprüft vor allem die Kenntnis der mathematischen Fachsprache (Sprechweisen, 

Schreibweisen und Symbole). 

Auszeichnung_2 2


BEGRENZTES WACHSTUM 

In einem Reservat wächst eine Tierherde von 200 Tieren (N0) in einem Zeitraum(t) von 5 

Jahren um 50 Tiere an. Man geht davon aus, dass der Lebensraum der Tiere einen 

Grenzwert (G) von 1000 Tieren ohne Schädigung aushält. 

N0 

G 

Als Wachstumsfunktion legt man dieser Annahme die Funktion N(t) 

λ 

t 

N0 

(G N0 

) e 

zu Grunde (λ 0,0575) . 

a) Ergänze die Tabellen und trage gerundete Werte ein. 

t 0 10 20 30 40 50 60 

N(t) 308 441 584 714 816 887 

N(t) 133 143 130 102 71 

t 60 70 80 90 100 110 120 

N(t) 887 933 961 978 993 996 

N(t) 56 28 27 3 

b) Zeichne den Funktionsgraphen von N(t) in das vorgegebene Koordinatensystem. 


Begrenztes Begrenztes Wachstum.doc 1

c) Ab welchem Zeitpunkt beginnt sich die Zunahme zu verlangsamen? 

Schätze den Wert und markiere diesen Zeitpunkt in der Graphik. 

d) Begründe diese Wahl. 

a) 

b) 


t 0 10 20 30 40 50 60 

N(t) 200 308 441 584 714 816 887 

N(t) 108 133 143 130 102 71 

t 60 70 80 90 100 110 120 

N(t) 887 933 961 978 987 993 996 

N(t) 56 28 27 9 6 3 

c) Im Intervall [20,30], also vielleicht nach ca. 25 Jahren. 

d) Weil in diesem Intervall N(t) am größten ist. 





Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften 

Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge 

wechseln können 


a) H2 numerische Rechenverfahren durchführen (z. B. Rechnen mit Dezimalzahlen, 

Brüchen, Potenzen usw.) 

b) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, 

grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform 

übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln 

c) H2 Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden, näherungsweise rechnen 

d) H4 die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische 

Sichtweise problembezogen argumentativ belegen 

a) 

b) 

c) 

d) 

a) 

b) 

c) 

d) 


I2 

I2 

Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.B. Text, Tabelle, Graph, Term, 

Gleichung, Parameterform, rekursive Darstellung) 

wichtige Funktionseigenschaften (z.B. Nullstelle, Monotonie, Extremwert, 

Wendepunkt, Periodizität, Symmetrie) 


K2 Herstellen von Verbindungen 

Kommentar 

Durch das Ermitteln von fehlenden Werten und das Erstellen eines Graphen wird eine Verbindung zur 

anwendungsorientierten Mathematik hergestellt. 

Der Umgang mit verschiedenen mathematischen Methoden wird angeregt. 

Der Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern, CAS oder PC ist vorteilhaft. 



BEGRIFF DES LOGARITHMUS 1 

In Lisas Schulübungsheft findet man folgende richtige Zeilen: 

5 log 25 = x 

x = 2 

a) Kreuze an, ob die jeweilige Äquivalenz richtig oder falsch ist. 

Aussage richtig falsch 

r log s = t ⇔ s t = r 

r log s = t ⇔ s r = t 

r log s = t ⇔ r s = t 

r log s = t ⇔ r t = s 

r log s = t ⇔ t r = s 

r log s = t ⇔ t s = r 

b)Kreuze an, ob die jeweilige Aussage richtig oder falsch ist. 

Den Logarithmus berechnen heißt richtig falsch 

die Basis einer Potenz bestimmen. 

den Exponenten einer Potenz bestimmen. 

den Wert einer Potenz bestimmen. 


Begriff des Logarithmus 1 1

a) 

b) 


Aussage richtig falsch 

r log s = t ⇔ s t = r ⊠ 

r log s = t ⇔ s r = t ⊠ 

r log s = t ⇔ r s = t ⊠ 

r log s = t ⇔ r t = s ⊠ 

r log s = t ⇔ t r = s ⊠ 

r log s = t ⇔ t s = r ⊠ 

Den Logarithmus berechnen heißt richtig falsch 

die Basis einer Potenz bestimmen. ⊠ 

den Exponenten einer Potenz bestimmen. ⊠ 

den Wert einer Potenz bestimmen. ⊠ 




1. Algebra und Geometrie 

Grundbegriffe der Algebra 

Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, 

Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit 

Anmerkung: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, sin etc. 

beinhalten. Umformungen von Termen, Formeln/Gleichungen, Ungleichungen und 

Gleichungssystemen beschränken sich auf Fälle geringer Komplexität. 


H3 zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen 


I1 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 


K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten 

Kommentar 

Die vorliegende Aufgabe ist zum Erarbeiten neuer Inhalte – beispielsweise in Form einer Partnerarbeit 

– geeignet. 

An einem vorgegebenen Zahlenbeispiel sollen hier allgemein gültige Regeln erkannt werden; es ist 

allerdings nicht Intention der Aufgabe den Eindruck zu vermitteln, dass dies immer möglich ist. Dies 

muss im Unterricht auch betont werden. 

Ein weiterer notwendiger Hinweis ist jener auf die unterschiedlichen Schreibweisen des Logarithmus in 

der Literatur und in Schulbüchern. 

Durch die Eigenständigkeit beim Erarbeiten einer Definition und deren Interpretation soll die 

Nachhaltigkeit gefördert und die Kompetenzorientierung betont werden. 




In Peters Schulübungsheft findet man folgende richtige Rechnungen: 

log 3 log 5 log 15 

log 8 log 4 log 2 

log 9 2 

log 3 

Kreuze an, ob die jeweilige Rechenregel für den Logarithmus richtig oder falsch ist. 

richtig falsch 

log( u m) 

log( 

u 

m) 

 

log( u 

m) 

log u log m 

 

log u log m log( 

u m) 

 

u 

log u log m log 

 

m 

log( u m) 

log u log m 

 

u log m log( 

u 

m) 

 

u 

u 

log m log m 

 

u 

m 

log m log u 

 




richtig falsch 

log( u m) 

log( 

u 

m) 

⊠ 

log( u 

m) 

log u log m 

⊠ 

log u log m log( 

u m) 

⊠ 

u 

log u log m log 

⊠ 

m 

log( u m) 

log u log m 

⊠ 

u log m log( 

u 

m) 

⊠ 

u 

u 

log m log m 

⊠ 

u 

m 

log m log u 

⊠ 












H3 zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen 





Kommentar 

Die vorliegende Aufgabe ist zum Erarbeiten neuer Inhalte – beispielsweise in Form einer Partnerarbeit 

– geeignet. 

An vorgegebenen Zahlenbeispielen sollen hier allgemein gültige Regeln erkannt werden; es ist 

allerdings nicht Intention der Aufgabe den Eindruck zu vermitteln, dass dies immer möglich ist. Dies 

muss im Unterricht auch betont werden. 

Ein weiterer notwendiger Hinweis ist jener auf die unterschiedlichen Schreibweisen des Logarithmus in 

der Literatur und in Schulbüchern. 

Durch die Eigenständigkeit beim Erarbeiten einer Definition und deren Interpretation soll die 

Nachhaltigkeit gefördert und die Kompetenzorientierung betont werden. 




Löse die folgenden Gleichungen und begründe mit der Definition des Logarithmus. 

7 

a) log 49 x 

3 

b) log y 4 

z 

c) log 36 2 

a) x = 2 wegen 7² = 49 

b) y = 81 wegen 3 4 = 81 

c) z = 6 wegen 6² = 36 














H3 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen 

erkennen, sie im Kontext deuten 





Kommentar 

Diese Aufgabe ist zur Vertiefung und Wiederholung von bereits bekanntem Lehrstoff (Definition des 

Logarithmus) geeignet und soll somit die Nachhaltigkeit fördern. Sie ist aber ebenso als Testbeispiel 

vorstellbar. 

Die unterschiedlichen Schreibweisen des Logarithmus in der Literatur und in Schulbüchern sollen 

bekannt sein. 

Das Beispiel kann als Einzel- oder Partnerarbeit gelöst werden. 


BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN 


Kreuze zu jedem angeführten Beispiel das richtige mathematische Modell an, begründe 

deine Entscheidung und beschreibe die Bedeutung der in den Modellen verwendeten 

Variablen. 

a) Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird in exponentieller Weise abgeschwächt. 

Der Hersteller eines Sicherheitsglases gibt an, dass die Intensität I 

des Lichts pro im Glas zurückgelegtem Zentimeter um 6% abnimmt. 

Beschreibe die Lichtintensität I in Abhängigkeit der Eindringtiefe (in cm). 

x 

I( x) 

= I0 

⋅ 0, 

94 

Begründung: 

x 

I( x) 

= I0 

⋅1, 

06 

I0 

I( 

x) 

= 

x 

I( x) 

= I0 

⋅( 

1− 

0, 

06 ⋅ x) 

Beschreibung: 

b) Die Population P einer vom Aussterben bedrohten Tierart sinkt jedes Jahr um ein 

Drittel der Population des vorangegangenen Jahres. 

Beschreibe die Population P in Abhängigkeit der Anzahl der abgelaufenen Jahre. 

t 

⎛ 1 ⎞ 

P( t) 

= P0 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Begründung: 

Beschreibung: 

t 

⎛ 2 ⎞ 

P( t) 

P0 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

1 

= P( t) 

= P0 

⋅( 

1− 

⋅ t) 

3 

P0 

= 

3t 

c) Das Kohlenstoffisotop C 14 zerfällt mit einer Halbwertszeit von zirka 5730 Jahren. 

Während zu Lebzeiten die im Organismus zerfallenen C 14 -Atomkerne aus der 

Atmosphäre nachgeliefert werden – die Gesamtanzahl also ziemlich konstant 

bleibt, beginnt danach (nach dem Tod) die exponentielle Abnahme der 

C 14 -Atomkerne. 

Beschreibe die Anzahl der vorhandenen C 14 -Atomkerne in Abhängigkeit der Jahre 

nach dem Tod. 

t 

C0 

⎛ 1 ⎞ 

5730 

C( 

t) 

= C(t) = C0 

⋅ ⎜1− 

⋅ t⎟ 

0 

5730t 

⎝ 5730 ⎠ 

2 C ) t ( C ⋅ = t 

5730 

0 2 C ) t ( C 

− 

= ⋅ 

Begründung: 

Beschreibung: 


Beschreibung von Zerfallsprozessen 1 

P( 

t)

a) 

b) 

c) 

I( x) 

= I ⋅ 0, 

94 

0 

x 


I( x) 

= I ⋅1, 

06 

0 

x 

I0 

= I( x) 

= I0 

⋅( 

1− 

0, 

06 ⋅ x) 

x 

Begründung: Es handelt sich in dieser Aufgabe um eine exponentielle Abnahme. 

Nach einem Zentimeter Eindringtiefe beträgt die Intensität das 0,94-fache, also 

x 

I0 ⋅ 0,94 . In x Zentimeter Tiefe also 0 0,94 I ⋅ . Weiters hat eine exponentielle 

Abnahme einen Abnahmefaktor kleiner als 1 (0,94




Exponentialfunktion 

x 

Beschreibung von Zerfallsprozessen 3 

λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 

bzw. f(x) = a ⋅ e mit a, b ∈R 

• Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. 

lichen Kontexten deuten können 

• Charakteristische Eigenschaften f(x 1) = b ⋅ f(x) 

können 

+ 

, λ ∈ R 

λ 

e ) kennen und die Parameter in unterschied- 

x x 

+ ; ( ) 

' 

e = e kennen und im Kontext deuten 

• Die Begriffe „Halbwertszeit“ und „Verdoppelungszeit“ kennen, die entsprechenden Werte 

berechnen und im Kontext deuten können 

• Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können 


H4 • mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten 




I2 • charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, 

Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- und 

Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen 


K3 • Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren 

Kommentar 

Diese Aufgabe ist eine Unterrichtsaufgabe. 

Sie kann auch dazu anregen über die Verwendung unterschiedlicher Basen nachzudenken. In der 

Physik ist es zum Beispiel durchaus üblich, die Basis e zu verwenden. Bei der Teilaufgabe c) ist es 

1 

zweckmäßig, mit der Basis zu arbeiten. 

2


BIATHLON 

Biathlon (latein/griechisch: Zweifach-Kampf) ist eine 

vornehmlich im Winter ausgetragene Sportart, die sich 

als Kombinationssportart aus den Disziplinen 

Skilanglauf und Schießen zusammensetzt. 

Geschossen wird auf je fünf Scheiben pro Schussbahn, 

die in einer Entfernung von 50 m angebracht sind. 

Treffer werden durch Verdecken der schwarzen 

Scheibe angezeigt, das Verfehlen einer Scheibe wird 

entweder mit einer ovalen Strafrunde von 150 Metern 

(Staffel, Massenstart, Verfolgung und Sprint) oder einer 

Strafzeit von einer Minute (Einzel) bedacht. Je nach 

Laufstärke des Athleten kann pro Strafrunde von einer 

Laufzeit von 20 bis 30 Sekunden ausgegangen werden. 

Ein Athlet erzielt bei 5 Biathlon Wettbewerben mit je 20 abgegebenen Schüssen 

folgende Trefferzahlen: 16, 18, 18, 19, 17 

Beantworte drei Fragen, die sich der Trainer stellt. 

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Athlet eine Scheibe trifft? 

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei einer Serie (5 Schüsse) stets ins 

Schwarze? 

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet bei einem Wettbewerb 

höchstens einen Fehlschuss abgibt? 

d) Welche Modellannahmen hast du getroffen, damit du die Aufgabe lösen kannst? 


Biathlon 1


a) Bei 100 Schüssen hat der Athlet 16+18+18+19+17 = 88 mal getroffen. 

Die relative Häufigkeit eines Treffers lag also bei 88 %. 

P(Treffer) = 0,88 

b) P(5 Treffer unter 5 Schüssen) 0,88 0,5277.... 53% 

5 

= = ≈ 

c) P(höchstens ein Fehlschuss unter 5 Schüssen) = 

5 

= 0,88 

4 

+ 5 ⋅ 0,88 + ... + 0,12 = 0,8875.... ≈ 89% 

d) Es wird dabei angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit zu treffen, bei jedem 

Schuss gleich groß ist. Ohne Vereinfachung der gleichen Trefferwahrscheinlichkeit 

(auch wenn das vermutlich nicht der Wirklichkeit entspricht) ist die Durchführung 

einer Rechnung nicht möglich. 

Die Stichprobe ist mit 100 Schüssen zwar nicht sehr groß, aber man kann diese 

relative Häufigkeit als Maß für die Trefferwahrscheinlichkeit nehmen. Man nimmt 

dabei an, dass bei steigenden Versuchszahlen die relativen Häufigkeiten sich 

einem Wert nähern, den man als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des 

Ereignisses „Treffer“ annehmen kann. (Gesetz der großen Zahlen). 

Biathlon 2





a) 

b) 

c) 

• Begriff und Zweck von Stichproben sowie die Stabilisierung der relativen Häufigkeiten 

(empirisches Gesetz der großen Zahlen) in ihrer für die Wahrscheinlichkeitsrechnung 

und Schließenden Statistik grundlegenden Bedeutung erklären können 


H1 

H2 

• problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und mathematisch 

darstellen 

• elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und 

durchführen 

d) H4 • mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines 

bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines 

bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder 

Interpretation sprechen 

a) 

b) 

c) 

d) 

a) 

b) 

c) 

d) 


I1 • Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil, als relative Häufigkeit 



Kommentar 

Die Aufgabe verlangt nicht nur das Errechnen von Wahrscheinlichkeiten, sondern eine Reflexion über 

den Begriff Wahrscheinlichkeit an sich. Der Zusammenhang der relativen Häufigkeit des Auftretens 

eines Ereignisses (hier „Treffer“) in einer Stichprobe (hier Wettkampf) mit der Wahrscheinlichkeit, dass 

ein solches Ereignis eintreten kann, soll auch als Übergang von der beschreibenden Statistik zur 

Wahrscheinlichkeitsrechnung verstanden werden. Dass hier - wie oft in der Praxis - eine relativ kleine 

Stichprobe vorliegt (100 Schüsse), könnte Anlass zur Diskussion über die Aussagekraft von Prognosen 

sein. 

Die erforderlichen Rechnungen können ohne Kenntnis von Regeln oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

rein anschaulich erklärt und durchgeführt werden. Da diese einfachen Rechnungen nicht 

im Vordergrund stehen, erscheint sie nicht unter H2 (operieren). 

Die Aufgabe ist als Unterrichtsaufgabe gedacht. 

Biathlon 3


DREIMÄDERLHAUS 

Die Wahrscheinlichkeit unter 3 Kindern 3 Mädchen zu haben (Dreimäderlhaus) beträgt 

11,6 %. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim vierten Kind einen Buben zu bekommen? 

Dreimäderlhaus 1

Wahrscheinlichkeit Mädchen: p 

Wahrscheinlichkeit Bub: 1 – p 


P(unter 3 Kindern nur lauter Mädchen) = p 3 = 0,116 

p = 0,4877 

Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu bekommen beträgt 48,77%. 

Die Wahrscheinlichkeit einen Buben zu bekommen beträgt daher 1 – 0,4877 = 51,23 %. 

