Musterlösungen zum 1. Aufgabenblatt
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Musterl?sung zu Blatt1 der Vorlesung Analysis I WS08/09<br />
Schriftliche Aufgaben<br />
Aufgabe <strong>1.</strong> Inspektor Barrick ermittelt in einem Todesfall. Onkel Kuno wurde<br />
tot in seinem Haus aufgefunden, wo er zusammen mit Onkel Bodo und einem<br />
Gärtner lebte. Barrick hat folgende Fakten zusammengetragen:<br />
(a) Kuno, Bodo und der Gärtner waren die einzigen Hausbewohner. Nur<br />
einer von ihnen kann Kuno getötet haben.<br />
(b) Derjenige, der Kuno getötet hat, hat diesen gehasst und war nicht<br />
reicher als Kuno.<br />
(c) Bodo hasst niemanden, den Kuno gehasst hat.<br />
(d) Kuno hat sich selbst und Bodo gehasst.<br />
(e) Der Gärtner hasst jeden, der nicht reicher als Kuno war oder von Kuno<br />
gehasst wurde.<br />
(f) Kein Hausbewohner hasst(e) alle Hausbewohner.<br />
Welche der nachfolgenden Schlussfolgerungen sind richtig (mit Begründung)?<br />
(1) Wenn der Gärtner sich nicht selbst hasst, dann hat er Kuno nicht<br />
getötet.<br />
(2) Der Gärtner war nicht reicher als Kuno.<br />
(3) Aus den Fakten folgt nicht, ob Bodo reicher als der Gärtner ist oder<br />
nicht.<br />
(4) Wenn der Gärtner Kuno getötet hat, dann hasst er Bodo nicht.<br />
(5) Bodo hat Kuno getötet.<br />
Lösung: Aussage (1) ist wahr: Aus (e) folgt, dass der Gärtner jeden hasst, der<br />
von Kuno gehasst wurde. Nach (d) hat Kuno sich selbst und Bodo gehasst.<br />
Damit hasst der Gärtner Kuno und Bodo. Aus (f) folgt dann aber, dass der<br />
Gärtner sich nicht selbst hasst. Dann folgt aber aus (e), dass der Gärtner<br />
reicher war als Kuno. Nach (b) kann er daher nicht der Mörder sein! Damit<br />
sind beide Teilaussagen in (1) wahr, und somit auch die in (1) gemachte<br />
Folgerung.<br />
Ein anderer, etwas leichterer Beweis von (1) geht wie folgt: Die Aussage<br />
ist äquivalent zur Aussage “Wenn der Gärtner Kuno getötet hat, dann<br />
hasst er sich selbst.” Setzen wir nun voraus, da der Gärtner Kuno getötet<br />
hat. Nach (b) war der Gärtner damit nicht reicher als Kuno. Nach (e) hasst<br />
der Gärtner also sich selber. Fertig!<br />
Allerdings gibt der erste Beweis mehr Aufschlüsse, die wir unten noch<br />
benötigen. Wir wissen aus dem Beweis bereits, dass der Gärtner Kuno nicht<br />
1
2<br />
getötet hat, und dass er reicher war als Kuno. Dies liefert damit schon den<br />
Beweis dafür, dass (2) unwahr ist.<br />
Die Aussage (3) ist wahr. Aus (b) und (c) folgt, dass Bodo Kuno nicht<br />
gehasst hat. Damit war Bodo auch nicht der Mörder. Da der Gärtner auch<br />
nicht der Mörder war, folgt hieraus, dass Kuno Selbstmord begangen hat.<br />
Wir kommen nun zur Frage des Reichtums: Aus (a) folgt hier nichts. Aus<br />
(b) auch nicht, da Kuno der Mörder war. Auch die anderen Aussagen liefern<br />
keine Anhaltspunkte darüber, ob Bodo reicher ist als der Gärtner oder nicht<br />
(beide Möglichkeien stehen nicht im Widerspruch zu den gegebenen Fakten).<br />
Die Aussage (4) ist wahr: Wir wissen bereits, dass der Gärtner nicht<br />
der Mörder ist. Ist daher A die Aussage “Der Gärtner hat Kuno getötet”, so<br />
ist die Folgerung A⇒B für jede Aussage B wahr. Die Aussage in (4) ist eine<br />
solche Folgerung.<br />
Die Aussage in (5) ist unwahr, da Kuno Selbstmord begangen hat!<br />
Aufgabe 2. Zu finden sind zwei natürliche Zahlen die echt zwischen 1 und<br />
100 liegen. “Herr Produkt” kennt das Produkt der Zahlen und “Herr Summe”<br />
kennt die Summe der Zahlen. Herr Produkt und Herr Summe führen die<br />
folgende Unterhaltung:<br />
Herr Produkt: “Ich kenne die beiden Zahlen nicht.”<br />
Herr Summe: “Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, aber ich wusste,<br />
dass Sie die Zahlen nicht kennen.”<br />
Herr Produkt: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt.”<br />
Herr Summe: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch.”<br />
Welches der folgenden Zahlenpaare ist die richtige Lösung? (Wir setzen<br />
voraus, dass eines der angegebenen Paare richtig ist!)<br />
3 und 5, 2 und 7, 8 und 11, 4 und 13.<br />
Lösung: Die erste Aussage des Herrn Produkt heißt einfach: das Produkt p<br />
der gesuchten Zahlen ist nicht Produkt zweier Primzahlen oder q 3 für eine<br />
Primzahl q.<br />
Was Herr Summe dann sagt, bedeutet, dass die Summe s sich nicht additiv<br />
in zwei Primzahlen zerlegen oder als s = q 2 + q für eine Primzahl q<br />
schreiben läßt. 1<br />
1 Nach der Goldbachschen Vermutung läßt sich jede gerade Zahl > 2 als Summe zweier<br />
Primzahlen schreiben, was für die ersten paar Millionen Zahlen schon verifiziert ist. Also<br />
ist s nicht gerade. Dieses liefert ein weiteres allgemeins Kriterium, welches wir aber nicht<br />
benötigen!
