Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Wichtigste Bausteine von Kombinatorikformeln sind die Fakultät und Binomialkoeffizienten.
Def. 1.18 (Permutationen)
Für n ∈ N 0 gibt
n! = n · (n − 1) · . . . · 1 , 0! = 1 ,
die Anzahl der möglichen Permutationen (= Vertauschungen) von n verschiedenen
Objekten an.
Zum Beispiel gibt es für n Personen (n − 1)! Möglichkeiten im Kreis zu sitzen. Dabei
sind zwei Kreisanordnungen gleich, wenn jede Person in jeder Anordnung denselben
Nachbarn hat.
Satz 1.19 (Variationen mit Wiederholung)
Nach der Multiplikationsregel 1.17 gibt es n k Möglichkeiten, aus einer Menge von
n Elementen k Elemente unter Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen zu
ziehen.
Satz 1.20 (Kombinationen ohne Wiederholung)
Es gibt
( n
k)
=
n!
k!(n − k)!
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)
= , n, k ∈ N 0 , k ≤ n
1 · 2 · . . . · k
k-elementige Teilmengen einer Menge von n Elementen.
Es folgen zwei Anwendungsbeispiele.
Satz 1.21 (Ziehen mit Zurücklegen)
In einer Urne seien N verschiedene Kugeln. Davon seien M rot gefärbt und
der Rest weiß (0 < M < N). A m n sei das Ereignis, dass beim n-maligen (unabhängigen)
Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen genau m rote Kugeln auftreten,
0 ≤ m ≤ n. Nach der Abzählregel 1.16, der Multiplikationsregel 1.17 und Satz
1.19 erhält man
( ) n M
P (A m m (N − M) n−m
n ) =
.
m N n
Die Gesamtzahl aller Möglichkeiten bei n Zügen mit Zurücklegen unter Beachtung der
Reihenfolge (wir denken uns die Kugeln von 1 bis N nummeriert) ist N n . Seien die