Lösung 1 - Klausurensammlung HFH Hamburger Fern Hochschule ...

Studiengang Betriebswirtschaft
Modul
Wirtschaftsmathematik
Art der Leistung Studienleistung
Klausur-Knz. BB-WMT-S11-070630
Datum 30.06.2007
Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:
• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben
Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur
wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.
• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte
auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.
Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.
• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen.
Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.
• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus
dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.
• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten
Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche
festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.
Hilfsmittel :
Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner
Anzahl Aufgaben: – 6 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik
Höchstpunktzahl: – 100 –
Vorläufiges Bewertungsschema:
Punktzahl
Ergebnis
von
bis einschl.
50 100 bestanden
0 49,5 nicht bestanden
Viel Erfolg!
Klausuraufgaben, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, BB/BW
BB-WMT-S11-070630

Klausuraufgaben, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
HFH Hamburger Fern-Hochschule
Aufgabe 1
22 Punkte
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen R.
1.1 x+
2 x+
2
4 ⋅ 2 = 3 ⋅ 4
6
1.2 4 − 6 − x + x = 2x
8
1.3 x + 2 x − 24 = 0 . 8
Aufgabe 2
14 Punkte
Von einer arithmetischen Zahlenfolge ( a n ) sind die folgende Beziehungen zwischen einzelnen Gliedern der
Zahlenfolge bekannt:
a
5 + a8
=
2 6 =
1
a + a 0 .
Bestimmen Sie das Anfangsglied a 1 der Zahlenfolge.
Aufgabe 3
12 Punkte
Ein Unternehmen setzt bei einem Preis von 10,00 € 5.000 Einheiten eines Gutes ab. Eine Preissenkung um 1 €
bewirkt eine Absatzsteigerung auf 6.000 Einheiten. Weiterhin wird aus Vereinfachungsgründen vorausgesetzt,
dass die Preis-Absatzfunktion x = x( p)
linear ist.
Bestimmen Sie die Preis-Absatzfunktionen x = x( p)
und p = p(x)
.
Aufgabe 4
10 Punkte
Herr K. kauft auf Anraten seines Sohnes Sparbriefe.
4.1 Welchen Betrag muss K. heute zahlen, wenn die Sparbriefe eine Laufzeit von 7 Jahren haben, eine
jährliche Verzinsung von 6 % garantieren und K. am Ende der Laufzeit 10 000 € ausbezahlt haben
möchte?
4.2 Welche Laufzeit besitzt ein Sparbrief, wenn K. für 7 049,60 € bei 6 % jährlicher Verzinsung am
Ende der Laufzeit 10 000 € erhält?
5
5
BB-WMT-S11-070630 Seite 1/2

Klausuraufgaben, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
HFH Hamburger Fern-Hochschule
Aufgabe 5
20 Punkte
Ein Handwerker möchte von seinem 63. Geburtstag an 20 Jahre lang eine monatliche nachschüssige Rente von
2.000,00 € ausgezahlt bekommen.
Welchen Betrag muss er dafür 30 Jahre lang bis zu seinem 63. Geburtstag vierteljährlich vorschüssig einzahlen?
Sowohl in der Anspar- als auch in der Auszahlungszeit wird das Konto jährlich mit 5,5 % verzinst.
Aufgabe 6
22 Punkte
Ein Bauherr nimmt zur Finanzierung seines Hauses ein Hypothekendarlehen über 200 000,00 € auf. Der Zinssatz
beträgt 8 % und für das erste Jahr wird eine Tilgung von 1 % vereinbart. Es handelt sich um eine Annuitätentilgung
(Annuitätenkredit).
6.1 Berechnen Sie die Laufzeit der Hypothek. 8
6.2 Erstellen Sie den Tilgungsplan (Restschuld zu Beginn des Jahres, Zinsen, Tilgung, Annuität) für
das 27., 28., und 29. Jahr.
14
BB-WMT-S11-070630 Seite 2/2

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung
Wirtschaftsmathematik am 30.06.2007
Betriebswirtschaft
BB-WMT-S11-070630
Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:
• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische
Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden
sind, ist nicht gestattet.
• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung
auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.
• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen
Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie
vor.
• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit
einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen
Punkte ohne weiteren Abzug.
• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.
• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende
Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste)
ein.
• Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:
Punktzahl
Ergebnis
von
bis einschl.
50 100 bestanden
0 49,5 nicht bestanden
• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum
18. Juli 2007
in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene
Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung
abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen
(Tel. 040 / 35094311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, BB/BW
BB-WMT-S11-070630