Diese Wahrscheinlichkeit ist bei jeder Geburt gleich groß, egal ob das erste oder vierte 

Kind erwartet wird. 





• Wahrscheinlichkeit als Instrument zur Modellierung des Zufalls angemessen verwenden 

bzw. deuten können; Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil und als relative Häufigkeit in 

einer Versuchsserie anwenden und interpretieren können 


H1 • problemrelevante mathematische Zusammenhänge identifizieren und mathematisch 

darstellen 





Kommentar 

Obwohl die Lösung der Aufgabe nur Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten verlangt, 

ist die Lösung mehrschrittig. Die Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens muss erst errechnet 

und deren gleich bleibende Wahrscheinlichkeit, unabhängig von der Anzahl der Geburten, erkannt 

werden. 

Dreimäderlhaus 2


EXPONENTIALFUNKTIONEN? 

In der folgenden Abbildung sind vier Funktionen f1(x), f2 (x), f3(x), f4(x) und zum Vergleich 

auch die Funktion f(x) = e x dargestellt. 

Kreuze in der Tabelle an, bei welchen der 4 Funktionen es sich um eine Exponential- 

bx 

funktion der Form f ( x) 

= a . e (a > 0, b ≠ 0) handelt. 

Falls ja: Gib jeweils den Wert für a an und kreuze die richtigen Aussagen für b und |b| an. 

Falls nein: Gib eine Begründung dafür an. 

f1(x) 

f2(x) 

f3(x) 

f4(x) 

bx 

f ( x) 

= a . e ?? 

Ja → a = …… b0 |b|1 

Nein → Begründung: 

Ja → a = …… b0 |b|1 


Ja → a = …… b0 |b|1 


Ja → a = …… b0 |b|1 


Exponentialfunktionen? 1

f1(x) 

f2(x) 

f3(x) 

f4(x) 

bx 

f ( x) 

= a . e ?? 


Ja → a = …… b0 |b|1 

Nein → Begründung: f1(x) geht durch den Ursprung. 

Ja → a = 4 b0 |b|1 


Ja → a = 2 b0 |b|1 


Ja → a = …… b0 |b|1 

Nein → Begründung: f4(x) ist rechtsgekrümmt. 

Natürlich sind die Begründungen für f1 und f4 nur exemplarisch. Es könnten auch viele 

andere Argumente genannt werden (Definitions- und Wertemenge falsch, besitzt keine 

Asymptote,…). 





x 

Exponentialfunktionen? 2 

λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 





+ 

, λ ∈ R 

λ 


H3 • tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben 

und im jeweiligen Kontext deuten 






K1 • Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten

Kommentar 

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Unterrichtsaufgabe, die am Ende des Kapitels 

Exponentialfunktionen eingesetzt werden kann. Natürlich ist eine vorherige Behandlung der 

Potenzfunktionen – mit diesen erfolgt der Vergleich in der angeführten Grafik der Funktionsgraphen – 

im Unterricht vorteilhaft, aber nicht unbedingt notwendig. Denn die Begründung, warum es sich bei f1(x) 

und f4(x) nicht um Exponentialfunktionen handelt, ist auch mit nicht vorliegenden charakteristischen 

Eigenschaften der Exponentialfunktion mathematisch korrekt möglich. 

Als Vorbereitung dieser Aufgabe ist Technologieeinsatz im Unterricht sicher vorteilhaft. Denkbar ist in 

diesem Zusammenhang z.B. die Arbeit mit GeoGebra, da über den Einsatz von Schiebereglern für die 

Parameter a und b die Untersuchung der Auswirkung deren Veränderung auf den Funktionsgraphen 

einfach und anschaulich ermöglicht wird. Als Sozialform empfiehlt sich dafür Partner- oder 

Gruppenarbeit, sodass die Auswirkungen dieser Veränderung auch diskutiert und damit verbalisiert 

werden können bzw. müssen. Die vorliegende Aufgabe ist in Verbindung mit diesen vorbereitenden 

Aufgaben somit eine Möglichkeit für schülerzentriertes Lernen, das für den Erwerb von 

Grundkompetenzen sicher generell als vorteilhaft anzusehen ist. 

Die Aufgabe versteht sich in ihrer Konzeption als Fortführung des Gedankens der elementaren 

Transformationen von Funktionen [f(x)+c, f(x+c), c.f(x), –f(x), f(–x)], der bereits ab der 9. Schulstufe 

eine zentrale Rolle im kompetenzorientierten Mathematikunterricht spielt. Auf den Einsatz der 

Transformation f(x) + c für die Klasse der Exponentialfunktionen wird hier bewusst verzichtet, da diese 

nicht im Grundkompetenzenkatalog enthalten ist. Sie ist aber sicher als sinnvolle Erweiterung für den 

Unterrichtseinsatz anzusehen. Im Gegensatz dazu sollte die Transformation – f(x) (Spiegelung an der 

b⋅x 

x-Achse) vermieden werden, da für f(x) = a ⋅ e der Parameter a in den Grundkompetenzen im 

Hinblick auf die praktischen Anwendungsmöglichkeiten der Exponentialfunktionen sinnvollerweise mit 

a>0 beschränkt ist. 

Exponentialfunktionen? 3

EXPONENTIALFUNKTIONEN UNTERSUCHEN_1 


a) Skizziere die Graphen der Funktionen f, g und h mit 

x 

h(x) = 3 im untenstehenden Koordinatennetz. 

x 

f(x) = 1 , 

x 

g(x) = 2 und 

b) Gibt es Punkte, die auf allen drei Graphen der Funktionen f, g und h liegen? Falls 

gemeinsame Punkte existieren, gib ihre Koordinaten an. 

Welche Eigenschaft von Potenzen- bzw. Exponentialfunktionen steckt dahinter? 

c) Welcher Funktionsgraph verläuft für x>0 am steilsten? 


Exponentialfunktionen untersuchen_1 1

a) 


b) Der Punkt P(0|1) liegt auf den Graphen aller Exponentialfunktionen weil a 1 

0 = für 

alle reellen Zahlen a ≠ 0 gilt. 

c) Der Graph von h verläuft im Intervall [0,6] am steilsten. 






x 

Exponentialfunktionen untersuchen_1 3 

λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 



ichen Kontexten deuten können 


+ 

, λ ∈ R 

λ 

e ) kennen und die Parameter in unterschiedl- 

a) H1 • einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, 



b) 

c) 

a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) 


deuten 



Polynomfunktionen, von einfachen rationalen Funktionen, Winkelfunktionen, Potenz- 

und Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen 


K2 • Herstellen von Verbindungen 

Kommentar 

Die Aufgabe stellt keine Erwartungen an das exakte grafische Darstellen der Funktionen, sondern 

erfordert die Fähigkeit, die wesentlichen Verlaufsunterschiede der Graphen erkennbar zu machen. 

Das Beispiel kann im Unterricht auch dazu dienen, über mathematische Begründungen zu diskutieren, 

warum die Funktion h im angegebenen Intervall am steilsten ist und wie man dies aus der Sicht der 

Mathematik exakt beweisen kann.



Bestimme zur unten dargestellten Exponentialfunktion f mit f(x) ⋅ 

Parameterwert a mit a ∈ N . 

x 

= a 3 den richtigen 


a ⋅ b 

0 

= 2 ⇒ a = 2 






x 


λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 





H2 • mit und in Tabellen oder Grafiken operieren 


+ 

, λ ∈ R 

λ 







Kommentar 

Das Beispiel kann noch erweitet werden, in dem man zusätzlich den Parameterwert b bestimmen lässt. 

Erweiterung: 

Bestimme zur dargestellten Exponentialfunktion f( x) 

= a ⋅ b die richtigen Parameterwerte a und b mit 

a, b ∈ N . 

Mittels der Punkte (0,2) und (1,6) ist auch die Berechnung von a und b möglich. 

Lösungserwartung: 

0 

a ⋅ b = 2 ⇒ a = 2 und 2 ⋅ b = 6 ⇒ b = 3 

1 

⇒ f( x) 

= 2 ⋅ 3 

Die Lösung ist in diesem Fall auf verschiedene Art und Weise möglich (Kopfrechnen, Ausrechnen, aus 

Graphen ablesen, …). 

x 

x



Gegeben sind zwei Exponentialfunktionen f und h mit 

+ 

a, b, c, d∈R 

sind. 

f(x) ⋅ 

x 

= a b und 

h(x) ⋅ 

x 

= c d , wobei 

Kreuze in der nachstehenden Tabelle an, ob die zu den Parametern a, b, c, d angegebenen 

Aussagen richtig oder falsch sind und finde Begründungen für die richtigen 

Aussagen. 

Aussage richtig falsch Begründe hier nur die richtigen Aussagen. 

a>c 

b>d 

a


Aussage richtig falsch Begründe hier nur die richtigen Aussagen. 

a>c 

b>d 

a h( 

x) 

Salopp formuliert steigt also f(x) für große x stärker als 

h(x). Es muss daher b>d gelten. 

Da für die Funktionswerte an der Stelle 0 gilt: 

0 

f( 0) 

= a ⋅b 

0 

< h( 

0) 

= c ⋅ d , b 1 

0 sein. 

= und 1 

d 0 = , muss a




H3 

H4 


x 


λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 





+ 

, λ ∈ R 

λ 



deuten 









K2 • Herstellen von Verbindungen 

Kommentar 

Die salopp formulierte Lösungserwartung „für große x steigt f(x) stärker als h(x). Es muss daher b>d 

gelten.“ setzt die Kenntnis der typischen Verläufe von Exponentialfunktionen voraus. 

Weitere Möglichkeit als Begründung: 

Man berechnet die Parameter a, b, c und d explizit und vergleicht sie miteinander: 

x 

⇒ f(x) = 1,5 ⋅ 2 und ⇒ h( x) 

= 2 ⋅ 1, 

5 

x 

Das Finden von Begründungen eignet sich sehr gut für kooperative Lernformen wie Partner- und 

Gruppenarbeiten.


FIRMENEXPANSION_1 

Stell dir vor, du hast die Möglichkeit, entweder in Völkermarkt (ca. 11000 Einwohner) 

oder in Wolfsberg (ca. 25000 Einwohner) eine neue Filiale deiner Firma zu eröffnen. 

Eine repräsentative Umfrage soll im Vorfeld klären, wo mehr Menschen leben, die deiner 

Produktpalette positiv gegenüberstehen. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis dieser 

Umfrage. 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

0% 

55% 

Völkermarkt Wolfsberg 

a) Wo würdest du die Filiale eröffnen? 

Welche Überlegungen haben zu deiner Entscheidung geführt? 


Firmenexpansion_1_farbig 1 

38% 

b) Ist die Grafik eine Entscheidungshilfe? 

Ist sie manipulativ? Wie könnte man sie verbessern?


a) Völkermarkt: 55% von 11000: 11000 ⋅ 0,55 = 6050 potentielle Kund/innen 

Wolfsberg: 38% von 25000: 25000 ⋅ 0,38 = 9500 potentielle Kund/innen 

⇒ Eine Eröffnung in Wolfsberg sollte mehr Umsatz bringen. 

b) Einfache (Excel-)Stabdiagramme sind für die Darstellung von Prozentwerten verschiedener 

Grundgesamtheiten ungeeignet, da größere Anteile hier immer größer 

erscheinen, auch wenn die entsprechenden absoluten Werte kleiner sind. 

Die Grafik ließe sich verbessern, indem man entweder 

- unterschiedliche Balkenbreiten so wählt, dass die Flächeninhalte der einzelnen 

Balken gerade den absoluten Werten entsprechen (Abb. 1), oder 

- unterschiedliche Stabhöhen so wählt, dass diese den absoluten Werten 

entsprechen (Abb. 2). 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

0% 

55% 

38% 


Firmenexpansion_1_farbig 2 

30000 

25000 

20000 

15000 

10000 

5000 

0 

55% 

38% 


Abb. 1 Abb. 2 

Hinweis: In dieser Aufgabe wäre es auch möglich, auf grafische Darstellungen ganz 

zu verzichten und die Ergebnisse der Umfrage tabellarisch darzustellen. 

pro 

% absolut 

Völkermarkt 55% 6050 

Wolfsberg 38% 9500




Beschreibende Statistik 

• Stärken, Schwächen und Manipulationsmöglichkeiten elementarer statistischer Grafiken 

nennen und in Anwendungen berücksichtigen können 



deuten 


I4 • Darstellungsformen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik: Zentral- und Streumaße 

von Verteilungen 



Kommentar 

Der Zweck statistischer Darstellungen ist es, bestimmte Merkmale oder Zusammenhänge sichtbar zu 

machen, hervorzuheben, zu betonen - also ist jede solche Darstellung (erkannter oder erzeugter) 

Muster in gewisser Hinsicht manipulativ. Was zählt, ist die Absicht: will man informieren oder täuschen? 

Die vorliegende Aufgabe soll hauptsächlich die kritische Betrachtung statistischer Darstellungen bzw. 

Darstellungsformen anregen und fördern. 

Firmenexpansion_1_farbig 3


FIRMENEXPANSION_2 

Stell dir vor, du hast die Möglichkeit, entweder in Völkermarkt (ca. 11000 Einwohner) 

oder in Wolfsberg (ca. 25000 Einwohner) eine neue Filiale deiner Firma zu eröffnen. 

Eine repräsentative Umfrage soll im Vorfeld klären, wo mehr Menschen leben, die deiner 

Produktpalette positiv gegenüberstehen. Die folgende Grafik zeigt das Ergebnis dieser 

Umfrage. 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

0% 


a) Wo würdest du die Filiale eröffnen? 

Welche Überlegungen haben zu deiner Entscheidung geführt? 

55% 


Firmenexpansion_2_schwarz-weiß 1 

38% 

b) Ist die Grafik eine Entscheidungshilfe? 

Ist sie manipulativ? Wie könnte man sie verbessern?


a) Völkermarkt: 55% von 11000: 11000 ⋅ 0,55 = 6050 potentielle Kund/innen 

Wolfsberg: 38% von 25000: 25000 ⋅ 0,38 = 9500 potentielle Kund/innen 

⇒ Eine Eröffnung in Wolfsberg sollte mehr Umsatz bringen. 

b) Einfache (Excel-)Stabdiagramme sind für die Darstellung von Prozentwerten verschiedener 

Grundgesamtheiten ungeeignet, da größere Anteile hier immer größer 

erscheinen, auch wenn die entsprechenden absoluten Werte kleiner sind. 

Die Grafik ließe sich verbessern, indem man entweder 

- unterschiedliche Balkenbreiten so wählt, dass die Flächeninhalte der einzelnen 

Balken gerade den absoluten Werten entsprechen (Abb. 1), oder 

- unterschiedliche Stabhöhen so wählt, dass diese den absoluten Werten 

entsprechen (Abb. 2). 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

0% 

55% 

38% 


Firmenexpansion_2_schwarz-weiß 2 

30000 

25000 

20000 

15000 

10000 

5000 

0 

55% 

38% 


Abb. 1 Abb. 2 

Hinweis: In dieser Aufgabe wäre es auch möglich, auf grafische Darstellungen ganz 

zu verzichten und die Ergebnisse der Umfrage tabellarisch darzustellen. 

pro 

% absolut 

Völkermarkt 55% 6050 

Wolfsberg 38% 9500





• Stärken, Schwächen und Manipulationsmöglichkeiten elementarer statistischer Grafiken 

nennen und in Anwendungen berücksichtigen können 



deuten 






Kommentar 

Der Zweck statistischer Darstellungen ist es, bestimmte Merkmale oder Zusammenhänge sichtbar zu 

machen, hervorzuheben, zu betonen - also ist jede solche Darstellung (erkannter oder erzeugter) 

Muster in gewisser Hinsicht manipulativ. Was zählt, ist die Absicht: will man informieren oder täuschen? 

Die vorliegende Aufgabe soll hauptsächlich die kritische Betrachtung statistischer Darstellungen bzw. 

Darstellungsformen anregen und fördern. 

Firmenexpansion_2_schwarz-weiß 3

FUNKTIONSGLEICHUNGEN ZUORDNEN 


Kreuze zu jedem Graphen die zugehörige Funktionsgleichung an. 

1 

y ln( 

x) 

y 2 

x 

y e 


Funktionsgleichungen zuordnen 1 

x 

y x 

1 

x 

y 

e


1 

y ln( 

x) 

y 2 

x 

y e 

Funktionsgleichungen zuordnen 2 

x 

y x 

1 

x 

y 

e





Einen Überblick über die wichtigsten Typen mathematischer Funktionen geben, ihre 

Eigenschaften vergleichen können 


H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben 



I2 charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, 





Kommentar 

Durch diese Zuordnungsaufgabe von Graphen und Funktionsgleichungen sollen charakteristische 

Eigenschaften dieser erkannt werden. 

Diese Aufgabe eignet sich einerseits als ökonomische Diagnoseaufgabe andererseits auch als Unterrichtsaufgabe. 

Im Unterricht kann mit dieser Aufgabe die Diskussion der Schüler/innen über Funktionseigenschaften 

angeregt werden. 

Funktionsgleichungen zuordnen 3


GELDAUSGABEN 

Karin hat das arithmetisches Mittel ihrer monatlichen Ausgaben im Zeitraum Jänner bis 

(einschließlich) Oktober mit € 25,-- errechnet. Im November gibt sie € 35,-- und im 

Dezember € 51,-- aus. 

