6. Transport von Signalen auf Leitern

Hartmut Gemmeke 

Forschungszentrum Karlsruhe, IPE 

hartmut.gemmeke@kit.de 

Tel.: 07247-82-5635 

Einführung in die Elektronik 

für Physiker 

6. Transport von Signalen auf Leitern 

Symmetrische T- und !-Glieder und ihre Anwendung auf Abschwächer, Filter 

und Verzögerungsleitungen 

Phasen und Gruppengeschwindigkeit 

Beschreibung homogener Signalleitungen und Anwendung auf das Koaxialkabel 

Reflexionsfreie Ankopplung an Signalleitungen und Verzweigungen 

Messung der Kabeldämpfung 

Verschiedene Formen der Signalleitungen und ihre Impedanz 

Anhang: Symbole für Schaltungselemente 

Symmetrische T-Glieder 

•! 

Annahme Z e =Z out =Z 0T symmetrisch aneinander reihbar, 

Abschwächer, 

Filter, 

Verzögerungsleitungen oder 

Phasenschieber 

Ze 

L/2 L L L 

C C C 

i = 1 2 3 

C 

L/2 

n 

Z0 

•! Z 0T = Z sT + Z pT ||(Z sT + Z 0T ) ?! 

Z 0T - Z sT = 1/(1/Z pT +1/(Z sT + Z 0T )) 

(Z 0T - Z sT ) " (Z 0T +Z sT + Z pT ) = Z pT " (Z sT + Z 0T ) 

Z 0T 

2 

= Z sT (2 " Z pT + Z sT )# 

# # # # ## 

•! 1/a = u i+1 /u i = (Z 0T / (Z 0T + Z sT )) " ( Z pT ||(Z sT + Z 0T )) / (Z sT + Z pT ||(Z sT + Z 0T )) 

= (Z 0T – Z sT )/ (Z 0T + Z sT ) = 2 hintereinander geschaltete Spannungsteiler 

•! 

Z sT = Z 0T (a-1) / (a+1) 

•! Z pT = Z 0T 2a / (a 2 -1) 

=Z 0T - Z sT =Z 0T 

05.11.2009 Hartmut Gemmeke, WS2009/2010, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 6 2

Symmetrische $ - Glieder 

•! Z e =Z out => aneinanderreihbare Filter 

•! Z 0$ = Z p$ ||(Z s$ +Z p$ ||Z 0$ ) 

Z 

2 

0$ = Z 

2 

p$ Z s$ /(2 Z p$ + Z s$ ) # ## 

•! 1/a = u i+1 /u i = (Z p$ - Z 0$ )/(Z p$ + Z 0$ ) 

•! Z p$ = Z 0$ (a+1) / (a-1) 

•! Z s$ = Z 0$ (a 2 -1) / 2a 

•! falls Z 0$ = Z 0T = Z 0 gilt: Z p$ Z sT = Z 

2 

0 = Z pT Z s$# 

!-Filter, Abschwächer 

Zs 

u i Zp Zp Z 0 u i+1 

•! Abschwächer: Z 0 = 50 %, Abschwächungsfaktor a=2 

Z sT = 16,7 %, Z pT = 66,7 % # Z p$ 

= 150 %, Z s$ 

= 37,5 % 

•! T oder $ ? Was gibt bessere Frequenzunabhängigkeit? 

Ausprobieren mit SPICE 

R -> (R+j&L)||1/j&C, L = 4nH, C = 1pF 

05.11.2009 Hartmut Gemmeke, WS2009/2010, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 6 3 

Anwendung: ideale Verzögerungsleitung I 

•! Kette von $ - Tiefpassfiltern = Verzögerungsleitung (warum siehe II): 

•! Mit Z p = 2/j&C , 

Z s = j&L und 

Zo L 

•! Impedanz ?: 

! 

ui 

# 1 

" 2 C / 2 + 1 & 

% ( 

$ C / 2' 

0 

= 

= 4 

L L ) C Ze L L L L 

–! Z 0$ 

2 

= Z s$ 

Z p$ 

2 

/(2 Z p$ 

+ Z s$ 

) 

= (j&L)(2/j&C) 2 /(4/j&C + j&L) = (L/C) / (1 - & 2 "LC/4) 

= (L/C) / (1-(&/& 0 ) 2 ) = -(L& 02 /(C& 2 ))/ (1-(& 0 /&) 2 ) 

C 

2 

C 

2 

C C C 

i = 1 2 3 4 

C 

2 ui+1 

L 

C C 

2 

n 

Z 0 

Z0 

•! 

