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BASICS Optische Tischsysteme von LINOS und TMC, Teil II Design Optischer Tischplatten Von Norbert Henze, LINOS Göttingen Nachdem in der letzten optolines, Ausgabe No.7, die Grundlagen der Schwingungsisolation erörtert wurden, stellen wir Ihnen in dieser Ausgabe die Konstruktion von Optischen Tischplatten näher vor. Zunächst ist es notwendig, sich mit den theoretischen Grundlagen und deren Nomenklaturen Nachgiebigkeit (Compliance), Vibration, Resonanz und Dämpfung vertraut zu machen. Masse Anregende Schwingung Träger Nachgiebigkeit (Compliance) Festlager Abb 1: Schwingungsfähiges System mit einem Freiheitsgrad. Eines der häufigsten Probleme in der Physik und der Konstruktion ist die Verformung eines Körpers als Reaktion auf eine von außen wirkende statische oder dynamische Kraft. Statische Kräfte, wie die Belastung von Aufbaumaterial oder Geräten, können bei einem Optischen Tisch ein Durchbiegen der Platte verursachen. Dynamische Kräfte, hervorgerufen durch Luftschwingungen, Bodenschwingungen oder mechanische Schwingungsquellen direkt auf der Platte, bewirken ein Schwingen und Verformen der Tischplatte. Unter der Nachgiebigkeit, Compliance, versteht man die dynamische Verformung einer Struktur als Reaktion auf eine zeitlich veränderliche Kraft. Die Nachgiebigkeit ist der reziproke Wert der dynamischen Steifigkeit. Eine geringere Nachgiebigkeit bedeutet beispielsweise bei Optischen Tischen eine höhere Qualität. Durch die geringere Auslenkung werden auch montierte opto- mechanische Komponenten weniger aus ihrer ursprünglichen Position bewegt. Abb. 1 verdeutlicht die Nachgiebigkeit an einem schwingungsfähigen System mit nur einem Freiheitsgrad. Dieses könnte beispielsweise ein Stahlträger sein, der an einem Ende fest verankert ist. Wird der Träger mit einer sinusförmigen Schwingung mit konstanter Frequenz angeregt, gilt nach den Newtonschen Gesetzen für die Bewegung die allgemeine Gleichung: ma cv kx F sin ω t [1] 0 + + = ( ) Die linke Seite der Gleichung beschreibt das zum Schwingen gezwungene System und die rechte Seite die anregenden Schwingung, mit: a = Beschleunigung v = Geschwindigkeit x = Auslenkung m = bewegte Masse c = Dämpfung k = Steifigkeit F 0 sin (ωt) = sinusförmig wechselnde Kraft mit der Frequenz ω, maximaler Amplitude F 0 und Zeit t Der allgemeine Ausdruck für die Nachgiebigkeit C eines solchen Systems ist gegeben mit C = x = F 1 ⎡ ( 2 k − m ) + ( c ⎣⎢ ) 2 ω ω ⎤ ⎦⎥ 1 2 [2] Die Gleichung [2] lässt sich auch in Worte umformulieren: C = 1 ( Steifigkeit − Masseeffekt ) + Dämpfung In Abb. 2 ist die Nachgiebigkeit eines starren Körpers über der Frequenz aufgetragen. Die Kurve lässt sich in drei Bereich unterteilen: Steifigkeit, Resonanzeffekt, Masseeffekt. Nachgiebigkeit Resonanzstelle Bereich der Steifigkeit ( 1 k ( ω 0 Frequenz Masse dominierender Bereich 1 mω 2 ( ( [3] Resonanzüberhöhung abhängig von der Dämpfung 1 cω Abb. 2: Nachgiebigkeit über Frequenz eines System mit einem Freiheitsgrad. Niedrige Frequenzen Bei niedrigen Frequenzen, unterhalb der ersten Resonanzfrequenz, überwiegt in der Gleichung [2] für die Nachgiebigkeit C der Term der Steifigkeit k. Das bedeutet, wenn eine niederfrequente Kraft an das freie Ende des Trägers angreift, hängt der Betrag der Verbiegung nur von dessen Steifigkeit ab, die wiederum von der Form ( ( 14 optolines No. 8 | 4. Quartal 2005