Wie lässt sich der Mittelwert für die monatlichen Ausgaben im ganzen Jahr bestimmen, 

wenn x1, x2, x3,…..,x12 die jeweiligen monatlichen Ausgaben darstellen? 

Geldausgaben 1

x + x 

1 

x + x 

1 

x + x 

1 

2 

2 

2 

x = 28 

+ x3 

+ ..... + x 

10 

+ x + ..... + x 

3 

+ x 

3 

+ ..... + x 

12 

10 

10 

10 

= 25 

= 250 

+ x 

11 


+ x 

12 

= 

x 

250 + 35 + 51 

= 

12 





• Statistische Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln und im jeweiligen Kontext deuten 

können: absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus; Quartile, 

Perzentile; Spannweite, Quartilabstand und empirische Varianz/ Standardabweichung 


H2 • elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen 






Kommentar 

Die Fragestellung verlangt nicht ausdrücklich die Begründung der Rechnung 25 ⋅ 10 = 250 . Es wird 

vorkommen, dass das intuitiv richtig gemacht wird. Bei falschen Lösungen, wäre eine Herleitung (siehe 

Lösungsweg) sinnvoll. 

Die Aufgabe könnte als Diagnoseaufgabe eingesetzt werden, um Inhalte aus der Unterstufe zu 

wiederholen und zu zeigen, ob der Begriff arithmetisches Mittel verstanden wurde. 

Geldausgaben 2


GERADE UND EBENE 

 

a) Die Gerade g ist beschrieben durch die Gleichung g: x a r u 

mit r R. 

 

Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren x, 

a und u ? Welche 

Bedeutung hat r? 

Veranschauliche deine Antwort mit Hilfe einer Skizze. 

 

ε : x p n 

. 

x p 

und n ? 

b) Eine Ebene ist gegeben durch die Gleichung 0 

Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren 

Veranschauliche deine Antwort mit Hilfe einer Skizze. 

c) mögliche Erweiterung: 

Welche Beziehungen müssen für die in den Gleichungen vorkommenden 

Vektoren gelten, damit 

i) g parallel zu ist? 

ii) g senkrecht zu verläuft? 


a) x ist Ortsvektor jedes beliebigen Punktes X auf der Geraden g. 

a ist Ortsvektor eines festen Punktes A auf der Geraden g. 

Der Vektor u ist der Richtungsvektor der Geraden g. 

r ist der Parameter. Er gibt an, wie oft der Richtungsvektor u vom Punkt A aus 

abgetragen wird. 

Skizze: 


Gerade und Ebene 1

) x ist Ortsvektor jedes beliebigen Punktes X auf der Ebene . 

p ist Ortsvektor eines festen Punktes P auf der Ebene . 

 

x p 

ist ein Pfeil (Repräsentant) des Vektors PX , der in der Ebene (bzw. 

parallel zur Ebene ) liegt. 

Der Vektor n ist der Normalvektor der Ebene . 

Skizze: 

c) mögliche Erweiterung: 

i) Damit die Gerade g parallel zur Ebene verläuft, muss der Richtungsvektor u 

 

 

der Geraden parallel zum Vektor x p 

und damit normal zum Vektor n sein, 

d.h. n u 0 

 

. 

ii) Damit die Gerade g senkrecht auf die Ebene verläuft, muss der Richtungsvektor 

u der Geraden parallel zum Vektor n sein, d.h. der Richtungsvektor der 

 

Geraden ist ein Vielfaches des Normalvektors der Ebene u s 

n . 

Gerade und Ebene 2




Vektoren 

a) 

b) 

c) H3 

a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) 

Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können 


H3 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und 

Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten 

H4 

Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und 


mathematische Vermutungen formulieren und begründen (aufgrund deduktiven, 

induktiven oder analogen Schließens) 


I1 Geraden im R² und R³; Ebenen 



Kommentar 

Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht. Sie dient der Wiederholung und Festigung der 

Geradengleichung in Parameterform (und damit der Festigung der Funktion des Parameters) sowie der 

Normalvektorform der Ebenengleichung. 

Das Verständnis für das Orthogonalitätskriterium wird verbessert/erhöht, indem die Schüler/innen 

erkennen, dass das Skalarprodukt nicht nur eine Methode ist um festzustellen, ob zwei Vektoren einen 

rechten Winkel miteinander einschließen, sondern auch verwendet werden kann um Normalvektoren zu 

finden. 

Gleichzeitig werden die Schüler/innen mit den unterschiedlichen Schreibweisen bzw. der Bedeutungen 

von Vektoren vertraut gemacht. 

Es können auch andere Schreibweisen wie X A t u verwendet werden. 

Die Fragestellungen a) bzw. b) können auch als Testaufgabe eingesetzt werden. 

Gerade und Ebene 3

GLEICHUNGSSYSTEME - FARBMISCHUNG 


In einem Baumarkt wurden früher nach den folgenden Rezepten Farben gemischt: 

3 Dosen weiß und 4 Dosen blau und 1 Dose rot ergeben 24 Liter „Zartlila“. 

1 Dose weiß und 2 Dosen blau und 1 Dose rot ergeben 10 Liter „Lila“. 

3 Dosen weiß und 6 Dosen blau und 3 Dosen rot ergeben 30 Liter „Lila, Profipackung“. 

Die Dosen jeweils einer Farbe waren gleich groß. Jene von verschiedenen Farben 

unterschieden sich in der Größe. 

Bei einer Umstellung auf ein modernes Mischsystem werden die Grundfarben weiß, blau 

und rot nicht mehr in Dosen sondern in Containern geliefert. Ein Lehrling versucht zu 

errechnen, wie viel Liter jede der ursprünglichen Farbdosen enthalten hat und scheitert. 

Erst das vierte Mischungsrezept 1 Dose weiß und 1 Dose blau und 1 Dose rot ergeben 

8 Liter „hellviolett“, löst sein Problem. 

Erkläre, warum der Lehrling bei seinem ersten Berechnungsversuch scheitern musste. 

Ist es mathematisch klar, dass ein viertes Rezept (eine weitere Gleichung) zu einer 

eindeutigen Lösung führen muss? 

Erweiterung: Berechne, wie viel Liter die alten Farbdosen weiß, blau und rot enthalten 

haben. 


Es sind drei Gleichungen in drei Variablen x, y , z aufzustellen: 

3x + 4y + z = 24 x…..Inhalt einer weißen Farbdose in Liter 

x + 2y + z = 10 y…..Inhalt einer blauen Farbdose in Liter 

3x + 6y + 3z = 30 z…..Inhalt einer roten Farbdose in Liter 

Die dritte Gleichung ist das Dreifache der zweiten Gleichung, somit hat man nur 

2 Gleichungen in 3 Variablen. Ein solches Gleichungssystem hat nie ein eindeutiges 

Zahlentripel als Lösung. Der gegebene Text erfordert aber eine eindeutige Lösung. 

Fügt man die neue Rezeptur als Gleichung hinzu 

3x + 4y + z = 24 

x + 2y + z = 10 

x + y + z = 8, 

so erhält man ein Gleichungssystem, das eine eindeutige Lösung haben kann, aber 

nicht haben muss. 


Gleichungssysteme - Farbmischung 1

Erweiterung: 

3x + 4y + z = 24 (1) 

x + 2y + z = 10 (2) 

x + y + z = 8 (3) 

2x + 2y = 14 (1) – (2) 

y = 2 (2) – (3) 

2x + 4 = 14 

x = 5 

5 + 2 + z = 8 

z = 1 

Die weißen Farbdosen enthielten 5l, die blauen 2l und die roten 1l. 

Hinweis: Die Lösung des Gleichungssystems kann händisch oder mit CAS-Rechner 

erfolgen. 




(Un)gleichungen und Gleichungssysteme 

H1 

H4 

Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext 

deuten können 


alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen 

mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten 



Erweiterung 

H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen 


I1 Variable, Terme, Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme 


K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren 

Erweiterung 



Kommentar 

Die Aufgabe erfordert das Umsetzen des Textes in ein Gleichungssystem (Darstellen H1), das nicht 

gelöst werden muss. Die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Gleichungssystems in Anbetracht 

der gegebenen konkreten Zahlenwerte erfordert die Angabe von Argumenten für bzw. gegen einen 

bestimmten Lösungsweg (nämlich eindeutige Lösung). 

Eine geometrische Interpretation des Gleichungssystems mit Hilfe der Lagebeziehung von Ebenen ist 

als Erweiterungsstoff anzusehen. 

Eine genauere Erklärung über Lösbarkeit von Gleichungssystemen könnte auch über den Rang der 

entsprechenden Matrizen erfolgen, was z.B. für Klassen mit CAS-Rechner (keine händische Rechnung, 

dafür mehr Zeit für Interpretationen der Lösungsfälle) sinnvoll wäre. 

In den sRP-Grundkompetenzen sind im Unterschied zum geltenden Lehrplan das Lösen des 

Gleichungssystems und die geometrische Interpretation des Gleichungssystems mit Hilfe der 

Lagebeziehung von Ebenen nicht enthalten. 

Die bewusst einfach gewählten Zahlen erlauben beim Lösen von linearen Gleichungssystemen aus drei 

Gleichungen in drei Variablen eine Zentrierung auf das Wesentliche. 



KÄNGURU_1 

Die folgenden Grafiken enthalten Daten über die Teilnahme am Wettbewerb „Känguru 

der Mathematik“ in Österreich seit 2005. 

200.000 

175.000 

150.000 

125.000 

100.000 

146.440 

119.129 

Känguru der Mathematik Österreich - gemeldete und gewertete TeilnehmerInnen 

gemeldet gewertet 

161.761 

156.135 

135.032 133.669 

179.736 

155.412 

188.157 

162.536 

179.686 

155.072 

2005 2006 2007 2008 2009 2010 

Känguru der Mathematik Österreich 2010 - gewertete TeilnehmerInnen nach Kategorie 

Junior: 

13,501% 

Kadett: 

31,345% 

Student: 

6,734% 

Ecolier: 

13,801% 

Benjamin: 

34,618% 

Quelle: http://kaenguru.diefenbach.at/ (27.04.2010 | Login erforderlich) 

a) Wie viele gemeldete Teilnehmer/innen des Wettbewerbs Känguru der Mathematik 

in Österreich wurden im Jahr 2010 - aufgrund von Abwesenheit, Disqualifikation 

oder fehlender Dateneingabe - nicht gewertet? 

b) Wie viele österreichische Volksschüler/innen (Teilnehmer/innen der Kategorie 

Ecolier: 3. und 4. Schulstufe) wurden 2010 tatsächlich gewertet? 

c) Die Grafik in Abb. 2 enthält Prozentangaben mit drei Nachkommastellen, die letzte 

Stelle wurde vermutlich gerundet. Wie genau ist somit die Antwort auf Frage b) ? 

Känguru_1_farbig 1

a) 179686 - 155072 = 24614 


b) 13,801% von 155072: 155072 ⋅ 0,13801 = 21401,49 ⇒ ca. 21400 Schüler/innen 

c) 13,801 gerundet heißt, der tatsächliche Wert liegt im Intervall [ 13,8005 ; 13,8015 [ . 

155072 ⋅ 0,138005 = 21400,71 ≈ 21401 

155072 ⋅ 0,138015 = 21402,26 ≈ 21402 

⇒ Die tatsächliche Anzahl kann bis auf 1 Person genau angegeben werden: 

Es wurden entweder 21401 oder 21402 österreichische Volksschüler/innen 

tatsächlich gewertet. 

Hinweis: Diese ermittelte (Un)Genauigkeit hängt nur von der Größenordnung der 

Grundgesamtheit ab. Jede andere Prozentangabe mit drei Nachkommastellen 

liefert exakt dieselbe Abweichung. 





a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) 

• Werte aus tabellarischen und elementaren statistischen Grafiken ablesen und im 

jeweiligen Kontext deuten können: Stab-, Kreis-, Linien-, Streudiagramm, 

Prozentstreifen, Kastenschaubild 



deuten 


I4 • Darstellungsformen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik: Zentral- und 

Streumaße von Verteilungen 


a) 

b) 


c) K3 • Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren 

Kommentar 

Die Aufgabe enthält gängige Excel-Diagramme, die den in der Beschreibung der Grundkompetenzen 

explizit genannten Linien- und Kreisdiagrammen entsprechen. Teilaufgabe a) beschränkt sich auf das 

Ablesen von Werten, Teilaufgabe b) verlangt eine Ermittlung zusammengesetzter Werte. Teilaufgabe c) 

erfordert ein Nachdenken über die Konsequenzen mathematischer Darstellungen/ Darstellungsformen 

und ihre Aussagekraft und stellt daher eine andere Komplexitätsanforderung. 

Känguru_1_farbig 2


KÄNGURU_2 

Die folgenden Grafiken enthalten Daten über die Teilnahme am Wettbewerb „Känguru 

der Mathematik“ in Österreich seit 2005. Achtung! Neue Graphik kommt! 

200.000 

175.000 

150.000 

125.000 

100.000 

146.440 

119.129 

Känguru der Mathematik Österreich - gemeldete und gewertete TeilnehmerInnen 

gemeldet gewertet 

161.761 

156.135 

135.032 133.669 

179.736 

155.412 

188.157 

162.536 

179.686 

155.072 

2005 2006 2007 2008 2009 2010 

Känguru der Mathematik Österreich 2010 - gewertete TeilnehmerInnen nach Kategorie 

Junior: 

13,501% 

Kadett: 

31,345% 

Student: 

6,734% 

Ecolier: 

13,801% 

Benjamin: 

34,618% 

Quelle: http://kaenguru.diefenbach.at/ (27.04.2010 | Login erforderlich) 

a) Wie viele gemeldete Teilnehmer/innen des Wettbewerbs Känguru der Mathematik 

in Österreich wurden im Jahr 2010 - aufgrund von Abwesenheit, Disqualifikation 

oder fehlender Dateneingabe - nicht gewertet? 

b) Wie viele österreichische Volksschüler/innen (Teilnehmer/innen der Kategorie 

Ecolier: 3. und 4. Schulstufe) wurden 2010 tatsächlich gewertet? 

c) Die Grafik in Abb. 2 enthält Prozentangaben mit drei Nachkommastellen, die letzte 

Stelle wurde vermutlich gerundet. Wie genau ist somit die Antwort auf Frage b) ? 

Känguru_2_schwarz-weiß 1

a) 179686 - 155072 = 24614 


b) 13,801% von 155072: 155072 0,13801 = 21401,49 ca. 21400 Schüler/innen 

c) 13,801 gerundet heißt, der tatsächliche Wert liegt im Intervall [ 13,8005 ; 13,8015 [ . 

155072 0,138005 = 21400,71 21401 

155072 0,138015 = 21402,26 21402 

Die tatsächliche Anzahl kann bis auf 1 Person genau angegeben werden: 

Es wurden entweder 21401 oder 21402 österreichische Volksschüler/innen 

tatsächlich gewertet. 

Hinweis: Diese ermittelte (Un)Genauigkeit hängt nur von der Größenordnung der 

Grundgesamtheit ab. Jede andere Prozentangabe mit drei Nachkommastellen 

liefert exakt dieselbe Abweichung. 





a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) 

Werte aus tabellarischen und elementaren statistischen Grafiken ablesen und im 

jeweiligen Kontext deuten können: Stab-, Kreis-, Linien-, Streudiagramm, 

Prozentstreifen, Kastenschaubild 


H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext 

deuten 


I4 Darstellungsformen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik: Zentral- und 



a) 

b) 


c) K3 Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren 

Kommentar 

Die Aufgabe enthält gängige Excel-Diagramme, die den in der Beschreibung der Grundkompetenzen 

explizit genannten Linien- und Kreisdiagrammen entsprechen. Teilaufgabe a) beschränkt sich auf das 

Ablesen von Werten, Teilaufgabe b) verlangt eine Ermittlung zusammengesetzter Werte. Teilaufgabe c) 

erfordert ein Nachdenken über die Konsequenzen mathematischer Darstellungen/ Darstellungsformen 

und ihre Aussagekraft und stellt daher eine andere Komplexitätsanforderung. 

Känguru_2_schwarz-weiß 2


LABYRINTH 1 

Die Maus läuft in das Labyrinth. Kommt sie zu einer Weggabelung, so entscheidet sie 

sich zufällig für eine der Möglichkeiten, sie kehrt aber nie um. 

 

 

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Käse findet, ohne der Katze zu 

begegnen? 

Labyrinth_1 1 

Bilderquelle: http://www.schulbilder.org/ (20.08.2010)

1 1 

⋅ ⋅ 

2 3 

1 

2 

= 

1 

12 

= 

0, 

083 












I4 • Baumdiagramme; Additions- und Multiplikationsregel 



Kommentar 

Die vorliegende Aufgabe verlangt eine einfache Anwendung der Multiplikationsregel in einer Situation, 

die nicht zur Routine der Schulmathematik zählt. 

Labyrinth_1 2


LABYRINTH 2 

Die Maus läuft in das Labyrinth. Kommt sie zu einer Weggabelung, so entscheidet sie 

sich zufällig für eine der Möglichkeiten, sie kehrt aber nie um. 

 

 

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Käse findet, ohne der Katze zu 

begegnen? 