3<br />
Nach diesen Kriterien fallen alle Paare bis auf “4 und 13” weg (3,5,2,7<br />
sind alles Primzahlen, 19 = 8 + 11 ist Summe der Primzahlen 2 und 17).<br />
17 = 4+13 ist nicht Summe zweier Primzahlen und nicht von der Form q 2 +q.<br />
Somit wäre die Aufgabe insofern gelöst, dass ja in der Aufgabenstellung<br />
gesagt ist, dass eines der Paare die richtige Lösung ist.<br />
Wir machen trotzdem noch ein bißchen weiter:<br />
Zur zweiten Aussage von Herrn Produkt: Ist p = 4 · 13, dann weiß<br />
Herr Produkt, dass die Zahlen entweder 4 und 13 oder 2 und 26 sind. Herr<br />
Produkt weiß also von vorneherein, dass s = 17 oder s = 28 gilt. Nun ist<br />
28 = 5 + 23 eine Summe zweier Primzahlen. Diese Summe kommt nach<br />
der ersten Aussage von Herrn Summe nicht mehr in Frage. Also weiß Herr<br />
Produkt nun Bescheid.<br />
Nun zur zweiten Aussage von Herrn Summe: Bei s = 17 = 4 + 13<br />
kämen folgende Paare für Herrn Summe in Betracht: 2 und 15, 3 und 14, 4<br />
und 13, 5 und 12, 6 und 11, 7 und 10, 8 und 9. Aber nur bei 4 und 13 weiß<br />
Herr Produkt Bescheid, denn bei p = 30 = 2 · 15 könnte neben p = 2 · 15 auch<br />
p = 6 · 5 eine mögliche Zerlegung sein, denn 11 = 6 + 5 ist auch nicht Summe<br />
zweier Primzahlen (und nicht von der Form q 2 + q für eine Primzahl q, man<br />
beachte, dass ungerade Zahlen nie von dieser Form sein können). Analog:<br />
• Bei 3 und 14 und somit p = 3 ·14 = 42 könnte Herr Produkt p auch in<br />
2 · 21 zerlegen und s = 21 + 2 = 23 vermuten, was ungerade und nicht<br />
Summe zweier Primzahlen ist.<br />
• Bei 5 und 12 und somit p = 60 könnte Herr Produkt p auch in 3 · 20<br />
zerlegen und s = 20+3 = 23 vermuten, was ungerade und nicht Summe<br />
zweier Primzahlen ist.<br />
• Bei 6 und 11 und somit p = 66 könnte Herr Produkt p auch in 2 · 33<br />
zerlegen und s = 33+2 = 35 vermuten, was ungerade und nicht Summe<br />
zweier Primzahlen ist.<br />
• Bei 7 und 10 und somit p = 70 könnte Herr Produkt p auch in 2 · 35<br />
zerlegen und s = 35+2 = 37 vermuten, was ungerade und nicht Summe<br />
zweier Primzahlen ist.<br />
• Bei 8 und 9 und somit p = 72 könnte Herr Produkt p auch in 3 · 24<br />
zerlegen und s = 24+3 = 27 vermuten, was ungerade und nicht Summe<br />
zweier Primzahlen ist.<br />
Also muß bei s = 4 + 13 die Zerlegung 4 und 13 sein, damit Herr Produkt<br />
Bescheid weiß, und deshalb weiß Herr Summe am Ende auch Bescheid.