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
HFH Hamburger Fern-Hochschule
Lösung 1 vgl. SB 1; Kap. 1.4 22 Punkte
1.1 x+
2 x+
2
4 ⋅ 2 = 3 ⋅ 4
2 x+
2
2 ⋅ 2 = 3 ⋅
2
x+
4
x+
4
2
2x+
4
2
−x
2 = 3
= 3 ⋅ 2
= 3
2x+
4
1.2 4 − 6 − x + x = 2x
2 x+
2
( 2 )
(alternative Lösung)
4
3
x+ 2
4
= x + 2
2
4 2
= 2
x+
3
1
4 =
x
2
2 ⋅ 2
3
1
1 =
x
2
3
1
− x ⋅ ln 2 = ln 3
ln1
− ln 3 = x ⋅ ln 2
1
ln 3
ln 3
x = − = −1,585
x = − = −1,
585
ln 2
ln 2
1
4 − x = 6 − x
1
2
( 4 − x) = 6 − x
x
2
2
− 8x
+ 16 = 6 − x
x − 7x
+ 10 = 0
1
7 49 40 7 9 7 3
x1 ,2 = ± − = ± = ±
2
2 4 4 2 4 2 2
x 1 = 5 (keine Lösung, Einsetzen in Gleichung liefert 4 − 6 − 5 + 5 ≠ 10 ) 1
x 2 = 2 (Lösung, Einsetzen in Gleichung liefert 4 − 6 − 2 + 2 = 4 ) 1
1.3 x + 2 x − 24 = 0
Substitution:
z = x
1
2
z + 2z
− 24 = 0
1
Lösen der quadratischen Gleichung:
2
z1 / 2 = − ± 1 + 24 = −1
± 25 = −1
± 5
2
2
z 1 = 4 und z2 = −6
2
Rücksubstitution:
x 1 = z1
2 = 4 2 = 16 (Lösung, da 16 + 2 16 − 24 = 0 ) 1
2 2
x 2 = z2
= ( −6)
= 36 (keine Lösung, da 36 + 2 36 − 24 = 24 ≠ 0 ) 1
1
1
1
BB-WMT-S11-070630 Seite 1/5

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
HFH Hamburger Fern-Hochschule
Lösung 2 vgl. SB 1, Kap. 2.2 14 Punkte
Bildungsvorschrift arithmetische Folge (vgl. Formelsammlung 6.2):
a k = a1 + ( k −1)
d mit k ∈ N + , d ≠ 0 . 1
Damit ist
und
a5
= a1
+ 4d
a8
= a1
+ 7d
a2
= a1
+ d
. 2
a6
= a1
+ 5d
Einsetzen in die Ausgangsgleichungen ergibt
a 5 + a8
= a1
+ 4d
+ ( a1
+ 7d)
= 2a1
+ 11d
= 1 (I) 2
a 2 + a6
= a1
+ d + ( a1
+ 5d)
= 2a1
+ 6d
= 0 . (II) 2
Aus (II) folgt
a1
2a1
+ 6d
= 0 6d
= −2a1
d = − . 2
3
Einsetzen in (I) liefert
11a1
2a1
− = 1
3
6a1
11a1
− = 1
3 3
5a1
− = 1
3
3
a1
= −
5
Das Anfangsglied der Zahlenfolge ist
3
a 1 = − .
5
2
3
Lösung 3 vgl. SB 4, Kap. 2.4 und 3.1 12 Punkte
Gesucht ist die lineare Funktion (Gerade) x = x( p)
, auf der die beiden Punkte ( p 1 , x1
) = (10, 5.000)
und
( p 2 , x2)
= (9, 6.000) liegen.
Für die 2-Punkteform der Geradengleichung (Formelsammlung 16.5) wird zunächst die Steigung m berechnet:
x2
− x1
m = 1
p2
− p1
6.000 − 5.000
m =
= −1.000
. 2
9 −10
2
BB-WMT-S11-070630 Seite 2/5

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
HFH Hamburger Fern-Hochschule
Einsetzen in die Punktsteigungsform (Formelsammlung 16.5) liefert:
x = mp + ( x 1 − mp1)
1
x = x( p)
= −1.000
p + (5.000 − ( −1.000)
⋅10)
2
x = x( p)
= −1.000
p + 15.000
1
Zur Funktion p = p(x)
gelangt man nun durch Bildung der Umkehrfunktion von x = x( p)
. 1
Auflösung von x = x( p)
nach p liefert:
x = −1 .000 p + 15.000
1 .000 p = −x
+ 15.000
1
1
p = p( x)
= − x + 15 . 1
1.000
Lösung 4 vgl. SB 2; Kap. 1.3 10 Punkte
4.1 Es ist der Barwert K 0 zu ermitteln.
Für den Barwert nach n Zinsperioden gilt (vgl. Formelsammlung 8.2):
K
K =
q
n
0 . 1
n
p
Mit n = 7 (0,5), K n =10 000 € (0,5) und q = 1 + i = 1 + = 1, 06 (1) ergibt sich:
100
2
4.2 Laufzeit:
10 000
K 0 = = 6 650,57 €.
7
1,06
Für die Laufzeit gilt (vgl. Formelsammlung 8.2):
log K n − log K0
n = . 1
log q
p
Mit K n =10 000 € (0,5), K 0 = 7 049, 60 € (0,5) und q = 1 + i = 1 + = 1, 06 (1) ergibt sich:
100
2
log10 000 − log 7 049,60
n =
= 6 Jahre.
log1,06
2
2
BB-WMT-S11-070630 Seite 3/5