Labyrinth_2 1 

Bilderquelle: http://www.schulbilder.org/ (20.08.2010)

1 ⎛ 1 1 

⋅ ⎜ ⋅ + 

2 ⎝ 3 2 

1 

3 

1 1 ⎞ 

⋅ ⋅ ⎟ = 

2 2 ⎠ 

1 

8 

= 


0, 

125 











I4 • Baumdiagramme; Additions- und Multiplikationsregel 



Kommentar 

Die vorliegende Aufgabe verlangt eine einfache Anwendung von Additions- und Multiplikationsregel in 

einer Situation, die nicht zur Routine der Schulmathematik zählt. 

Labyrinth_2 2


LAUTSTÄRKE 

Auszug aus einem Physikbuch: 

I 

Die Lautstärke L (in db, Dezibel) wird bestimmt durch die Formel L 10 lg 

 

 

 

, wobei 

I0 

 

12 

2 

I0 ein Bezugswert ist (Hörschwelle: 10 W m bei 1000 Hz). I bezeichnet die 

Schallintensität einer Schallquelle und ist damit eine Schallenergiegröße. 

Allgemein gilt: Eine Verdoppelung oder Halbierung der Lautstärke bedeutet eine 

Änderung der Lautstärke um ± 10 db. 

Beate soll für den Physikunterricht diese Formel für 1000 Hz mit Hilfe einer Graphik 

darstellen. Dazu nimmt sie folgende Umformungen vor: 

I 

12 

L 10 

lg 

10 

lgI lgI 

0 10 

lgI lg10 

 

10 

lgI 12 

I 

 

0 

Daraus ergibt sich folgende Wertetabelle: 

I -Achse 10 -12 

Beate gibt folgende Graphik ab: 

10 -10 

10 -8 

a) Erkläre die Umformungsschritte und die Berechnung der Wertetabelle. 

b) Was fällt dir an der Skalierung der I -Achse auf? 

c) Warum ist der typische Verlauf der Logarithmusfunktion nicht erkennbar? Warum 

ergibt sich eine Gerade? 

d) Um wie vielmal größer muss die Schallintensität werden, damit sich eine Verdoppelung 

der Lautstärke ergibt? Anders gefragt: Wie viele Mopeds benötigt man, 

damit sie doppelt so laut sind wie ein Moped? 


Lautstärke 1 

10 -6 

10 -4 

10 -2 

L-Achse 0 20 40 60 80 100 120 

1


a) Die Umformungsschritte entsprechen den Rechengesetzen für den Logarithmus, 

a 

verwendet werden die Gesetze log loga 

logb 

und loga b loga 

b 

b 

. 

Bei der Berechnung der Wertetabelle fällt auf, dass nur mit den Exponenten 

gerechnet wird. 

b) Der Punkt 10 -12 auf der I-Achse ist willkürlich gewählt; die angegebenen Punkte 

unterscheiden sich jeweils um das 100fache. Lediglich die Differenz der Exponenten 

ist konstant. 

c) Die typische Verlauf der Logarithmusfunktion ist durch die Skalierung der I-Achse 

nicht mehr sichtbar. 

Da durch den Ausdruck lg(I) nur mit den Exponenten gerechnet wird ergibt sich 

die lineare Funktion y 10 

(x 12) 

, wobei y für L und x für den Exponenten 

stehen. 

d) Eine Zunahme um 10 db bedeutet laut Angabe eine Verdoppelung der Lautstärke. 

Das ist aus der Graphik dadurch erkenntlich, dass jeweils beim 10fachen eines 

I-Wertes eine Zunahme um 10 db erfolgt (am einfachsten zu erkennen, wenn die 

nicht angegebenen Zwischenpunkte beschriftet werden). 

Konkret heißt das, 10 Mopeds sind doppelt so laut wie ein Moped. 

Lautstärke 2





Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und den Funktionstyp 

zuordnen können 

Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge 

wechseln können 

Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten 

können 


a) H2 numerische Rechenverfahren durchführen (z. B. Rechnen mit Dezimalzahlen, 


b) H4 mathematische Vermutungen formulieren und begründen (aufgrund deduktiven, 

c) 


d) H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext 

deuten 

a) 

b) 

c) 

d) 

a) 

b) 

c) 

d) 


I1 

I2 

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 

charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, 





Kommentar 

Die Aufgabe zielt vor allem darauf ab, den für die naturwissenschaftlichen Fächer notwendigen 

Umgang mit dem Logarithmus auch im Mathematikunterricht zum Thema zu machen. 

Die Aufgabe soll ausdrücklich darauf hinweisen, dass Rechnen mit Logarithmen nichts anderes 

bedeutet als Rechen mit Exponenten. Der Einfluss einer Skalierung auf das Aussehen eines Graphen 

soll behandelt werden. Der Begriff „Logarithmische Skala“ soll in diesem Zusammenhang thematisiert 

werden. 

Vereinfacht wird die Aufgabe, wenn man von der Formel L 10 

lgI 

12 

ausgeht. Die Aufgabenstellung 

bezieht sich dann nur mehr auf die Wertetabelle und den Graphen. 

Die Aufgabe geht über die Grundkompetenzen hinaus, da sich diese nur auf Exponentialfunktionen 

beschränken. 

Lautstärke 3

Erweiterung: 

Selbstverständlich kann im Unterricht auch rechnerisch auf folgende Fragen eingegangen 

werden: 

i) Hört man zwei solche Mopeds doppelt so laut? 

ii) Wenn nein, um wie viele db lauter sind zwei solche Mopeds? Wie viele gleich laute 

Mopeds muss man dann hören, damit sich die Lautstärke gegenüber einem Moped 

verdoppelt? 

Mögliche Lösungswege zu i) und ii): 

Annahme: Die Intensität eines Mopeds sei I, die Laustärke Lalt. 

Zwei solche Mopeds haben dann die Intentsität 2 I. 

I I 

Lneu 10 

lg 

 

2 

10 lg 

lg alt 

alt 

alt 

I 

 

 

 

0 I 

 

0 

2 L 10 

lg2 

L 10 

0,3 L 3 

Die Zunahme der Lautstärke bei Verdoppelung einer Schallquelle beträgt immer ca. 3db. 

Für die Anzahl n von Mopeds ergibt sich daher: 

Lneu Lalt 

10 

lg(n) 

, das heißt für n=10 ist (10) 1 

lauter als Lalt und damit doppelt so laut. 

lg und daher ist dann Lneu um 10db 

Lautstärke 4

LINEARE UNGLEICHUNG BEI HANDYTARIFEN 


Vom HandyNetzbetreiber TELMAXFON werden 2 Tarifmodelle angeboten: 

Tarif A: keine monatliche Grundgebühr, 

Verbindungsentgelt 6,8 ct pro Minute in alle Netze 

Tarif B: monatliche Grundgebühr 15 €, 

Verbindungsentgelt 2,9 ct pro Minute in alle Netze 

Interpretiere in diesem Zusammenhang den Ansatz und das Ergebnis der folgenden 

Rechnung: 

15 

15 

15 

0,039 

0, 

029 

t 0, 

068 

t 

0,039 t 

t 384,6 


Lineare Ungleichungen bei Handytarifen 1 

t 


Die Variable t steht für die Minutenanzahl beim Telefonieren. Mit dem Ansatz 

15 0,029 t 0,068 ct kann man überprüfen, ob der Tarif B bei t telefonierten Minuten 

günstiger ist als der Tarif A. 

Durch Umformen der Ungleichung sieht man, dass Tarif B günstiger ist als Tarif A, wenn 

man mehr als 384 Minuten telefoniert.





Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch 

geometrisch) deuten können 


H3 Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten 





Kommentar 

Es handelt sich um eine Unterrichtsaufgabe aus der Erfahrungswelt der Schüler/innen (Tarifvergleich 

für Handys, Internet,…). 

Erfahrungsgemäß lösen Schüler/innen solche Aufgabenstellungen eher mit Hilfe einer Gleichung und 

überlegen dann, wie das Ergebnis im Kontext zu interpretieren ist. Man kann im Unterrichtsgespräch 

auf Vor- und Nachteile der verschiedenen Lösungsvarianten eingehen. 

Lineare Ungleichungen bei Handytarifen 2

LINEARE UNGLEICHUNGEN BESTIMMEN 


Gib eine lineare Ungleichung an, die den farblich markierten Bereich (eine Halbebene) 

im Koordinatensystem beschreibt. 

a) b) 

c) 

a) y 2x 

2 

b) y 0,75x 2 

c) y 2 

d) x 

2 


Lineare Ungleichungen bestimmen 1 

d) 

Möglicher Lösungsweg








H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, 

symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen 

Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln 





Kommentar 

Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht zum Wiederholen oder Vertiefen des Stoffgebiets gedacht, 

kann aber auch als Testaufgabe verwendet werden. 

Die Aufgabenstellung macht den Schülerinnen und Schülern bewusst, dass eine lineare Ungleichung 

unendlich viele Lösungspaare besitzt, die geometrisch interpretiert Punkte einer offenen oder 

geschlossenen Halbebene sind. Ersetzt man das Ungleichheitszeichen durch das Gleichheitszeichen, 

so erhält man die „Grenzgerade“, welche den R 2 in zwei Halbebenen teilt. 

Lineare Ungleichungen bestimmen 2

LINEARE UNGLEICHUNGEN ZUORDNEN 


In den Grafiken ist jeweils ein Bereich (Halbebene) farblich markiert. 

Ordne den einzelnen Bereichen die lineare Ungleichung zu, welche die Halbebene im 

Koordinatensystem richtig beschreibt. 

A: y 2 

E: x 2 

B: 2y 3x 

0 

F: 

2 

y x 

3 

C: 3y 2x 

6 

G: 3x 2y 

4 

D: 

3 

y x 2 

2 

H: 

2 

y x 2 

3 

(1) (2) 

Ungleichung: …. Ungleichung: …. 

(3) (4) 

Ungleichung: …. Ungleichung: …. 


Lineare Ungleichungen zuordnen 1


Grafik (1): Ungleichung G 

Grafik (2): Ungleichung E 

Grafik (3): Ungleichung C 

Grafik (4): Ungleichung B 















Kommentar 

Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht zum Wiederholen oder Vertiefen des Stoffgebiets gedacht, 

kann aber auch als Testaufgabe verwendet werden. 

Die Aufgabenstellung macht den Schülerinnen und Schülern bewusst, dass eine lineare Ungleichung 

unendlich viele Lösungspaare besitzt, die geometrisch interpretiert Punkte einer offenen oder 

geschlossenen Halbebene sind. Ersetzt man das Ungleichheitszeichen durch das Gleichheitszeichen 

so erhält man die „Grenzgerade“, welche den R 2 in zwei Halbebenen teilt. In dieser Aufgabe stehen 

Ungleichungen zur Auswahl, die zugeordnet werden müssen, wobei darauf geachtet werden muss, ob 

die Punkte auf der Grenzgeraden zur Lösungsmenge dazugehören (, ) oder nicht (). 

Lineare Ungleichungen zuordnen 2

LÖSEN EINER EXPONENTIALGLEICHUNG 


Gleichungen kann man auf verschiedene Arten lösen. Dies soll mit der Gleichung 

0,41 4 

x auf folgende Arten erfolgen: 

a) Graphische Methode 

b) Löse die Gleichung rechnerisch. 


Lösen einer Exponentialgleichung 1

a) 

b) 


x 

0,41 4 | ln(x) 

x ln( 0, 

41) 

ln( 4) 

x 

ln( 4) 

ln( 0, 

41) 

x 1, 

55484 

1, 

6 





(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme 

Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können 






Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und 

im Kontext deuten können 


a) H2 mit und in Tabellen oder Grafiken operieren 

b) H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und 

durchführen 

a) 

b) 

a) 

b) 


I2 gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen 



Kommentar 

Die Aufgabe soll dazu anregen, auf verschiedenen Wegen zu einer Lösung zu kommen. Mathematisch 

exakte Rechenvorgänge werden veranschaulicht. 

Der Einsatz eines GTR/CAS oder PC ist vorteilhaft. 


LÖSUNGEN VON LINEAREN UNGLEICHUNGEN 1 


a) Gegeben ist die lineare Ungleichung y 3x 4 . 

Entscheide, ob die in der Tabelle angegebenen Zahlenpaare Lösung der 

vorgegebenen Ungleichung sind und kreuze die richtigen Antworten an. 

Lösung keine Lösung 

(2|-1) 

(2|2) 

(2|5) 

(0|4) 

(0|-5) 

b) Erkläre, wie du bei Aufgabenstellung a) vorgegangen bist. 

a) 


Lösung keine Lösung 

(2|-1) 

(2|2) 

(2|5) 

(0|4) 

(0|-5) 

b) Man setzt in der Ungleichung für die Variablen x und y die Werte des Punktepaares 

(x|y) ein. Erhält man eine wahre Aussage, ist das Punktepaar Lösung der 

Ungleichung. Erhält man eine falsche Aussage, ist das Punktepaar nicht Lösung 

der Ungleichung. 


Lösungen von linearen Ungleichungen 1 1













Kommentar 

Diese Aufgabe eignet sich als Diagnoseinstrument. Schülerinnen und Schüler müssen wissen wie man 

überprüft, ob ein Zahlenpaar Lösung einer Ungleichung ist oder nicht und können dies auch operativ 

durchführen. 

Fragestellung b) zielt darauf ab, dass die Schüler/innen ihre Überlegungen verbal beschreiben müssen. Es 

ist auch denkbar die Aufgabenstellungen a) und b) zu vertauschen, sodass Schüler/innen sich zuerst 

Gedanken über die Vorgangsweise machen müssen, diese dann im Hinblick auf Kommunikationsfähigkeit 

verbalisieren und anschließend an einer konkreten (selbst gewählten oder vorgegebenen) 

Aufgabe anwenden müssen. 

Eine mögliche Variante ist, ein Zahlenpaar angeben zu lassen, das Lösung bzw. keine Lösung ist. 




Gegeben ist die lineare Ungleichung 2x 6y 

3 

. 

a) Entscheide, ob die in der Tabelle angegebenen Zahlenpaare Lösung der vorgegebenen 

Ungleichung sind, kreuze die richtigen Antworten an und begründe deine 

Entscheidung. 

Lösung 

keine 

Lösung 

(18|9) 

(10|5) 

(11|3) 

b) Deute die Ergebnisse aus a) geometrisch. 

Begründung 



a) 

Lösung 


keine 

Lösung 

(18|9) 

(10|5) 

(11|3) 

Begründung 

2 18 6 9 3 

18 

1 

w. 

A. 

Setzt man das Zahlenpaar in die Ungleichung ein, 

so erhält man eine w. A., d.h. das Zahlenpaar ist 

Lösung der Ungleichung. 

2 ( 10) 

6 ( 

5) 

3 

10 

3 

f. 

A. 


so erhält man eine f. A., d.h. das Zahlenpaar ist 

keine Lösung der Ungleichung. 

2 ( 11) 

6 ( 

3) 

3 

3 3 

w. 

A. 


so erhält man eine w. A., d.h. das Zahlenpaar ist 

Lösung der Ungleichung. 

b) Das Zahlenpaar (18|9) ist Lösung der Ungleichung, d. h. der Punkt (18|9) liegt in 

der durch die Ungleichung bestimmten Halbebene. 

Das Zahlenpaar (10|5) ist keine Lösung der Ungleichung, d. h. der Punkt (10|5) 

liegt außerhalb der durch die Ungleichung bestimmten Halbebene. 

Das Zahlenpaar (11|3) ist Lösung der Ungleichung, es gilt das Gleichheits- 

1 1 

zeichen (3 =3), d. h. der Punkt (11|3) liegt auf der Geraden g: y x , 

3 3 

welche die Halbebene begrenzt. 






H2 

H3 




elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen 

Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten 


I1 Umkehrfunktionen zu einfachen Funktionen 



Kommentar 

Diese Aufgabe ist eine Variation der Aufgabe „Lösungen von linearen Ungleichungen 1“ und spricht im 

Prinzip die gleichen Kompetenzen an. Schüler/innen müssen wissen wie man überprüft, ob ein Zahlenpaar 

Lösung einer Ungleichung ist oder nicht und können dies auch operativ durchführen. Die Frage 

nach der Begründung zielt darauf ab, dass die Schüler/innen ihre Überlegungen verbal beschreiben 

müssen. 

Die Fragstellung b) schafft die Verbindung zwischen algebraischer Lösung und geometrischer Deutung. 

Es muss für alle Punkte beurteilt werden, ob sie zur Halbebene gehören oder nicht. Speziell wurde 

auch ein Punkt vorgegeben, der auf der Grenzgerade liegt. 




Gegeben ist die lineare Ungleichung 2x 6y 3 

. 

a) Für welche reellen Zahlen a R ist das Zahlenpaar (18; a) Lösung der Ungleichung? 

Begründe deine Entscheidung. 

b) Für welche reellen Zahlen b R ist das Zahlenpaar (b; 5) keine Lösung der 

Ungleichung? Begründe deine Entscheidung. 


a) Man setzt das Zahlenpaar (18; a) in die Ungleichung ein und berechnet daraus a. 

2 18 6a -3 

36 6a 

-3 |-36 

6 a -39 |:(-6) 

a 6,5 

Für alle reellen Zahlen a, die größer oder gleich 6,5 sind, wird die Ungleichung zu 

einer wahren Aussage, d.h. (18; a) ist eine Lösung, wenn a größer oder gleich 6,5 

ist. 

b) Man setzt das Zahlenpaar (b; 5) in die Ungleichung ein und berechnet daraus b. 