BASICS und des Elastizitätsmodul des Trägers abhängig ist. Resonanzfrequenz Im Fall der Resonanz wird die Amplitude der an das freie Ende des Trägers angreifende Kraft verstärkt. Die Nachgiebigkeit bei den unterschiedlichen Resonanzfrequenzen ist hauptsächlich abhängig vom Betrag der Dämpfung bei diesen Frequenzen und der effektiven Masse. Allerdings sind die relativen Resonanzüberhöhungen auch näherungsweise proportional zu 1/ω 2 . Höhere Frequenzen Bei höheren Frequenzen wird die Nachgiebigkeit C hautsächlich von der Masse m bestimmt. Aus Gleichung [2] lässt sich für höhere Frequenzen ableiten: C = 1 m 2 ω [4] Für ein einfaches Feder-Masse-System wie in Abb. 1 ist es ziemlich einfach die schwingungsfähige Masse zu bestimmen. In der Realität ist es jedoch häufig sehr schwierig diese Masse zu ermitteln. Krafteinwirkung Statische Verformung Krafteinwirkung Dynamische Verformung Abb. 3: statische und dynamische Verformung. 80 Hz verhält sich diese näherungsweise wie ein ideal steifer Körper 1/k. Oberhalb dieser Frequenz weicht die Tischplatte vom idealen Verhalten ab, und scharfe Peaks nach oben zeigen die Resonanzstellen an. In diesem Bereich ist die Güte der Dämpfung für die Höhe der auftretenden Amplituden ausschlaggebend 1/cω. Die Lage der Resonanzfrequenzen sollte so hoch wie möglich liegen, da mit zunehmender Frequenz die Schwingungsamplituden stark abnehmen 1/mω 2 . 10 -3 Mit Hilfe der Nachgiebigkeitskurve lassen sich unterschiedliche Tischplatten in ihrer Qualität vergleichen. Eine gängige Größe ist der so genannte Q-Faktor. Er gibt den Faktor der Resonanzüberhöhung im Vergleich zu einem ideal starren Körper bei der ersten Resonanzstelle an (Abb. 4). Q = A [5] B Je kleiner der Q-Faktor ist, desto weniger störend wirken sich Resonanzen auf die Anwendung aus. Beispielsweise besitzen Optische Tische mit Stahlwabenkern Werte von Q ≈ 4, mit Aluminiumwabenkern Q ≈ 12 und ein Granitblock Q ≈ 460. Schwingungsmoden Eine typische rechteckige Optische Tischplatte kann in unterschiedlichen Moden schwingen: entlang der kurzen oder entlang der langen Achse und wie bei einer Torsionsschwingung (Abb. 5). Jede dieser Moden hat eine eigene charakteristische Resonanzfrequenz und lässt sich einem Peak in der Nachgiebigkeitskurve (Abb. 4) zuordnen. Design Optischer Tischplatten Aus den vorangegangenen theoretischen Betrachtungen ergeben sich die drei Grundanforderungen an das Design eines Optischen Tisches: ● hohe statische und dynamische Steifigkeit (siehe Abb. 3) ● hohe Dämpfung ● Lage der ersten Resonanzstelle oberhalb von 100 Hz Die statische Steifigkeit beschreibt die auftretende Biegung durch eine zeitlich konstante Krafteinwirkung. Dagegen beschreibt die dynamische Steifigkeit die Verbiegung bei harmonischer Krafteinwirkung mit einer bestimmten Frequenz. Die in Abb. 4 dargestellte Nachgiebigkeitskurve einer Optischen Tischplatte über der Frequenz zeigt: Bis zu einer Frequenz von Nachgiebigkeit (in./lb) 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 Ideal steifer Körper f 0 f 1 f 3 f 4 10 -7 10 -8 10 100 Erste Resonanzstelle 1000 Frequenz (Hz) Abb. 4: Nachgiebigkeitskurve einer Optischen Tischplatte. LOG C A Q= A 10 -3 B B LOG I 10 -4 10 -5 10 -6 Nachgiebigkeit (mm/N) No. 8 | 4. Quartal 2005 optolines 15
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