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
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Lösung 5 vgl. SB 2; Kap. 2.2/2.3 und SB 3, Kap. 1.1 20 Punkte
Es ist zunächst der Barwert der Rente zu bestimmen, die im Alter gezahlt werden soll. 1
Der Rentenbarwert einer nachschüssigen Rente bestimmt sich zu (Formelsammlung 9.1):
R
0
r
=
q
n
n
q −1
⋅ . 1
q −1
Da unterjährige Rentenzahlung ist für die Rate r die jahreskonforme Ersatzrate r E für nachschüssige
Zahlungen zu verwenden:
1
i
r E = rm
+ ( m −1)
(Formelsammlung 9.4). 1
2
Mit i = 0, 055 (0,5), r = 2.000, 00 € (0,5) und m = 12 (Monate) (1) ergibt sich 2
i 0,055
r E = rm
+ ( m −1)
= 2.000 12 11 = 24.605,00
2 + ⋅
2
€. 1
Mit n = 20 (Jahre) (0,5) und q =1, 055 (0,5) folgt für den Rentenbarwert 1
n
20
r q −1
24.605 1,055 −1
R0 = ⋅ = ⋅ = 294.039,16 €.
n q −1
20
2
q 1,055 0,055
Dies ist der Rentenendwert für die vorschüssigen Einzahlungen. 1
Der Rentenendwert bestimmt sich zu (Formelsammlung 9.2):
n
q −1
Rn = rE
⋅ q ⋅ . 1
q −1
Da unterjährige Rentenzahlung ist die jahreskonforme Ersatzrate r E für vorschüssige Zahlungen zu verwenden.
Umstellen nach r E und Einsetzen von R n = 294.039, 16 €, n = 30 (Jahre) (0,5) und q =1, 055 (0,5) liefert
Rn
⋅ ( q −1)
294.039,16 ⋅ 0,055
r E = =
= 3.847,70 €.
n
30
2
q ⋅ ( q −1)
1,055 ⋅ (1,055 −1)
Diese Ersatzrate ist abschließend in vierteljährliche vorschüssige Zahlungen (Raten r) umzurechnen.
Für die Ersatzrate r E gilt (Formelsammlung 9.4):
i
r E = rm
+ ( m + 1)
. 1
2
Umstellen nach r und Einsetzen von i = 0, 055 (0,5) und m = 4 (Vierteljahre) (0,5) ergibt: 1
rE
3.847,70
r =
=
= 929,96 €.
i 0,055
m
+ (m + 1)
4 + ⋅ 5
2
2
1
1
2
BB-WMT-S11-070630 Seite 4/5

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft
HFH Hamburger Fern-Hochschule
Lösung 6 vgl. SB 3, Kap. 2.3 22 Punkte
6.1 Zinsen im 1. Jahr:
Z 1 = S0
⋅ i = 200.000,00 ⋅ 0,08 = 16.000,00 € 1
Tilgung im ersten Jahr:
T 1 = S0
⋅ i = 200.000,00 ⋅ 0,01 = 2.000,00 € 1
Annuität: A = Z1 + T1
= 18.000, 00 € 2
Laufzeit des Annuitätenkredits (Formelsammlung 10.2):
log A − logT1
n = .
log q
1
Einsetzen von A, T 1 und q =1, 08 (1) liefert 1
log18.000,00 − log 2.000,00
n =
= 28,55 .
log1,08
2
Damit beträgt die Laufzeit 29 Jahre.
6.2 Restschuld zu Beginn des 27. Jahres (nach Zahlung von 26 Annuitäten), vgl. Formelsammlung
10.2:
26
26 q −1
S 26 = S0
⋅ q − A .
q −1
1
Mit S 0 = 200.000, 00 € (0,5), A =18.000, 00 € (0,5) und q =1, 08 (1) ergibt sich 2
26
26 1,08 −1
S 26 = 200.000 ⋅1,08
−18.000
= 40.091,17 € 2
0,08
Damit ergibt sich folgender Tilgungsplan (in Euro) für die Annuitätentilgung:
Jahr
j S j−1
Restschuld zu Beginn
des Jahre
Zinsen, fällig am Ende
des Jahres
Z j
Tilgung fällig am Ende
des Jahres
T j
Annuität
27 40.091,17 3.207,29 14.792,71 18.000,00 2
28 25.298,46 2.023,88 15.976,12 18.000,00 3
29 9.322,34 745,79 9.322,34 10.068,13 4
Die Zahlenwerte ergeben sich unter Berücksichtigung von:
Z j = S j −1 ⋅ 0,08 für j = 27, 28, 29 und S j = S j−1 − T j für j = 27, 28
T j = 18 .000, 00 − Z j für j = 27, 28 und T 29 = S28
sowie A 29 = Z 29 + T29
.
A
BB-WMT-S11-070630 Seite 5/5