2 b 6 ( 

5) 

-3 

2 b 30 -3 |-30 

2 b -33 |:(-2) 

b -16,5 

Für alle reellen Zahlen b, die kleiner oder gleich 16,5 sind, wird die Ungleichung 

zu einer wahren Aussage, d.h. (b; 5) ist keine Lösung, wenn b größer –16,5 ist. 







H2 

H3 




elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und durchführen 






Kommentar 

Diese Aufgabe gehört zu einer Serie von drei Aufgabenstellungen „Lösungen von linearen 

Ungleichungen“, die man eventuell als Diagnoseinstrument verwenden kann. Schüler/innen müssen 

wissen, wie man überprüft, ob ein Zahlenpaar Lösung einer Ungleichung ist oder nicht und dies auch 

operativ durchführen können. Die abgeänderte Fragestellung erfordert ein Interpretieren der Lösung im 

Kontext. 



LUFTDRUCK 

kh 

Die Funktion p(h) p0 

e beschreibt die Veränderung des atmosphärischen Luftdrucks 

in Abhängigkeit von der Höhe (in m). Der Luftdruck auf Meeresniveau wird mit 

4 

p0 1013 hPa 

und die Konstante mit k 1,25 10 

angenommen. 

a) Berechne die fehlenden Werte und trage sie in die Tabelle ein. 

h 0 1000 2000 3000 4000 5000 

p(h) 894 789 614 

h 6000 7000 8000 9000 10000 ------ 

p(h) 479 423 373 329 ------ 

b) Skizziere den Graphen und zeichne die Werte ein. 

c) In welcher Höhe beträgt der Luftdruck 500 hPa? 

Zeichne diesen Punkt in der Graphik ein, lies den Wert ab und überprüfe ihn durch 

Berechnung. 


Luftdruck 1

a) 

b) 


h 0 1000 2000 3000 4000 5000 

p(h) 1013 894 789 696 614 542 

h 6000 7000 8000 9000 10000 ------ 

p(h) 479 423 373 329 290 ------ 

c) Genaue Berechnung: 5648,51m 

aus Graphik: 5600m oder 5700m 

Luftdruck 2





Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und 

im Kontext deuten können 


a) H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und 

durchführen 

b) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, 



c) H3 Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext 

deuten 

a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) 







Kommentar 

Durch das Ermitteln von Daten und das Erstellen eines Graphen wird eine Verbindung zur 

anwendungsorientierten Mathematik hergestellt. 

Der Umgang mit verschiedenen mathematischen Methoden wird angeregt. 

Der Einsatz von grafikfähigen Taschenrechnern, CAS oder PC ist vorteilhaft. 

Luftdruck 3


NORMALE GERADEN IN R 2 UND R 3 

a) Die Gerade g ist beschrieben durch die Gleichung g: 1 

3 

 

X r . 

2 

4 

 

Gib die normale Gerade n zur Geraden g durch A(1|2) in Parameterform an. 

b) Die Gerade g ist beschrieben durch die Gleichung g: 

a) n: 

1 

3 

 

 

X 2 

r 4 

. 

 

7 

5 

 

(1) Beschreibe an Hand eines Beispiels, wie du einen Normalvektor zum Vektor 

3 

 

 

u 4 

 

 

5 

 

 

bestimmst. 

(2) Gib eine normale Gerade n zur Geraden g durch A(1|2|7) in Parameterform an. 

(3) Begründe, warum es nicht nur die von dir bestimmte normale Gerade gibt. 

14 Xr 23 Möglicher Lösungsweg 

Alle Vielfachen des Richtungsvektors u sind auch möglich. 

b) (1) Beschreibung: 

Zwei Vektoren stehen aufeinander normal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. 

Man setzt z.B. eine Koordinate Null (in diesem Fall die zKoordinate), 

vertauscht die beiden anderen Koordinaten (x und yKoordinate) und 

verändert ein Vorzeichen. 

3 

4 

 

Beispiel: 4 

 

3 

0 

5 

0 

 


Normale Geraden in R 2 und R 3 1

Oder: man wählt 2 Koordinaten beliebig (in diesem Fall x und yKoordinate) 

und berechnet die 3. Koordinate, indem man das Skalarprodukt null setzt. 

3 

5 

 

 

Beispiel: 4 

4 

0 15 20 5z 0 z 7 

5 

z 

 

1 

4 

1 

5 

 

 

(2) z.B. n: X 2 

r 

3 

oder n: X 2 

r 5 

 

3 

0 

 

 

3 

 

7 

(3) Die Gerade n ist nicht eindeutig bestimmbar, da auf einen Vektor im R 3 

unendlich viele, nicht parallele Normalvektoren bestimmt werden können. 

Man könnte für einen weiteren Normalvektor zwei andere Koordinaten frei 

wählen (z.B. y- und z-Koordinate) und die dritte Koordinate (x-Koordinate) 

berechnen. 





Vektoren 

Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können 


a) H1 ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder 

entwickeln 

b) H1 

a) 

b) 

a) 

b) 

H4 

ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder 

entwickeln 

mathematische Vermutungen formulieren und begründen (aufgrund deduktiven, 






Kommentar 

Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht. Sie kann einerseits zum Bewusstmachen der 

Problematik bei der Ermittlung eines Normalvektors auf einen Vektor in R 3 eingesetzt werden, 

andererseits aber auch als Wiederholungsaufgabe zur Verdeutlichung des Unterschiedes in der 

Orthogonalität in R 2 bzw. R 3 dienen. 

Schüler/innen neigen dazu, Konzepte aus dem R 2 unreflektiert auf den R 3 zu übertragen. Dem kann 

man entgegenwirken, indem man die Schüler/innen auffordert, nach einem Normalvektor zu suchen, für 

den alle drei Koordinaten ungleich null sind. 

Die Verwendung des Skalarproduktes wird üblicherweise zum Nachweis der Orthogonalität 

 

 

angewendet a b 0 a b w enn a und b o . In diesem Fall wird der umgekehrte Weg 

 

 

 

beschritten, man setzt voraus, dass die Vektoren orthogonal sind und berechnet mit Hilfe des 

Skalarproduktes die fehlenden Koordinaten. Es trägt zum Verständnis und zur Festigung des 

Orthogonalitätskriteriums bei, wenn Aufgabenstellungen nicht nur algorithmisch abgearbeitet werden. 



NORMALE GERADEN IN R 3 

Die Gerade g ist gegeben durch die Gleichung g: 

1 

3 

 

X 2 

r 

4 

. 

 

5 

2 

Bei der Hausübung soll zur Geraden g eine normale Gerade n aufgestellt werden. 

Ulli gibt als Lösung n: 

1 

4 

 

 

X 2 

s 3 

an. 

 

5 

0 

 

Hans gibt die Geradengleichung n: 

1 

2 

 

X 2 

s 3 

an. 

 

5 

3 

Wer hat eine richtige Lösung gefunden? Begründe deine Antwort. 


Ulli und Hans haben beide eine richtige Lösung gefunden. 

Die Richtungsvektoren stehen aufeinander normal, weil das skalare Produkt jeweils Null 

3 4 3 2 

 

ergibt: 

4 

 

3 

0 , 

4 

3 

0 

2 0 

2 3 

 


Normale Geraden in R 3 1




Vektoren 

Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen 

interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen 

Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können 


H4 mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten 







Kommentar 

Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht und eignet sich im besonderen Maße für 

kooperative Lernformen. Sie zielt auf das Bewusstmachen der Problematik bei der Ermittlung eines 

Normalvektors auf einen Vektor in R 3 ab. 

Zum Nachweis der Orthogonalität kann das Skalarprodukt verwendet werden. Die Schüler/innen 

machen die Erfahrung, dass es zu einem Vektor in R 3 nicht nur einen, sondern unendlich viele 

Normalvektoren gibt. Im Unterricht können mit dieser Aufgabe die verschiedenen Methoden zur 

Ermittlung eines Normalvektors in R 3 thematisiert und reflektiert werden. 

Die Methode „Nullsetzen einer Koordinate“ kann für alle drei Koordinaten angewendet werden 

(Anwenden eines Konzepts aus dem R 2 in R 3 ). Weiters kann man den Schülerinnen und Schülern die 

Frage stellen, wie man Normalvektoren bestimmen kann, deren Koordinaten alle ungleich null sind. 

Normale Geraden in R 3 2


SCHULBALL 

In einer Schule werden für die Eröffnung des Schulballes Paare gesucht, die Walzer 

tanzen können. 

Von den Schülerinnen und Schülern der Maturaklassen können 18 % Linkswalzer (und 

selbstverständlich auch Rechtswalzer) und 60 % nur Rechtswalzer tanzen, der Rest sind 

Nichttänzer. 

Der Prozentsatz an Burschen von den Linkswalzerkönnern/könnerinnen beträgt 30%, 

von den Rechtswalzerkönnern/könnerinnen 45% und von den Nichttänzern/tänzerinnen 

65%. 

a) Stelle den Text grafisch dar (z.B. durch ein Baumdiagramm). 

In den Aufgaben b) bis e) wird ein Schüler/eine Schülerin zufällig ausgewählt. 

Formuliere die Wahrscheinlichkeiten der gesuchten Ereignisse zuerst allgemein durch 

Symbole und verwende dabei für die Ereignisse die unten angegebenen Abkürzungen. 

Berechne danach die Wahrscheinlichkeiten und trage beides in der nachstehenden 

Tabelle ein. 

B…..Bursch, M…..Mädchen, L…..Links- und Rechtswalzerkönner/innen, 

R…..nur Rechtswalzerkönner/innen, N…..Nichttänzer/innen 

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter den Linkswalzerkönnern/könnerinnen ein 

Mädchen zu finden? 

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in den Maturaklassen einen Burschen zu 

finden, der Linkswalzer tanzen kann? 

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in den Maturaklassen einen Burschen zu 

finden, der Walzer tanzen kann? 

e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in den Maturaklassen einen Burschen 

auszuwählen? 

b) 

c) 

d) 

e) 

allgemein Rechnung 


Schulball 1

a) Grafik als Baumdiagramm 

oder Grafik als Mengendiagramm 


allgemein Rechnung 

b) P(M|L) 1 − 0,3 = 0,7 

P(M | L) = 

70% 

c) P(L∧B) 0,18 ⋅ 0,3 = 0,054 

P(L ∧ B) = 

5,4% 

d) P(L∧B) + P(R∧B) 0,18 ⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,45 = 0,324 

P(L ∧ B) + P(R ∧ B) = 32,4% 

e) P(L∧B) + P(R∧B) + P(N∧B) 0,18 ⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,45 + 0,22 ⋅ 0,65 = 0,467 

P ( L ∧ 

B) 

+ P( 

R ∧ B) 

+ P( 

N ∧ B) 

= 46, 

7% 

Schulball 2









H1 • alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen 





Kommentar 

Ein Kennzeichen dieser Aufgabe ist der umfangreiche Text, aus dem die wesentlichen mathematischen 

Informationen zur Lösung der Aufgabe herausgefiltert werden müssen. Textverständnis und 

Übersetzungskompetenz sind wichtige Aspekte des Bildungsauftrages von Mathematik. 

Die Aufgabe verlangt außer der Errechnung der Wahrscheinlichkeiten eine exakte Verwendung 

mathematisch üblicher Symbole und Schreibweisen. Die Übertragung des Textes in die Sprache und 

Symbolik der Mathematik ist ein wesentlicher Teil dieser Aufgabe. Auch die Mengenschreibweise z.B. 

P(L∩B) ist üblich und zulässig. 

Die Aufgabe ist als Unterrichtsaufgabe zur Festigung bzw. Wiederholung im Sinne der Nachhaltigkeit 

gedacht. 

Schulball 3


TESTERGEBNIS 

Ein Test enthält fünf Aufgaben, die jeweils nur mit einem 

Punkt (alles richtig) oder keinem Punkten (nicht alles 

richtig) bewertet werden. 

Die nebenstehende Grafik zeigt das Ergebnis dieses Tests 

für eine bestimmte Klasse. 


Testergebnis 1 

Anzahl der SchülerInnen | 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 

erzielte Punkte 

a) Wenn man davon ausgeht, dass die Grafik zwar keine falschen Werte enthält, 

aber dennoch manipuliert sein könnte, lässt sich dann nur aus der Grafik alleine 

(ohne den Hinweis auf „fünf Aufgaben“ im Text) erkennen, wie viele Aufgaben der 

Test enthält? Begründe deine Antwort. 

b) Wie viele Schüler/innen haben den Test mitgeschrieben? 

c) Wie groß ist die durchschnittliche erzielte Punktezahl (zwei Nachkommastellen, 

nicht gerundet)? 

d) Wie groß ist der Median der erzielten Punkte? 

e) Welches der folgenden Kastenschaubilder (welcher Boxplot) ist eine Darstellung 

des oben beschriebenen Tests? Kreuze an. 

A B C 

0 

1 2 3 4 5 

0 

1 2 3 4 5 

D E F 

0 

1 

2 3 4 5 

0 

1 2 3 4 5 

0 

0 1 

1 2 3 

4 5 

2 3 4 5


a) Nein. Begründung: 

- Da es Schüler/innen gibt, die 5 Punkte erzielt haben, kann der Test nicht 

weniger als 5 Aufgaben enthalten. 

- Es ist jedoch denkbar, dass der Test mehr als 5 Aufgaben enthält, wobei aber 

niemand mehr als 5 Aufgaben gelöst hat und dieser Sachverhalt zugunsten 

einer „besseren Optik“ nicht dargestellt wurde. Seriöse Darstellungen zeigen 

allerdings stets den gesamten Ereignisraum (die Menge aller möglichen gültigen 

Versuchsausgänge). 

b) 0 + 3 + 4 + 3 + 6 + 5 = 21 Schüler/innen 

c) 0 ⋅ 0 + 3 ⋅1+ 

4 ⋅ 2 + 3 ⋅3 

+ 6 ⋅ 4 + 5 ⋅5 

= 3, 

28 

21 

d) Sortierte Liste: 

e) 

1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 

⇒ Median = 4 

Hinweis: Zufällig stimmen hier Median und Modalwert überein - es wäre daher 

denkbar, mit einer falschen Strategie zur „richtigen“ Antwort zu kommen. Diese 

spezielle Situation kann im Unterricht thematisiert werden. 

A B ⎩ C 

0 

1 2 3 4 5 

0 

1 2 3 4 5 

D E F 

0 

1 

2 3 4 5 

0 

1 2 3 4 5 

1 2 3 

4 5 

Testergebnis 2 

0 

0 1 

2 3 4 5 

Hinweis: Die hier gezeigten Darstellungen entsprechen der gängigen Praxis der 

meisten Rechner bzw. von Statistik-Software, es sind jedoch auch andere 

Darstellungen möglich. Insbesondere ist es zulässig, bei einer geraden Anzahl von 

Daten in einer (Teil-) Liste jeden Wert des mittleren Intervalls oder auch einen der 

Randwerte als Median bzw. Quartil anzunehmen.





• Werte aus tabellarischen und elementaren statistischen Grafiken ablesen und im 

jeweiligen Kontext deuten können: Stab-, Kreis-, Linien-, Streudiagramm, Prozentstreifen, 

Kastenschaubild 

• Tabellen und elementare statistische Grafiken erstellen, zwischen diesen 

Darstellungsformen wechseln können 

• Stärken, Schwächen und Manipulationsmöglichkeiten elementarer statistischer 

Grafiken nennen und in Anwendungen berücksichtigen können 

• Statistische Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln und im jeweiligen Kontext 

deuten können: absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, 

Modus; Quartile, Perzentile; Spannweite, Quartilabstand und empirische Varianz/ 

Standardabweichung 


a) H3 • tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, 

beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten 

b) H3 • Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext 

deuten 

c) H2 • numerische Rechenverfahren durchführen (z. B. Rechnen mit Dezimalzahlen, 


d) H2 • mit und in Tabellen oder Grafiken operieren 

e) H1 • einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, 



a) 

b) 

c) 

d) 

e) 


I4 • Darstellungsformen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik: Zentral- und 



a) K3 • Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren 

b) 

c) 

d) 

e) 


Kommentar 

Bei der Erstellung der Aufgabe wurde darauf geachtet, alle vier in der Beschreibung der Grundkompetenzen 

zur Beschreibenden Statistik genannten Punkte - zumindest in Teilaspekten - anzusprechen. 

Testergebnis 3

UMKEHRFUNKTION – JA ODER NEIN 

ab Ende der 10 Schulstufe 

In der Zeichnung ist der Graph einer reellen Funktion f(x) dargestellt. 

a) Spiegle den Graph an der Geraden y = x (1.Mediane). 

b) Begründe die Aussage: „Bei der neuen Kurve handelt es sich nicht um den 

Graphen einer reellen Funktion“. 

c) Auf welche Art und Weise kann eine Wertetabelle des gespiegelten Graphen 

erstellt werden, wenn die Wertetabelle der ursprünglichen Funktion gegeben ist? 


Umkehrfunktion – JA oder NEIN 1

a) 


b) Zu einem x-Wert kann nun nicht eindeutig ein Funktionswert zugeordnet werden. 

c) Durch Vertauschen der x-Werte und der y-Werte. 

Beispiel: Aus D(0|2) wird D´(2|0). 






Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen 

betrachten kann 


H3 tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben 



I2 Funktionen: Begriff und Darstellungsformen (z.B. Text, Tabelle, Graph, Term, Gleichung, 

Parameterform, rekursive Darstellung) 



Kommentar 

Die Schüler/innen sollen durch Einsatz von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten die Tätigkeiten 

beschreiben und begründen können. Am Ende soll eine vertiefte Kenntnis des Begriffs einer reellen 

Funktion stehen. 

