Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

1.4. UNABHÄNGIGKEIT, BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT 15
dass derart spezielle Folgen von Spielausgängen nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auftreten.
Ohne es zu bemerken, haben wir mit dem letzen Satz und der expliziten Angabe der
p k und q k bereits die Analyse eines wichtigen Stochastischen Prozesses eingeleitet. Es
handelt sich um die einfache Irrfahrt oder den (simple) Random Walk.
Dabei bewegt man sich in diskreter Zeit t = 0, 1, 2, ... auf dem Gitter der ganzen Zahlen
nach folgenden Regeln:
1. Zum Zeitpunkt t befindet sich der Prozeß im Zustand S t ∈ Z.
2. Der Ausgangszustand S 0 = s 0 ∈ Z ist vorgegeben.
3. Auf den Zustand S t kann entweder der Zustand S t+1 = S t + 1 oder der Zustand
S t+1 = S t − 1 folgen.
4. Für 0 < p < 1 gilt
P (S t+1 = j + 1 | S t = j) = p und P (S t+1 = j − 1 | S t = j) = 1 − p .
5. Weiterhin gelten noch Unabhängigkeitsannahmen, die an dieser Stelle noch nicht
präzisiert werden können.
Trägt man die Zustände S t über der Zeit ab, so könnte der Pfad eines typischen
Random Walks etwa folgendermaßen aussehen
✻
Zielkapital
k
S t
1 2 3 9 10 11
K
t
0 Ruin des Spielers
✲
Bild 1: Random Walk