Z 0$ ist für 

" < " 0 

: Z 0# = L C (1$ (" /" 0 )2 ) (reell) 

für "

Anwendung: ideale Verzögerungsleitung II 

•! Übertragungsfaktor u i+1 /u i = (Z p$ - Z 0$ )/(Z p$ + Z 0$ ) = (2/j&C - Z 0$ )/ (2/j&C + Z 0$ ) 

•! 

für & < & 0 =2/'(LC): 

Z 0" 

= L C (1# ($ /$ 0 )2 ) (reell) 

! 

–! |u i+1 /u i | = 1, bzw. u i+1 /u i = e j( = cos( + j sin( mit Phasenverschiebung ( 

( ) /( Z 0# 

" 2 j /$C) = "e 2 j% = e 

j(# +& ) 

u i+1 /u i = " Z 0# 

+ 2 j /$C 

! 

mit tan% = (2 /$C) /Z 0# 

' 2 /($C L /C) = 2 /$ L ( C = $ 0 

/$ 

( ) 

& = 2% = 2arctan $ 0 

/$ 

Gruppenlaufzeit pro Element : 

t g 

= " )& 

)$ = "2 

1+ $ 0 

/$ 

( ) 2 "$ 0 /$ 2 

( ) ' 2 /$ 0 

= LC * Verzögerung 

ui 

Zo 

C 

2 

L 

C 

2 ui+1 

Z 0 


Simulation der Verzögerungsleitung mit MultiSim 

•! Messungen an einer (idealen & realen) Verzögerungskette 

•! n = 3, 4 

–! L = 1,5 !H, C=240 pF (R = 0 – 5 " für Selbstversuch) 

–! Z 0 = #L/C = 79 ": Effekt der richtigen Wahl von Z 0 

–! f g = 1/$#LC =17 MHz: am Bodeplot bzw. Transmissionsanalyse demonstrieren 

–! t g = #LC = 19 ns für n = 4 mit Oszilloskop messen 

Ze 

L 

L 

L 

L 

L 

C C C C 

2 

i = 1 2 3 4 

C C 

2 

n 

Z0 


N-gliedrige Verzögerungsleitung 

• Verzögerung T v 

= n 1,07 LC 

• Anstiegszeit (10 " 90%) T a 

= n 1/ 3 1,13 LC 

• Güte Q = T v 

/T a 

= 0,95 n 2 / 3 (n = 3 -15) 

• Z 0 

Z 0 

= L /C : 50# "10k# 

(im nsec-Bereich) 

Ze 

L 

L 

L 

L 

L 

! 

C C C C 

2 

i = 1 2 3 4 

C 

n 

C 

2 

Z0 

•! 

Viele Elemente ergeben bessere Güte, aber schlechtere Bandbreite. Die 

Begrenzung durch den dissipativen Anteil insbesondere in der Induktivität ist 

nicht berücksichtigt. 


Anwendung Verzögerungsleitung III 

•! Z 0 , t g , |u i+1 /u i |(&/& 0 ): 

Z 0 

= L C (1" (# /# 0 )2 ) 

t! 

g 

= " $% 

$# = 2 # 0 

2 "# 2 

! 

Phase: 

u i+1 /u i = e j( 

tan (" /2) = (# 0 

/#) 2 $1 

! 

! Alle Formeln für &/& 0 < 1 

! (etwas genauere Näherung als in II) 


Phasen- und Gruppengeschwindigkeit 

! 

•! 

•! 

die allgemeine Lösung der Wellengleichung hat die Form: 

#$x + j%t 

u(x,t) = u ˆ " Re e 

( ) 

mit $ = & + j', & der Dämpfungskonstanten und ' der Phasenkonstanten 

( u(x,t) = u ˆ " e #&x Re e 

j ( #'x +%t 

( ) 

) 

= u ˆ " e #&x cos ' x # v ph 

t 

( ( )) mit der Phasengeschwindigkeit v ph 

= % /' 

die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich aus der Überlagerung 2 er Wellen am 

gleichen Ort x zu: 

" 1 

= " + #" /2, " 2 

= " $ #" /2 

f (x,t) = cos " 1 

t $ % 1 

x 

( ) + cos (" 2 

t $ % 2 

x) 

( ) & cos( 0,5(#" & t $ #% & x) ) 

= 2cos "t $ 0,5(% 1 

+ % 2 

)x 

der 2. Term beschreibt die Signalausbreitung : #"t $ #%x = #" t $ x /v g 

d.h. wenn die Bandbreite #" eingeschränkt und 

% linear von " abhängig ist, so ist v g 

= v ph 

' die Signale werden verzerrungsfrei übertragen 

( ) ' 1/v g 

= d% /d" 


! 

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit II 

•! 