Die Aufgabe eignet sich eher als Unterrichtsaufgabe, wobei eine schülerzentrierte Erarbeitung sinnvoll 

erscheint. 


UNGLEICHUNG MIT FALLUNTERSCHEIDUNG 1 


2 

Für welche reellen Werte von x 0 gilt: 4 ? 

x 

Gib die Lösungsmenge in Worten und in mathematisch korrekter Schreibweise an. 

Erkläre die diversen Umformungsschritte unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens 

und stelle die Lösung auf der Zahlengeraden dar. 

2 

2 

4 | x 

0 4 | x 

0 

x 

x 

2 4x |: 4 2 4x |: 4 

1 

x 

2 

1 

x 

2 

1 

1 

x x 0 x x 0 

2 

2 


Ein Ungleichheitszeichen bleibt unverändert, 

wenn man auf beiden Seiten mit 

derselben positiven Zahl multipliziert, aber 

es ändert sich, wenn man mit einer negativen 

Zahl multipliziert. Da x sowohl positive 

als auch negative Werte annehmen 

kann (x = 0 lt. Angabe ausgeschlossen), 

muss man 2 Fälle unterscheiden. 


wenn man auf beiden Seiten der 

Gleichung durch dieselbe positive Zahl 

dividiert. 

Wenn 

1 

x und x 0 gleichzeitig erfüllt 

2 

sein soll, muss 

1 

x sein. 

2 

1 

1 

1 

Wenn x und x 0 gleichzeitig erfüllt 

L1 x 

R 

| x L1 x 

R 

| x 

2 

2 

2 

sein soll, muss x 0 sein 

Die Ungleichung ergibt eine wahre Aussage, wenn man für x Werte kleiner als 0 oder 

1 

größer als einsetzt. 

2 

 

1 

L L1 

L 

2 x 

R 

| x 0 x 

 

2 

1 

Die Randwerte x = und x = 0 gehören nicht zur Lösungsmenge. 

2 


Ungleichung mit Fallunterscheidung 1 1













Kommentar 

Die Aufgabensequenz “Ungleichung mit Fallunterscheidung 1 bis 4“ spricht bei gleicher inhaltlicher 

Dimension durch geänderte Fragestellungen unterschiedliche Handlungsbereiche an. 

In der vorliegenden Aufgabe liegt der Schwerpunkt der Handlung im reflektierten Operieren (H2-K3). 

Die Darstellung der Lösungsmenge auf der Zahlengerade ist dem Handlungsbereich H1 zuzuordnen. 

Insgesamt liegt eine Unterrichtsaufgabe vor, in der mehrere Kompetenzen angesprochen werden. 




2 

Die Lösung der Ungleichung 4 (x0) ist angeführt. 

x 

Erkläre die einzelnen Umformungsschritte unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichen 

und gib die Lösung in Worten an. 

2 

2 

4 | x 

0 4 | x 

0 

x 

x 

2 4x |: 4 2 4x |: 4 

1 

x 

2 

1 

x 

2 

1 

1 

x x 0 x x 0 

2 

2 

 

1 

L 

x 

R 

| x 0 x 

 

2 



2 

2 

4 | x 

0 4 | x 

0 

x 

x 

2 4x |: 4 2 4x |: 4 

1 

x 

2 

1 

x x 

2 


1 

x 

2 

1 

x x 

2 

0 0 Wenn 

 

1 

L x 

R 

| x 0 x 

 

2 


wenn man auf beiden Seiten mit 

derselben positiven Zahl multipliziert, aber 

es ändert sich, wenn man mit einer negativen 

Zahl multipliziert. Da x sowohl positive 

als auch negative Werte annehmen 

kann (x = 0 lt. Angabe ausgeschlossen), 

muss man 2 Fälle unterscheiden. 


wenn man auf beiden Seiten der 

Gleichung durch dieselbe positive Zahl 

dividiert. 

1 


2 

sein soll, muss 

Wenn 

1 

x sein. 

2 

1 


2 

sein soll, muss x 0 sein. 

Die gegebene Ungleichung ergibt also 

dann eine wahre Aussage, wenn x 0 

1 

oder x ist. 

2 

1 

Die Randwerte x = und x = 0 gehören nicht zur Lösungsmenge. 

2 














Kommentar 



In der vorliegenden Aufgabe liegt der Schwerpunkt der Handlung nicht im eigenen Operieren (alle 

Rechenschritte sind bereits durchgeführt), sondern im Nachdenken über diese Handlungen (K3) und in 

der richtigen Deutung der Ergebnisse bzw. der angeführten mathematischen Schreibweisen (also 

sicher ein wenig Interpretieren H3). Im Vergleich zur Aufgabe 1 eher eine Version „light“, die aber doch 

- als Diagnoseaufgabe eingesetzt - zeigen kann, wo Schüler/innen Schwierigkeiten haben. 




2 

Bei der Lösung der Ungleichung 4 

x 

Erkläre warum und welche Fallunterscheidung nötig ist. 

(x 0) ist eine Fallunterscheidung nötig. 


Beim Lösen der Ungleichung, muss man beide Seiten mit x multiplizieren. Dabei muss 

man zwei Fälle unterscheiden: 

Ist der Wert von x positiv, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten. 

Ist der Werte von x negativ wird aus dem Kleiner- ein Größerzeichen. 










H4 die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise 

problembezogen argumentativ belegen 





Kommentar 



In der vorliegenden Aufgabe liegt der Schwerpunkt der Handlung im Anführen von grundlegenden 

Kenntnissen über das Lösen von Ungleichungen (K1). Noch besser käme die Zuordnung H4 

(Argumentieren; Begründen) zum Tragen, wenn die Fragestellung dahingehend erweitert wird, 

anzuführen, warum das Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit einer negativen Zahl geändert 

werden muss. In Anbetracht der Stundenzahl in vielen Oberstufenformen, ist anzunehmen, dass im 

Unterricht keine allgemeinen Beweise zum Umformen von Ungleichungen, sondern nur ein 

Plausibelmachen anhand von Zahlenbeispielen erfolgt. 




Einer Klasse wurde zur Aufgabe gestellt, alle reellen Zahlen zu finden, welche die 

2 

Ungleichung 3 7 mit x 0 erfüllen. 

x 

Begründe, warum folgender Lösungsversuch falsch ist. 

2 

3 7 | 3 

x 

1. Fall 2. Fall 

2 

2 

4 | x 0 

4 | x 0 

x 

x 

2 4x 

| : 4 

2 4x 

| : 4 

1 

x 

2 

1 

x 

2 

1 

Die Ungleichung ergibt eine wahre Aussage, wenn man für x Werte kleiner als oder 

2 

1 

größer als einsetzt. 

2 


Es wurde darauf vergessen, dass bei jedem Fall zwei Bedingungen für x erfüllt sein 

müssen. 

Im 1. Fall gilt: Wenn x > 0 ist, ergibt sich die Lösung 

Im 2. Fall gilt: Wenn x < 0 ist, ergibt sich die Lösung 

1 

x , also muss 

2 

1 

x sein. 

2 

1 

x , also muss x < 0 sein. 

2 

1 

Die Gesamtlösung heißt daher: x kann Werte kleiner als 0 oder größer als annehmen. 

2 










H4 mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten 







Kommentar 



In der vorliegenden Aufgabe liegt der Schwerpunkt der Handlung im Finden von Argumenten, warum 

die Lösung falsch ist. Es muss nicht über die Rechnung an sich (wäre H2) nachgedacht werden, 

sondern über Argumente, warum die Schlussfolgerungen, die gezogen wurden, zu einer falschen 

Lösung führen (daher H4). 



VEKTOREN BEI PERLENSTERNEN 

Für einen Adventmarkt sollen Perlensterne hergestellt werden. Den 

Materialbedarf für die verschiedenen Modelle kann man der 

folgenden Tabelle entnehmen. 

Den Spalten der Tabelle entsprechen Vektoren in R 4 : 

Materialbedarfsvektor S1 für den Stern 1, S2 für Stern 2, 

Kostenvektor K pro Packung zu 10 Stück, Lagerbestand L. 

Wachsperlen 

6 mm 

Wachsperlen 

3 mm 

Glasperlen 

6 mm 

a) Was gibt K L an? 

1 

b) Was gibt K 

10 

an? 

c) Von jedem Stern soll ein Probeexemplar hergestellt werden. Der Vektor S gibt den 

für die zwei Sterne benötigten Materialbedarf an. 

Drücke S durch S1 und S2 aus und berechne S. 

d) Berechne die Herstellungskosten für das Sternmodell 2. Berücksichtige, dass zu 

den Kosten für die Perlen pro Stern noch die Kosten von 0,50 € für 1m Silberdraht 

dazukommen. 

e) Was gibt S1 K an? 

Material 

Stern 1 

1 

1 

an? 

10 

f) Was gibt S 8 S K 

5 2 

g) Was gibt 10 L 5 S 8 S 

an? Berechne diese Zahl. 

1 

Material 

Stern 2 

2 

Kosten pro 

Packung Perlen 

Lagerbestand der 

PerlenPackungen 

1 0 0,20 € 8 

72 84 0,04 € 100 

0 6 0,90 € 12 

Glasperlen oval 8 0 1,50 € 9 


Vektoren bei Perlensternen 1

S 1 

1 

 

72 

0 

 

 

8 

S 2 

0 

 

84 

6 

 

 

0 


0, 

20 

 

0, 

04 

K 0, 

90 

 

 

1, 

50 

8 

 

100 

L 12 

 

 

9 

a) Mit K L berechnet man den Wert des Lagerbestandes. 

1 

b) K 

10 

c) 

d) 

gibt die Kosten für (jeweils) eine Perle der jeweiligen Sorte an. 

1 

0 1 

 

72 

84 

156 

S S1 

S2 

 

0 6 6 

 

 

8 0 8 

Der Materialbedarf für die Probeexemplare beträgt 1 Wachsperle 6 mm, 

156 Wachsperlen 3 mm, 6 Glasperlen 6 mm und 8 Glasperlen oval. 

K 

 

S 2 

 

 

1 

10 

0 0,20 

 

 

84 

0,04 

 

0,50 

 

6 0,90 

 

 

 

0 

 

1,50 

 

 

0,50 

3,36 5,4 

: 10 0,50 8,76 : 10 0,50 1,376 1,38 

Die Herstellungskosten für den 2. Stern belaufen sich auf 1,38 €. 

1 

10 

e) S1 K gibt die Materialkosten ohne Draht für 10 Sterne vom Modell 1 an. 

5 1 2 

1 

10 

gibt die Kosten für die Perlen für 5 Sterne Modell 1 und 

8 Sterne Modell 2 an. 

f) S 8 S K 

g) 10 L 5 S 8 S 

1 2 gibt die noch vorhandenen Perlen nach der Fertigung von 

5 Sternen Modell 1 und 8 Sternen Modell 2 an. 





Vektoren 

Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, 

Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch 





I1 Vektoren: Darstellungsformen, Operationen und Rechenregeln 



Kommentar 

Diese Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht, um exemplarisch zu zeigen, wie 

Berechnungen durch Anwendung der Vektorrechnung vereinfacht werden. Man kann den 

Schüler/innen den Vorteil des Skalarproduktes von Vektoren vor allem bei umfangreicheren 

Berechnungen vor Augen führen. 

Eine mögliche Erweiterung: Durch Weglassen der Fragestellungen a) und g) kann bei gleicher Tabelle 

auch die Fähigkeit zum Herausfiltern von Informationen (sinnerfassendes Lesen) überprüft werden. 

Dasselbe erzielt man durch Angabe einer umfangreicheren Tabelle (z.B. Materialbedarf für ein drittes 

Sternmodell) bei gleicher Fragestellung. 



VEKTOREN IM CAMPINGURLAUB 

Die Familien Akamp und Beheim möchten im Sommer 14 Tage Campingurlaub am 

Keutschacher See verbringen. Die folgende Tabelle zeigt die Preislisten von vier 

Campingplätzen am Keutschacher See sowie die „Familienstruktur“ der beiden Familien. 

Den Spalten der Tabelle entsprechen Vektoren im R 6 (Preisvektor C1 für Camping Süd, 

C2 für Camping Reichmann usw., Vektor A für Fam. Akamp, Vektor B für Fam. Beheim). 

Stellplatz (inkl. 

Fahrzeug, Strom) 

Camping 

Süd 

Preise in € pro Tag, Hauptsaison 

Camping 

Reichmann 

Camping 

Sabotnik 

Camping 

Müllnerhof 

Familie 

Akamp 

Familie 

Beheim 

8,70 8,50 7,50 8,80 1 1 

Erwachsene 6,00 7,00 6,90 9,25 2 3 

Kinder 4 7 

Jahre 

Kinder 7 14 

Jahre 

3,60 4,00 3,00 5,00 3 1 

3,60 4,00 3,00 6,00 1 0 

Hund 2,30 1,50 2,00 

Gemeindeabgabe 

(ab 16 Jahren) 

nicht 

erlaubt 

0 1 

1,60 1,60 1,60 1,60 2 2 

a) Definiere geeignete Vektoren zur Erstellung eines Computerprogramms, mit dem 

man die Campingplatzkosten für eine Familie berechnen kann. 

b) Gib für jede der beiden Familien eine Berechnungsvorschrift zur Berechnung der 

Campingplatzkosten für eine Aufenthaltsdauer von t Tagen an. 

Welche Auswirkungen hat das Hundeverbot vom Camping Müllnerhof auf die 

Berechnungen (bzw. auf das Berechnungsprogramm)? 


Vektoren im Campingurlaub 1


a) Die ersten vier Spalten der Tabelle kann man als Preisvektoren C1, C2, C3 und C4, 

die Preise auf den Campingplätzen angeben, auffassen. Dabei ist zu beachten, 

dass die Vektoren C1, C2 und C3 sechsdimensional sind, der Vektor C4 jedoch nur 

fünfdimensional, da auf diesem Campingplatz keine Hunde erlaubt sind. 

8,70 

8,50 

7,50 

 

8,80 

 

6,00 

7,00 

6,90 

 

9,25 

 

3,60 4,00 3,00 

C 

1 C2 

C3 

C4 

5,00 

3,60 

4,00 

3,00 

 

6,00 

 

 

2,30 

 

1,50 

 

2,00 

 

1,60 

 

1,60 

1,60 

1,60 

 

Die Familienstruktur jeder der beiden Familien kann man jeweils als sechsdimensionalen 

Vektor A und B bzw. im Fall der Familie Akamp auch als fünfdimensionalen 

Vektor A * darstellen: 

1 

 

 

2 

3 

 

A 

1 

 

 

 

0 

 

 

2 

b) Berechnung der Gesamtkosten: 

1 

 

 

3 

1 

 

B 

0 

 

 

1 

 

 

2 

bzw. A 

1 

 

 

2 

3 

 

 

1 

 

 

2 

Die Gesamtkosten K für die ersten drei Campingplätze (Camping Süd, Camping 

Reichmann und Camping Sabotnig) werden berechnet durch 

K Ci 

A t, 

i 1, 2, 3 für die Familie Akamp bzw. 

K Ci 

B 

t, 

i 1, 2, 3 für die Familie Beheim, 

wobei t die Anzahl der Tage angibt. 

Camping Müllnerhof kommt wegen des Hundeverbotes nur für Familie Akamp in 

Frage, die Kosten werden durch K C4 

A * t 

berechnet. 

Das „Hundeverbot“ bewirkt eine Änderung der Dimension beim Preisvektor. Da 

Addition und Skalarprodukt von Vektoren nur bei derselben Dimension der 

Vektoren möglich sind, braucht man zwei verschiedene Berechnungsvorschriften. 

Beim Computerprogramm kann man die Entscheidung, welche Berechnungsvorschrift 

verwendet wird, durch die Eingabe „Hund ja / nein“ am Anfang des 

Programms treffen. 

Vektoren im Campingurlaub 2 

*




Vektoren 

Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können 

Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem 

Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und 

(auch geometrisch) deuten können 


a) H1 einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, 



b) H2 elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und 

durchführen 

a) 

b) 

a) 

b) 





Kommentar 

Diese Aufgabe eignet sich als Unterrichtsaufgabe um den Schülerinnen und Schülern bewusst zu 

machen, dass Rechenoperationen nur zwischen Vektoren gleicher Dimension definiert sind. 

Sie kann auch als offene Aufgabe verwendet werden, um die Schüler/innen anzuleiten, selbständig 

Fragestellungen zu entwickeln. 

Vektoren im Campingurlaub 3


VEKTOREN IM HANDEL 

Ein Händler handelt mit 7 verschiedenen Typen von Energiesparlampen. In der 

Buchhaltung verwendet er folgende 7-dimensionale Vektoren: Lagerhaltungsvektor L1 

für Lager 1, Lagerhaltungsvektor L2 für Lager 2, Vektor der Verkaufspreise P und den 

Vektor B, der die Anzahl der ausgelieferten Lampen angibt. Die Werte in den Vektoren 

beziehen sich auf einen bestimmten Tag. 

a) Der Vektor L gibt die Anzahl der einzelnen Typen von Energiesparlampen in 

beiden Lagern zusammen an. Drücke L durch die gegebenen Vektoren aus. 

b) G gibt die Gesamteinnahmen an, die der Händler erzielen würde, wenn er den 

gesamten Lagerbestand verkauft. Drücke G durch die gegebenen Vektoren aus. 

c) Was bedeutet der Vektor L B im Kontext? 

