Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

1.5. ZUFALLSVARIABLE 33
Satz 1.57 (Transformationssatz)
X sei eine ZV und g : R → R messbar, dann gilt:
1. Y := g(X) ist eine ZV.
2. Falls g stetig und streng monoton wachsend, so lautet die Verteilungsfunktion
F Y von Y := g(X)
F Y (y) = F X [g −1 (y)] für y ∈ g(R) .
Beispiel 1.58
1. N(0, 1)
Gemäß Bemerkung 1.48 und Korollar 1.56 Nr. 1 ist bei (0, 1)-gleichverteiltem U
die Zufallsvariable X := Φ −1 (U) standardnormalverteilt. Zur numerischen Berechnung
der Standardnormalverteilungsfunktion Φ bzw. von Φ −1 gibt es ausgezeichnete
rationale Approximationen (siehe etwa [Kredler & Ritter (1995)]; Anhang).
2. Exponentialverteilung ED(λ)
F (x) = (1 − e −λx ) 1 (0,∞) (x) =⇒ F ← ln (1 − y)
(y) = − 1 (0,1) (y) .
λ
3. Bernoulli-Verteilung B(1, p)
⎧
⎪⎨ 0 , falls x < 0
F (x) = 1 − p , falls 0 ≤ x < 1
⎪⎩
1 , falls x ≥ 1,
und somit
F ← (y) =
{
0 , falls 0 < y ≤ 1 − p
1 , falls 1 − p < y < 1 .
4. Die ZV X habe die Verteilungsfunktion F X (x). Seien a ∈ R und b ≠ 0. Dann
lautet die Verteilungsfunktion F Y von Y := a + b X
⎧
⎨
F Y (y) =
⎩
( )
F y−a
X b
1 − F X
( y−a
b
, falls b > 0
)
, falls b < 0 ,
und falls X stetig ist mit Dichte f X , so ist Y auch stetig mit Dichte
f Y (y) = 1
|b| f X
( y − a
b
)
. (1.32)