Phasenfrequenzgang einer Übertragungsfunktion 

= Phasenwinkelverlauf 

((&) = arctan(Im(H(&))/Re(H(&))) (siehe Bode-Diagramm); 

die Phasenverschiebung der Gruppe ist )(=-)*x, damit ergibt sich 

für die Gruppenverzögerung t g : 

"#( t $ t g ) = "#t + "% & t g 

= $"% /"# & $d% /d# 

! 


Homogene Verzögerungsleitung 

•! 

Stetiger Übergang von der n-gliedrigen zu einer homogenen 

Verzögerungsleitung mit der Widerstands-, Kapazitäts- bzw 

Induktivitätsbelegung (R‘,C‘,L‘): 

•! 

•! 

•! 

Zwei-Leitersystem mit homogener Belegung pro Längenelement: 

•! 

•! 

•! 

•! 

Längswiderstand R+dx 

Induktivität L+dx 

Kapazitätsbelag C+dx und 

Ableitungsbelag (oder Parallelleitwert, Isolation) G+dx 

Kabel wie “twisted pair”, Flachband- oder Koaxialkabel sind Grenzfälle 

der Belegung L+C+ -> nahe 0, homogene Belegung "(#) = Re( (R'+ j#L')(G'+ j#C') 

=> Die frequenzabhängige Dämpfungskonstante 

und die Länge der Leitung bestimmen die Grenzfrequenz & 0 


! 

Koaxialkabel I 

•! Ideales Koaxialkabel: R+ (Widerstandsbelegung), G+ (Isolation) = 0 

L " = µ 0 

# µ r 

2$ ln r a 

[ H /m] 

r i 

" C = 2$% 0 

% r 

Z 0 

= 

L " 

C " 

= 60&# 

ln r a 

[ F /m] 

r i 

µ r 

/% r 

ln r a 

r i 

v g 

= v ph 

=1/ L "# C " = c / % r 

# µ r 

t g 

= l /v g 

= l # % r 

# µ r 

/c 

! 

•! Übliche Koaxialkabel haben Impedanzen von 50 – 200 % 

bei Gruppengeschwindigkeiten von v g $ 2/3 • c $ 20 cm/ns 

•! Symbol: 


! 

•! 

•! 

Für , r = 2,28 (PE) und verschiedene 

Kabelgeometrien erreichbare 

Impedanzen Z 0 : 

Z 0 

= 60" # 

µ r 

/$ r 

ln r a 

r i 

Koaxialkabel II 

Andere kompakte Verzögerungsleitungen: 

r a /r i ln r a /r i Z 0 [Ohm] 

50 3,9 155 

20 3,0 125 

10 2,3 91 

5 1,6 64 

3 1,1 44 

•! Große Verzögerung durch hohe L+C+-Belegung ,"µ >> 1: ( ns – !s) 

•! Geringes Volumen 

•! Niedrige Phasengeschwindigkeit 

•! Aber zumeist hohe Dämpfung 40% 


Reales Koaxialkabel: Eigendämpfung 

–! Widerstandsbelag 

–! Skineffekt: Eindringtiefe " = # /($µf ) 70 !m in Cu bei 100 MHz 

=> Zunahme der Dämpfung bei hohen Frequenzen f -> Litze (viele 

dünne Leiter) 

–! Polarisationseffekte 

! 

im Dielektrikum 

–! z.B. Koaxialkabel (RG58U, Leiter Cu): Widerstandsbelag ca. 0,184 "/m 

oberhalb 1 MHz steigt der Widerstand mit #f an; f in [MHz] 

–! Die charakteristische Impedanz wird komplex: 

(die „gestrichenen“ Größen geben die 

längenspezifischen Parameter an) 

–! ebenso die Ausbreitungskonstante der Wellen: 

•! d.h.: u(x,t) = Re(U 0 e -!x+j&t ) 

•! 

Z 0 

= 

R' +j! L " 

G' +j! C " 

! = (R' +j" L #) $(G' +j" C #) 

–! Bei dünnen Lemo-Kabeln (D=2,95 mm) ist 1/a bei 100 MHz ca. 50 cm, 

bei D=7,25 mm erreicht man eine um einen Faktor 3 größere 

Abschwächungslänge 1/a (Abfall auf 1/e). 

Bei sehr hohen Frequenzen - Hohlleiter oder optische Fasern 


Reflexionen auf Wellenleitern I 

•! 