L1 2 

d) Was gibt B P im Kontext an? 

e) Was bedeutet L B 

P 

L L L 

a) 1 2 

b) L L P 

G 1 2 

L1 2 

im Kontext? 


c) Der Vektor L1 L2 

B 

gibt die Anzahl der am Ende des Tages in den beiden 

Lagern verbliebenen Lampen an. 

d) Die Zahl B P gibt den Gesamtpreis der ausgelieferten Lampen an. 

e) Die Zahl L B 

P 

L1 2 gibt den Gesamtpreis der am Ende des Tages in den 

beiden Lagern verbliebenen Lampen an. 


Vektoren im Handel 1




Vektoren 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 





H1 alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik 

übersetzen 

H3 Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und 






Kommentar 

Diese Aufgabe ist als Unterrichtsaufgabe gedacht. Die Aufgabenstellung zeigt den Vorteil der 

Verwendung von Vektoren für Berechnungen in und mit Tabellen. Durch die verschiedenen 

Aufgabenstellungen werden unterschiedliche Handlungskompetenzen angesprochen. a) und b) 

gehören zum Handlungsbereich Modellieren c), d) und e) hingegen gehören zum Bereich Interpretieren. 

Als Erweiterung kann im Unterrichtsgespräch z.B. thematisiert werden, unter welchen Bedingungen der 

Ausdruck L1 – B Sinn macht. 

Vektoren im Handel 2


VEKTOREN IM VERKAUF 

Die Verkaufspreise von n Waren werden durch einen n-dimensionalen Vektor V 

angegeben. 

Bei einer Großabnahme erhält man 15% Rabatt. 

Berechne den Vektor VG der Preise bei Großabnahme sowie den Vektor R der Rabatte. 

VG 0,85 V und R 0,15 V 





Vektoren 












Kommentar 

Die Aufgabe ist für den Einsatz im Unterricht gedacht. 

Im Hinblick auf Nachhaltigkeit im Unterricht werden hier Kompetenzen der Sekundarstufe 1 in die 

Sekundarstufe 2 übertragen und somit gefestigt. 


Vektoren im Verkauf 1


VEKTOREN IN DER KONDITOREI 1 

Eine Konditorei stellt 3 verschiedene Torten her, Malakofftorte M, Sachertorte S und 

Obsttorte O und beliefert damit 5 Wiederverkäufer. 

Die Liefermengen pro Tortenstück werden durch die Vektoren LM für die Malakofftorte, 

LS für die Sachertorte und LO für die Obsttorte ausgedrückt. 

20 

15 

10 

 

 

45 

20 

35 

L 

M 60 LS 

30 LO 

40 

 

30 

0 10 

 

 

10 

20 

25 

Ein Stück Malakofftorte kostet beim Konditor pM = 0,50 €, ein Stück Sachertorte 

pS = 0,80 € und ein Stück Obsttorte pO = 0,90 €. 

a) Wie viele Stück Torte insgesamt liefert der Konditor an den dritten 

Wiederverkäufer? 

Wie viele Stück Sachertorte hat der Konditor insgesamt ausgeliefert? 

b) Berechne die folgenden Ausdrücke und deute die Ergebnisse in diesem Kontext. 

i) LM + LS + LO ii) 

1 

 

1 

p L 

 

M 1 

 

1 

 

1 

p 

L p L 

p L 

M iii) M M S S O O 


Vektoren in der Konditorei 1 1


a) An den dritten Wiederverkäufer hat der Konditor 60 + 30 + 40 = 130 Tortenstücke 

geliefert. 

b) i) 

Der Konditor hat insgesamt 15 + 20 + 30 + 0 + 20 = 85 Stück Sachertorte 

ausgeliefert. 

20 

15 

10 

45 

 

45 

20 

35 

100 

L 

M LS 

LO 

60 30 40 130 

 

30 

0 

10 

40 

 

10 

20 

25 

55 

Dieser Vektor gibt an, dass die Konditorei 45 Tortenstücke an den 

Wiederverkäufer 1, 100 Tortenstücke an den Wiederverkäufer 2, 130 Tortenstücke 

an den Wiederverkäufer 3, 40 Tortenstücke an den Wiederverkäufer 4 und 

55 Tortenstücke an den Wiederverkäufer 5 verkauft. 

1 

 

1 

 

 

1 

 

1 

20 

1 

 

45 

1 

 

 

30 

1 

 

10 

1 

ii) L 1 0,5 60 1 0,5 20 45 60 30 10 

82,5 

pM M 

Diese Zahl gibt an, wie viel der Bäcker mit der Malakofftorte insgesamt einnimmt. 

Die Einnahmen für die Malakofftortenstücke betragen 82,5 €. 

iii) 

20 

15 

10 

31 

 

 

45 

20 

35 

70 

 

p 

M L 

M pS 

L 

S pO 

L 

O 0,5 60 0,8 30 0,9 40 90 

 

30 

0 

10 

24 

 

 

10 

20 

25 

43,5 

 

Dieser Vektor gibt den Rechnungsbetrag für jeden der 5 Wiederverkäufer an. 

Der Wiederverkäufer 1 bezahlt 31 €. Wiederverkäufer 2 bezahlt 70 € usw. 





Vektoren 








b) H2 

a) 

b) 

a) 

b) 

H3 

elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und 

durchführen 






Kommentar 

Die Serie der drei Variationen der Aufgabe „Vektoren in der Konditorei“ bietet die Möglichkeit, eine 

Fragestellung im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei 

Aufgabenstellungen können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und 

Nachhaltigkeit verwendet werden. 

Durch die unterschiedlichen Fragestellungen wird der Wechsel zwischen den verschiedenen 

Handlungsdimensionen deutlich sichtbar (hier H2 und H3). 




Eine Konditorei stellt 3 verschiedene Torten, Malakofftorte M, Sachertorte S und 

Obsttorte O her und beliefert damit 5 Wiederverkäufer. 

Die Liefermengen pro Tortenstück lassen sich durch 5-dimensinale Vektoren LM für die 

Malakofftorte, LS für die Sachertorte und LO für die Obsttorte beschreiben. 

L 

M 

a1 

 

 

b1 

 

 

 

c 

 

1 

d 

1 

 

e1 

 

L 

S 

a 

 

b 

 

 

c 

 

d 

 

e 

2 

2 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

L 

O 

a 

 

b 

 

 

 

c 

d 

 

e 

3 

3 

3 

3 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ein Stück Malakofftorte kostet beim Konditor pM €, ein Stück Sachertorte kostet pS € und 

ein Stück ‚Obsttorte kostet pO €. 

a) Was geben die Werte a1 , c2 und e3 an? 

b) Deute die Ergebnisse der folgenden Ausdrücke in diesem Kontext. 

i) LM LS 

LO 

ii) pM LM 

iii) pM LM 

pS 

L 

S pO 

L 

O 


a) Der Wert a1 gibt an, wie viele Stück Malakofftorte der Wiederverkäufer 1 geliefert 

bekommt. 

Der Wert c2 gibt an, wie viele Stück Sachertorte der Wiederverkäufer 3 geliefert 

bekommt. 

Der Wert e3 gibt an, wie viele Stück Obsttorte der Wiederverkäufer 5 geliefert 

bekommt. 

b) i) Dieser Vektor gibt an, wie viele Tortenstücke insgesamt an den jeweiligen 

Wiederverkäufer geliefert werden. 

ii) Dieser Vektor gibt an, wie viel jeder Wiederverkäufer für die Lieferung der 

Malakofftorte zu bezahlen hat. 

iii) Dieser Vektor gibt an, wie viel der Konditor für die gesamte Lieferung vom 

jeweiligen Wiederverkäufer einnimmt. 






Vektoren 








b) H3 Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten 

a) 

b) 

a) 

b) 





Kommentar 


Fragestellung im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen 

können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und 



Handlungsdimensionen deutlich sichtbar (hier H3). 




Eine Konditorei stellt 3 verschiedene Torten, Malakofftorte M, Sachertorte S und 

Obsttorte O her und beliefert damit 5 Wiederverkäufer. 

Die Liefermengen pro Tortenstück lassen sich durch 5-dimensionale Vektoren LM für die 

Malakofftorte, LS für die Sachertorte und LO für die Obsttorte beschreiben. 

Ein Stück Malakofftorte kostet beim Konditor pM €, ein Stück Sachertorte 

kostet pS € und ein Stück ‚Obsttorte kostet pO €. 

Stelle einen Term auf mit dem du 

a) die Anzahl der Tortenstücke, die die einzelnen Wiederverkäufer beim Konditor 

kaufen, berechnen kannst. 

b) die Kosten, die der einzelne Wiederverkäufer für die Lieferung der Malakofftorte 

bezahlt, berechnen kannst. 

c) die Kosten, die der einzelne Wiederverkäufer für die gesamte Lieferung der drei 

Torten bezahlt, berechnen kannst 

a) LM LS 

LO 

b) pM LM 

c) pM 

LM 

pS 

L 

S pO 

L 

O 







Vektoren 












Kommentar 


Fragestellung im Unterricht auf verschiedenen Anforderungsniveaus zu bearbeiten. Die drei Aufgabenstellungen 

können für den differenzierten Unterricht bzw. zur Förderung von Verständnis und 



Handlungsdimensionen deutlich sichtbar (hier H1). 



WACHSTUMSMODELLE 

In Folge sind einige Wachstumsvorgänge aus der Natur bzw. dem Alltag dargestellt. 

Beurteile, welches der angeführten mathematischen Modelle am besten zur Beschreibung 

dieses Vorgangs geeignet ist, kreuze dieses an und begründe deine Entscheidung: 

a) Zinsen 1 

Herr Berger besitzt auf seinem Sparbuch einen Betrag von € 10.000,--, der vom 

1. April bis zum 30. September (genau 6 Monate) verzinst wird. Auf diesem Sparbuch 

bekommt er effektive 1,5% Zinsen pro Jahr, also 0,125% pro Monat. Diese werden 

ihm allerdings erst nach dem Ende des genannten Zeitraums (am 1. Oktober) 

gutgeschrieben. 

Mit welchem Modell kann das Kapitalwachstum vom 1. April bis zum 30. September 

beschrieben werden? 

□ lineares Wachstum □ exponentielles Wachstum □ anderes Wachstumsmodell 

Begründung: 

.................................................................................................................................. 

.................................................................................................................................. 

b) Zinsen 2 

Als Herr Berger danach wieder in seine Bankfiliale kommt, wird er von seiner 

Finanzberaterin in der Bank darauf angesprochen. „Wenn Sie die € 10.000,-- in 

nächster Zeit nicht benötigen, können wir gemeinsam mehr daraus machen.“. Sie 

empfiehlt ihm eine festverzinsliche Anleihe, die einen fixen Ertrag von effektiv 6% 

pro Jahr garantiert. Allerdings muss der angelegte Betrag 5 Jahre gebunden bleiben. 

Da Herr Berger sein Erspartes in nächster Zeit nicht ausgeben möchte, kann sie ihn 

rasch von dieser gewinnbringenden Möglichkeit überzeugen. 

Mit welchem Modell kann das Kapitalwachstum über diese 5 Jahre beschrieben 

werden? 


Begründung: 

.................................................................................................................................. 

.................................................................................................................................. 

c) Sommersonne 

Nach diesem erfolgversprechenden Termin auf der Bank entschließt sich Herr 

Berger, diesen sonnigen Sommertag an einem Badesee fortzusetzen. Dort legt er 

sich auf die Luftmatratze und sonnt sich (mit guter Sonnenschutzcreme vor 

Sonnenbrand geschützt) am Wasser. Während er so am See dahintreibt, fällt ihm 

auf, dass die Sonnenstrahlung auf seinen Körper stärker wird, je höher die Sonne 

über den Horizont steigt. 


Wachstumsmodelle 1

Mit welchem Modell kann die Steigerung der Sonneneinstrahlung, die auf seinen 

Körper auftrifft, abhängig vom Winkel des Sonneneinfalls (zur Horizontalen 

gemessen) beschrieben werden? 


Begründung: 

.................................................................................................................................. 

.................................................................................................................................. 

d) Friseurbesuch 1 

Nach dem Sonnenbad geht er zum Friseur, weil er denkt, dass sein Haarschnitt 

schon wieder etwas ungepflegt aussieht. Seine Friseurin, bei der er Stammkunde ist, 

meint, dass sein Haar seit seinem letzten Besuch schon wieder stark nachgewachsen 

sei. „Mir fällt das gar nicht so auf.“ entgegnet er ihr. „Das glaube ich schon, 

dass Ihnen das nicht auffällt“, erwidert sie ihm „denn Haare wachsen ja auch nur ca. 

1/3 mm pro Tag!“ 

Mit welchem Modell kann das Haarwachstum am besten beschrieben werden? 


Begründung: 

.................................................................................................................................. 

.................................................................................................................................. 

e) Friseurbesuch 2 

„Darf ich Ihnen einen Kaffee anbieten?“, fragt die Friseurin Herrn Berger, der sich 

darüber freut, weil er nach dem Sonnenbad etwas müde ist. „Danke, sehr gerne! 

Bitte mit ein wenig Milch und ohne Zucker.“ Als ihm die Friseurin den Kaffee bringt 

und die Milch eingießt, flockt diese leider sofort aus, weil sie sauer ist. Sie meint 

dazu nur „Eigentlich sollte mich das nicht überraschen, denn die Milch war den 

ganzen Tag über ungekühlt. Neulich habe ich gelesen, dass sich die Milchsäurebakterien 

an heißen Tagen abhängig von der Außentemperatur um 5-10% pro 

Stunde vermehren.“ 

Mit welchem Modell kann die Vermehrung der Milchsäurebakterien beschrieben 

werden? 


Begründung: 

.................................................................................................................................. 

.................................................................................................................................. 

Wachstumsmodelle 2

a) Zinsen 1 


⊠ lineares Wachstum □ exponentielles Wachstum □ anderes Wachstumsmodell 

Begründung: 

In diesem Fall ist (ein zumindest stückweises) lineares Wachstum gegeben. Die 

Zinsen werden monatlich berechnet, aber erst nach Ende des Verzinsungszeitraums 

gutgeschrieben. Das bedeutet, dass eigentlich im Beobachtungszeitraum 

das Kapital konstant bleibt. Somit ist das „Wachstum“ linear. Doch auch 

wenn man diese Tatsache übersieht und von einer tatsächlichen monatlichen 

Verzinsung ausgeht, würden in diesem Fall immer die gleichen Zinsen (ohne 

Zinseszinseffekt) monatlich gutgeschrieben. Somit würde für den zeitlichen Verlauf 

der Kapitalentwicklung eine Treppenfunktion, also somit auch eine stückweise 

lineare Funktion, entstehen. 

b) Zinsen 2 

□ lineares Wachstum ⊠ exponentielles Wachstum □ anderes Wachstumsmodell 

Begründung: 

Da die Zinsen wie in der Angabe bestimmt werden, kann exponentielles Wachstum 

mit einem Wachstumsfaktor von 1,05 (t in Jahren) herangezogen werden. Das 

exponentielle Wachstum ist dabei nur ein theoretisches, da ja eigentlich nur 

jährlich kapitalisiert wird. und damit natürlich eigentlich eine Treppenfunktion 

unterhalb der das Kapitalwachstum beschreibenden Exponentialfunktion 

entstehen würde. 

c) Sommersonne 

□ lineares Wachstum □ exponentielles Wachstum ⊠ anderes Wachstumsmodell 

Begründung: 

Die von der Sonne 

ausgestrahlte Intensität 

(Solarkonstante E 0 ) kann 

(näherungsweise und 

modellhaft) als Fläche 

senkrecht zur Ausbreitungsrichtungangesehen 

werden. Da Herr 

Berger auf einem (waagrechten) 

See treibt, 

wächst der Anteil der 

auf den Körper auftreffenden 

Sonnenintensität 

mit steigendem Winkel 

α, wenn dieser zur 

Horizontalen gemessen 

wird, und zwar proportional zu sin(α). 

Wachstumsmodelle 3

d) Friseurbesuch 1 

⊠ lineares Wachstum □ exponentielles Wachstum □ anderes Wachstumsmodell 

Begründung: 

Das Wachstum verläuft in diesem Fall linear, da jedes Haar täglich 

näherungsweise durchschnittlich um das gleiche Stück länger wird. 

e) Friseurbesuch 2 

□ lineares Wachstum ⊠ exponentielles Wachstum □ anderes Wachstumsmodell 

Begründung: 

Das Wachstum von Milchsäurebakterien verläuft gemäß der Angabe annähernd 

exponentiell, abhängig von der Außentemperatur mit einem Wachstumsfaktor von 

1,05 bis 1,10 (t in Stunden). 

Wachstumsmodelle 4




Lineare Funktion f(x) = k ⋅ x + d 

• Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können 


x 

Wachstumsmodelle 5 

λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 


+ 

, λ ∈ R 

• Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können 


H1 • ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder entwickeln 







Kommentar 

Das Beispiel ist dazu gedacht, reale Situationen in die Welt der Mathematik zu übertragen und somit 

zum Erwerb von Modellbildungskompetenzen beizutragen. Der erste Schritt dabei – nachdem die 

Schüler/innen verschiedene Modelle kennengelernt haben – ist, dass sie sich für ein bestimmtes Modell 

unter gegebenen Voraussetzungen entscheiden und diese Entscheidung auch begründen können. 

Natürlich ist jedes (mathematische) Modell immer nur eine Näherung. Auch die Grenzen dieser 

Modellbeschreibung können in Diskussionsform an dieser Aufgabe gezeigt werden. Sie regt – sofern 

das vom Lehrer/ von der Lehrerin unterstützt wird – zur kritischen Auseinandersetzung mit Modellannahmen 

und –grenzen an.


WÄHLEN 

In einer Bevölkerungsgruppe werden folgende Ereignisse untersucht: 

Ereignis E1 lautet „hat eine höhere Schulbildung“. 

Ereignis E2 lautet „wählt die Partei A“. 

Erkläre folgende Symbole mit Worten: 

symbolische 

Schreibweise 

P(E1) 

P(E1∩E2) 

P(E2⎟E1) 

P(E2) 

P(E1⎟E2) 

Bedeutung in Worten 

Wählen 1

symbolische 

Schreibweise 


Bedeutung in Worten 

P(E1) Wahrscheinlichkeit, dass jemand höhere Schulbildung hat. 

P(E1∩E2) Wahrscheinlichkeit, dass jemand höhere Schulbildung hat und 

Partei A wählt. 

P(E2⎟E1) Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit höherer Schulbildung Partei A 

wählt. 

P(E2) Wahrscheinlichkeit, dass jemand Partei A wählt. 

P(E1⎟E2) Wahrscheinlichkeit, dass ein Partei A-Wähler höhere Schulbildung 

hat. 









H3 • mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten 





Kommentar 

Die Aufgabe verlangt die Interpretation der verwendeten Symbole, d.h. das Übertragen mathematischer 

Schreibweise in die Alltagssprache. Die Aufgabe ist als Test bzw. Diagnoseaufgabe einsetzbar. Sie 

zeigt, inwieweit Schüler/innen in diesem Zusammenhang mit der Sprache der Mathematik vertraut sind 

und entsprechende Symbole im gegebenen Kontext interpretieren können. 

An Stelle der Mengensymbole können auch die Symbole der Aussagenlogik verwendet werden. 

Wählen 2

WIRKSTOFFSPIEGEL EINES MEDIKAMENTES 


Das Medikament Mathemacyn enthält den Wirkstoff Exponentium, der vom Körper eines 

Patienten mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden abgebaut und ausgeschieden wird. 

Derzeit trägt der Patient Leonhard Heuler einen Wirkstoffspiegel von 200 mg Exponentium 

in seinem Körper. 

a) Wie lange dauert es, bis er nur mehr 50 mg Exponentium im Körper hat? 

b) Vor wie vielen Stunden hat er eine Tablette Mathemacyn zu sich genommen, die 

400 mg Exponentium enthalten hat und er davor noch keine Tablette geschluckt 

hat? 

c) Der Arzt hat angeordnet, dass er seine nächste Tablette in 9 Stunden (ab jetzt) 

einnehmen muss. Wie hoch wäre der Exponentium-Spiegel in seinem Körper nach 

der Aufnahme dieser zweiten Tablette? 

d) Leonhard Heuler hält sich aber nicht an die Anordnungen des Arztes und nimmt 

keine weitere Tablette mehr (weil er sich exponentiell gut erholt). 

Wie lange dauert es ungefähr (ab jetzt) bis das Medikament nicht mehr im Körper 

des gesundeten Patienten nachgewiesen werden kann, wenn die Nachweisgrenze 

für Exponentium bei 1 mg liegt? 

Wie lange dauert es bis er tatsächlich kein Exponentium mehr in sich trägt? 

Wirkstoffspiegel eines Medikamentes 1


1 1 1 

a) Da 50 mg von 200 mg ist und = ist, dauert dieser Abbauprozess zwei 

2 

4 

4 2 

Halbwertszeiten, also 6 Stunden. 

b) In Analogie zu a) muss Leonhard Heuler vor einer Halbwertszeit, also vor 

3 Stunden die erste Tablette Mathemacyn geschluckt haben. 

c) Seine nächste Tablette soll er in 3 Halbwertszeiten nehmen. Bis dorthin hat sich 

1 1 

sein Wirkstoffspiegel auf 3 = des jetztigen Wertes, also auf 25 mg reduziert. 

2 8 

Durch die Einnahme der zweiten Tablette würde sich dieser Spiegel auf 425 mg 

erhöhen. 

1 1 

d) Nach 7 Halbwertszeiten trägt er noch eine Wirkstoffdosis von 7 = des der- 

2 128 

zeitigen Wertes in sich, also ca. 1,6 mg. Nach 8 Halbwertszeiten demnach nur 

mehr rund 0,8 mg, also weniger als die Nachweisgrenze. 

Der Wirkstoff sollte also in 21 bis 24 Stunden (ab jetzt) nicht mehr im Körper 

Leonhard Heulers nachweisbar sein. 

Ganz abgebaut wird das Medikament allerdings (theoretisch) nie, da der Abbau 

exponentiell verläuft und sich daher dem völligen Abbau nur asymptotisch nähert. 





x 

Wirkstoffspiegel eines Medikamentes 2 

λ⋅x 

f(x) = a ⋅b 


+ 

, λ ∈ R 

• Die Begriffe „Halbwertszeit“ und „Verdoppelungszeit“ kennen, die entsprechenden Werte 

berechnen und im Kontext deuten können 


H1 • ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder entwickeln 






K1 • Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten

Kommentar 

Ein wesentliches Ziel dieser Aufgabe ist die Reflexion über die Lösungen im Kontext. 

Daher versucht diese Aufgabe durch geeignete Konstruktion der Angabe ohne rechnerische Hilfsmittel 

auszukommen. Allein durch die Anwendung des Begriffes Halbwertszeit und – durch den zeitlichen 

Rückblick bei b) – auch der Verdoppelungszeit kann das Beispiel vollständig gelöst werden und trägt 

daher zum Erwerb dieser Grundkompetenzen sicher bei. Außerdem ist die Kenntnis des Logarithmus, 

der ja im Grundkompetenzenkatalog nur am Rande vorkommt, bei der Lösung dieser Aufgabe nicht 

notwendig. 

In dieser Aufgabe wurde absichtlich das Problem der Wirkstoffaufnahme durch den Körper und die 

damit verbundene zeitliche Verzögerung vernachlässigt. Das könnte aber von den Schülerinnen und 

Schülern bei b) und c) thematisiert werden. Es empfiehlt sich aber dieses Problem nur dann im 

Unterricht aufzugreifen, wenn es tatsächlich von den Schülerinnen und Schülern als solches erkannt 

wird. In diesem Fall lässt sich die Aufgabe im Unterrichtseinsatz um eine Phase der Wirkstoffaufnahme 

mit linearem oder logistischem Wachstumsmodell – letzteres stellt ggf. eine Erweiterung des 

Grundkompetenzenmodells dar – ergänzen. 

Wirkstoffspiegel eines Medikamentes 3


WÜRFELEXPERIMENT 

In einem Würfelexperiment interessiert man sich für die Anzahl der geworfenen Sechser. 

Von drei Serien mit unterschiedlicher Länge (10, 100 und 1000 Würfe) wurde jeweils die 

relative Häufigkeit der Sechser grafisch dargestellt. Dabei wurde entweder jeder 

einzelne oder jeder zehnte oder jeder hundertste Wert hervorgehoben. Leider sind die 

Bilder durcheinander geraten und außerdem wurde auf die Beschriftung der 1. Achse 

vergessen. 

Lässt sich nachträglich feststellen, welche Grafik zu welcher Serie gehört? 

Falls ja: Beschrifte die Grafiken passend mit „n = 10“, „n = 100“ bzw. „n = 1000“. 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

h(6) 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

n = n = n = 

Beschreibung deiner Überlegungen: 

h(6) 

Falls nein: Begründe, warum eine passende Beschriftung nachträglich nicht mehr 

möglich ist? 

Würfelexperiment 1 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

h(6)

Ja, es ist möglich: 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

h(6) 


1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

h(6) 

n = 100 n = 10 n = 1000 

Beschreibung deiner Überlegungen: 

Je länger eine Versuchsserie dauert, desto geringer werden die Schwankungen 

zwischen tatsächlich beobachtetem und theoretisch erwartetem Wert. 





• Begriff und Zweck von Stichproben sowie die Stabilisierung der relativen Häufigkeiten 

(empirisches Gesetz der großen Zahlen) in ihrer für die Wahrscheinlichkeitsrechnung und 

Schließenden Statistik grundlegenden Bedeutung erklären können 


H3 • tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben 






Kommentar 

In der vorliegenden Aufgabe geht es nicht darum, Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Sie verlangt 

vielmehr, die in der Beschreibung der mathematischen Grundkompetenzen explizit genannte 

„Stabilisierung der relativen Häufigkeiten“ als solche zu erkennen und auch geeignet zu beschreiben. 

Würfelexperiment 2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

h(6)


WURZELFUNKTION 

In der nebenstehenden Skizze sind die Graphen folgender Funktionen veranschaulicht: 

f(x) 2 

x 

g(x) x 3 

h(x) 

p(x) 

2 

x 

x 

Welche Folgerungen ergeben sich daraus für die Lösungen folgender Gleichungen? 

Falls Lösungen in R existieren, gib diese an; ansonsten begründe, warum es keine 

Lösung gibt. 

Gleichung Lösung keine Lösung, weil .... (Begründung) 

2 x 

2 

2 x 2 

x 

2 

x 2 

2 

2 x x 3 

x x 

2 


Wurzelfunktion 1


Gleichung Lösung keine Lösung, weil .... (Begründung) 

2 x 2 L 2 

L 

2 x 2 

x 2 L 4 

x 2 

2 L - 2, 2 

L 

2 x x 3 

x x 

2 

 

L 

R0 

die Funktionswerte der Funktion immer 

positiv sind. 

oder 

… die Wurzel aus einer Zahl eine nicht 

negative Zahl ist. 

… 2 x nur für x 2 definiert ist, 

x 3 hingegen nur für x 3 . 

Hinweis: Die Lösungsmengen müssen nicht in dieser formalen Form angeben werden, 

es genügen auch sinngemäße verbale Formulierungen. 

Wurzelfunktion 2




H2 

H3 

I1 

I2 

Potenzfunktionen mit f(x ) a x b , z Z sowie f(x ) a x b 

z 

Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge 

dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; 



mit und in Tabellen oder Grafiken operieren 

tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammenhänge erkennen, beschreiben 



Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 

charakteristische Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen, 





Kommentar 

Diese Unterrichtsaufgabe soll das Verständnis für die Definition von Wurzelfunktionen fördern und geht 

über die geforderte Grundkompetenz, welche nur die Behandlung der Funktion f(x ) a x b vorsieht, 

hinaus. 

Es genügt zur Bewältigung der Aufgabe die Definition von x zu kennen und verständig anzuwenden. 

Die Lösungen können durch allgemeine Überlegungen (etwa zur Definition der Wurzel), durch formales 

Rechnen, durch Betrachten der Graphen der gegebenen Funktionen u.a. gefunden werden. 

Allein die Aufforderung, möglichst viele verschiedene Lösungswege zu suchen, kann zu einer Lösungsvielfalt 

führen; das Unterrichtsziel, verschiedene mathematische Zugänge sichtbar zu machen, kann 

dadurch erreicht werden. 

Bei Grundkompetenzen im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen ist es sehr wohl notwendig, 

über die Bedeutung der Diskriminante Bescheid zu wissen bzw. auch Überlegungen anzustellen in der 

Richtung D0, D=0. 

Um eine sinnvolle Vernetzung mit dem Stoffgebiet Funktionen zu erreichen, genügt es daher im Unter- 

richt nicht, sich auf Funktionen der Art f( x) 

a x zu beschränken. 

Wurzelfunktion 3 

1 

2 

1 

2


ZEITMESSUNG 

Um die Tiefe eines alten Brunnens zu bestimmen, kann man z.B. Steine fallen lassen 

und die Fallzeiten messen. Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern probiert das 

aus und führt eine Reihe solcher Messungen durch. Sie verwenden dafür die Stopp- 

Funktion einer Armbanduhr. Eine zweite Gruppe führt ebenfalls Messungen durch, 

beschränkt sich dabei aber auf das Zählen der Sekunden. 

Beide Gruppen werten ihre Ergebnisse mit der Statistik-Funktion ihres Rechners aus, 

der sofort eine ganze Reihe statistischer Kennzahlen berechnet: arithmetisches Mittel, 

Standardabweichung, Median, Minimum und Maximum sowie unteres und oberes 

Quartil. 

Gruppe A Gruppe B 

Erstaunlicherweise erhalten beide Gruppen exakt denselben Wert für die durchschnittliche 

Fallzeit. Sie zeigen die Ergebnisse ihrem Lehrer. Der freut sich über die gute 

Arbeit und sagt: „Mir reichen die Werte einer einzigen statistischen Kennzahl und ich 

weiß, welches Ergebnis mit und welches ohne Uhr ermittelt wurde.“ 

Welche statistische Kennzahl betrachtet der Lehrer und wie könnte seine Überlegung 

lauten? 

Zeitmessung 1


Der Lehrer vergleicht die Standardabweichungen. Er erwartet, dass die Werte beim 

Zählen der Sekunden stärker um den Durchschnittswert streuen und daher eine größere 

Standardabweichung aufweisen. 

Im vorliegenden Beispiel hat Gruppe A mit Stoppuhr gemessen, Gruppe B hat die 

Sekunden gezählt. 

Hinweis: Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man für Gruppe A und Gruppe B jeweils 

die Spannweite ermittelt und die beiden Werte vergleicht: der kleinere Wert ergibt sich in 

Gruppe A. 





• Statistische Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln und im jeweiligen Kontext deuten 

können: absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus; Quartile, 

Perzentile; Spannweite, Quartilabstand und empirische Varianz/ Standardabweichung 

• Wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels, des Median und der Quartilen angeben 

und nutzen, die Entscheidung für die Verwendung eines bestimmten Zentralmaßes 

begründen können 


H3 • mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten 






Kommentar 

Ein Kennzeichen dieser Aufgabe ist der umfangreiche Text, aus dem die wesentlichen mathematischen 

Informationen zur Lösung der Aufgabe herausgefiltert werden müssen. Textverständnis und 

Übersetzungskompetenz sind wichtige Aspekte des Bildungsauftrages von Mathematik. 

Zeitmessung 2


ZERFALL VON JOD 131 

Tobias sagt zu seinem Freund Markus: „Ich habe gelesen, dass Jod 131 eine 

Halbwertszeit von ca. 8 Tagen hat. Habe ich eine Menge von 48 mg Jod 131 , dann rechne 

ich damit, dass nach 8 Tagen noch 24 mg Jod 131 vorhanden sind. Nach 2 Tagen hätte 

ich also noch 42 mg, nach 10 Tagen 18 mg.“ 

Markus bemerkt dazu: „ Dein Modell stimmt so absolut nicht. Meiner Meinung nach 

liegen deine Angaben für die Tage bis zur Halbwertszeit zu hoch, danach zu niedrig.“ 

a) Nach welchem Modell rechnet Tobias? Gib dafür eine Formel an. 

b) Welches Modell sollte angewendet werden? Gib auch dazu eine Formel an. 

Welche Menge ist nach 2 Tagen (nach 10 Tagen) noch vorhanden? 

c) Ergänze die vorgegebene Graphik und begründe, dass Markus Recht hat. 


Zerfall von Jod 131 1


a) Tobias rechnet mit einem linearen Modell, mit einer täglichen Abnahme von 3 mg 

pro Tag. 

Formel: N(t) 48 3 t , wobei N(t) die Menge nach t Tagen beschreibt. 

b) Annahme für ein geeignetes Modell: Die Abnahme erfolgt exponentiell. 

Ansatz: N(t) N 

k 

t 

0 e 

Einsetzen der Angabe für t 8 : N(8) 0,5 N0 

0,5 e 

 

8k 

ln2 8k k 0,0866 

Funktionsgleichung: N(t) 48 

e 

N(2) 40,37mg; 

N(10) 

0,0866 

t 

20,19mg 

c) In das Koordinatensystem wird 

der Graph der linearen Funktion 

y 48 3 t eingezeichnet. 

Nur im Intervall ]0,8[ sind die 

Funktionswerte der linearen 

Funktion größer als die der 

exponentiellen Funktion. 

Zerfall von Jod 131 2




Lineare Funktion f(x) k x d 

a) 

b) 

Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können 


x 

Zerfall von Jod 131 3 

λx 

f(x) a 

b bzw . f(x) a 

e mit a, bR 

 

, λ R 

Die Begriffe „Halbwertszeit“ und „Verdoppelungszeit“ kennen, die entsprechenden 

Werte berechnen und im Kontext deuten können 

Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten 

können 


H1 verschiedene mathematische Modelle für ein Problem entwickeln und ihre 

Problemadäquatheit abwägen 

c) H4 zutreffende und unzutreffende mathematische Argumentationen bzw. Begründungen 

erkennen; begründen, warum eine Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist 

a) 

b) 

c) 

a) 

b) 

c) 







Kommentar 

Die Aufgabe eignet sich für den Unterricht, um eine Diskussion über Modellbildung führen zu können. 

Benützen die Schüler/innen Grafikrechner oder höherwertige Technologien, kann die Frage bei c) auch 

offener gestellt werden: zB.: Finde einen Weg, um zu zeigen, dass Markus Recht hat.

10. Schulst. (alle)

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