Gesucht: . = u r /u e 

Anteil der reflektierten Welle u r 

relativ zur einlaufenden Welle u e , 

R E ist eine Längsterminierung der 

Quelle 

–! Ist das Kabel mit R = Z 0 abgeschlossen: 

•! erhält der Empfänger u R = u e R / (R E + R) und 

•! es gibt keine Reflektionen, . = 0 

–! Ist R / Z 0 , 

so ergibt sich aus den Kirchhoffschen Regeln: 

i R = i e – i r ist der Strom in der Abschlussimpedanz 

mit i i = u i / Z i wird daraus => u R /R = u e /Z 0 – u r /Z 0 und Maschenregel: 

u R = u e + u r => (u e + u r )/R = u e /Z 0 – u r /Z 0 -> u e (1/Z 0 –1/R)= u r (1/Z 0 +1/R) 

-!. = u r /u e = (1/Z 0 – 1/R) / (1/Z 0 + 1/R) = (R – Z 0 )/( R + Z 0 ) 


Reflexionen auf Wellenleitern II 

•! Spezialfälle von . = u r /u e = (R – Z 0 )/( R + Z 0 ) 

–! R = 0 Kurzschluß . = -1 Vollständige Reflexion mit Polaritätsumkehr 

–! R = Z 0 Anpassung . = 0 Keine Reflexion 

–! R => 0 offen . = 1 Vollständige Reflexion mit gleicher Polarität 

•! 

Problem: Toleranz der Kabel-Impedanzen und Abschlüsse: 

=> Beide Seiten abschließen, auch die Quelle mit R E = Z 0 , um 

Mehrfachreflexionen zu vermeiden 

–! daher werden z.B. Fernsehdosen mit Leitungsimpedanz abgeschlossen, d.h. bei 

mehreren an einer Leitung: nur die letzte abschließen. 

–! angepasste ( reflexionsfreie) Signalabschwächung (T-Abschwächer) 


Pulsverteilung 

•! 

Reflexionsfreier Pulsverteiler für n=3: 

•! 

•! 

n+1 Widerstände R 

jeder Ein- bzw. Ausgang ist mit der Impedanz Z 0 abgeschlossen 

–! Wegen der Symmetrie: R + (R + Z 0 ) / n = Z 0 -> R(1+1/n)=Z 0 (1-1/n) 

=> R = Z 0 (n-1)/(n+1) 

–! Signalabschwächung mit Übertragungsfaktor 

u a 

= (R + Z 0) /n 

u e 

R + (R + Z 0 

) /n " Z 0 

= (R + Z 0) /n Z 

" 0 

= 1/n 

R + Z 0 

Z 0 

R + Z 0 

man benötigt ev. Zwischenverstärker 

! 


Messung der Kabeldämpfung 

•! 

An einem Ende eines offenen Kabels 

der Länge l oder der Laufzeit 1 = l/v gr 

werden die Reflexionen mit einem 

Oszilloskop (R i >> Z 0 ) beobachtet. 

–! Der Generatorwiderstand sei gegenüber der 

Kabelimpedanz vernachlässigbar: R g Kurzschluss 

=> Polaritätsumkehr nach der Laufzeit 2 1 2 

# (Hin- und Rückweg) jeweils am Generator 

Kurzschluss 

u(t) 

Z0, l, ! = l/vgr 

offen 

ua(t) 

•! 

Beobachtung des exponentiellen Abfalls zur 

Zeit t = 1 + n 2 1 : 

1/a 2n 

= u (t a 0 

+ (2n +1)") 

u a 

(t 0 

+ ") 

= e #$ 2n%l ; $ = a 2n 

2n % l 

! 


Signalleitungen und ihr Wellenwiderstand 


Symbole für Schaltungselemente I 

" " " "Widerstände" 

Widerstand" " " " veränderbarer Widerstand" 

spannungsabhängiger" " " Heißleiter" 

Widerstand (Varistor) " " "" 

Kaltleiter " " " " Fotowiderstand " "" 

" " " "Induktivitäten! 

Induktivität" " " " Induktivität mit Magnet-" 

Induktivität mit ein- " " " Kern (Drossel)" 

stellbarem Kern " " " Einphasen Transformator" 

" " " "Kapazitäten" 

Kondensator " " " veränderbarer Kondensator" 

Trimm-Kondensator " " " gepolter Kondensator" 

! ! ! !Sonstiges" 

Koaxialkabel " " " Sicherung" 

Batterie " " + " - " Erdung, Masse" 

Quarz " " " " Volt-, Amperemeter" 

" " " " " (Bereich 1V, 1mA)" 


Symbole für Schaltungselemente II 

! ! ! !Symbole für Quellen" 

Gleichspannungsquelle (R i = 0)" 

= 

Wechselspannungsquelle" 

Gleichstromquelle (R i => #)" 

+ 

Puls-, Exponential-, Sinus-,Polygon- und Frequenzmodellierte" 

Strom- und Spannungsquellen,sowie Spannungs- und Strom-" 

gesteuerte Quellen " " " " alt" neu

6. Transport von Signalen auf Leitern

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