Hausarbeit - Friedrich-Schiller-Universität Jena

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Institut für Geographie
HptS: Analyse und Modellierung räumlicher Daten
WS 2004/05
Leitung: Dr. Martin Herold
Die „Weights of Evidence“ Methode
Theorie und konzeptionelle Grunglagen in GIS
Stephan Sonntag
Matr.Nr.: 58127
Studiengang: Geographie (Diplom)
Semester: 6

Inhalt
1 Einleitung
2 Vorhersage von Mineralvorkommen
3 Umgang mit der Weights of Evidence Methode
3.1 Binary evidential themes
3.2 Berechnung der weights
3.3 Binäre Reklassifizierung
3.4 Bayes Theorem
4 Abschließende Betrachtung
Literatur

1 Einleitung
Die „Weights of Evidence“ Methode ermöglicht Wahrscheinlichkeiten im Licht
verschiedener Themen (evidences), die durch Analyse oder Beobachtung gewonnen
werden, zu bemessen (weight). Die Methode wurde laut Arc-WofE User-Guide
(1998:1) ursprünglich für eine nicht-räumliche Anwendung entwickelt. So wurden in
der medizinischen Diagnose die Symptome einer bestimmten Krankheit als
Informationen (evidences) verstanden und die zugehörige Hypothese lautete: „Dieser
Patient hat die Krankheit X“. Für jedes Symptom wurde ein Paar von so genannten
Gewichtungen (weights) festgelegt, ein für das Vorhandensein und eine für das Nicht-
Vorhandensein des Symptoms. Somit konnte in einer großen Gruppe von Patienten eine
Verbindung zwischen der Häufigkeit von Symptomen und einem bestimmte
Erkrankungsmuster festgestellt werden. Die errechneten weights konnten dann dafür
verwendet werden, um einzuschätzen ob ein neuer Patient diese Krankheit hat, basiert
auf dem Vorhandensein oder Nicht-Vorhandensein von Symptomen.
1980 wurde die „Weights of Evidence“ Methode für die Darstellung möglicher
Mineralvorkommen mit Hilfe von GIS angepasst. Dabei bestehen die Themen
„Evidences“ aus einer Reihe von untersuchten Datensätzen (Karten) und die Hypothese
lautet: „Ist in diesem Gebiet das Vorkommen von Ablagerung X möglich“. Die weights
werden durch die Zusammenhänge zwischen Bekannten Mineralvorkommen und den
Werten in den Karten, die dabei als Vorhersagewerte dienen, abgeschätzt. Die
Hypothese ist dann für alle möglichen Orte auf der Karte bewiesen, auf der die weights
of evidence der verschiedenen Kartenlayer übereinstimmen.
2 Vorhersage von Mineralvorkommen
Die physikalischen und chemischen Grundlagen, die die Bildung von
Mineralvorkommen bestimmen sind zu komplex um damit Vorhersagen in
mathematischer Form zu treffen. Die Vorhersage von Mineralvorkommen muss daher
laut BONHAM-CARTER (1994:252) in empirischer Form geschehen mit Hilfe von
deskriptiven Ablagerungsmodellen. Die Beschreibung eines Ablagerungsmodells
beinhaltet eine Bewertung der chemischen und physikalischen Prozesse die die
Ablagerung bestimmen. Bei der Benutzung von GIS zur Berechnung von potentiellen
Mineralvorkommen, spielen so genannte Ablagerungsmodelle (deposit models) eine
Rolle. Diese werden dazu benötigt, um Karten zu selektieren und abzuleiten, die gute
Vorhersagen über bestimmte Ablagerungstypen treffen können und die Gewichtungen
(weights) in den Vorhersagekarten (predictor map) festlegen. Die Zuweisung von
Gewichtungen kann entweder in Form von statistischen Kriterien geschehen oder durch
die Einschätzung aufgrund der Meinung von Experten. Bei der statistischen Methode
wird versucht ein räumlicher Zusammenhang zwischen der Vorhersagekarte und der
Ergebniskarte (response map) aufgrund bekannter Mineralvorkommen zu bestimmen.

Diese beiden Typen werden in datenbasierte (data-driven) und wissensbasierte
(knowledge-driven) Modelle unterschieden. In Abbildung 1 sind diese beiden Typen
dargestellt. In datenbasierter Modellierung werden die verschiedenen Inputkarten mit
Hilfe von Modellen, wie „logistic regression“, „weights of evidence“ oder „neural
network analysis“ verbunden. Bei der wissensbasierten Modellierung wird mit „fuzzy
logic“, Bayesian probability“ und „Dempster-Shafer belief theory“ gearbeitet.
Abb. 1: Modelle zur Bestimmung möglicher Mineralvorkommen (Quelle: BONHAM-
CARTER 1994:254)
3 Umgang mit der Weights of Evidence Methode
BONHAM-CARTER 1994:317) nennt folgende Schritte die beim Umgang mit der Weights
of Evidence Methode durzuführen sind:
1. Eine Anzahl von Karten muss ausgewählt werden, die brauchbare Themen
(evidences) für die gegebene Fragestellung liefert (in diesem Fall die Suche
nach mineralischen Ablagerungen)
2. Jede Karte, deren Thema durch eine größere Zahl von Klassen gegeben ist
muss eine optimale Reklassifizierung gewählt werden um sie in binäre Form
umzuwandeln. Dabei muss ein starker räumlicher Zusammenhang zwischen der
Karte und den Ablagerungen gegeben sein. Die binäre Reklassifizierung soll im
weiteren Verlauf der Arbeit noch diskutiert werden.
3. Untersuchung nach paarweiser Korrelation zwischen den binären Karten. Dabei
müssen „problematische“ Karten gelöscht werden, die zu anderen Karten keine
Korrelation aufweisen. Oder es werden verschiedene binäre Karten kombiniert
um die Korrelation zu erhöhen.
4. Die unter Punkt zwei entstandenen binären Karten müssen mit einer Gleichung,
deren Herleitung in dieser Arbeit beschrieben wird, verrechnet werden.
5. Eine Karte muss erstellt, die das Ergebnis der Berechnung darstellt.
Die einzelnen hier angeführten Schritte erfordern sehr viel mehr computerisierte
Berechnungen als die subjektive Festlegung der weights mit anderen Methoden. Der
Vorteil der Methode besteht aber darin, dass objektive Einschätzungen der weights

gegeben werden, die räumliche Zusammenhänge zwischen Kartenmustern und
bekannten Vorkommen berücksichtigen.
3.1 Binary evidential themes
Ein evidential theme ist laut Arc-WofE User-Guide (1998:1) ein Kartenlayer, der für die
Vorhersage eines bestimmten punktuellen Objektes, zum Beispiel mineralogischen
Vorkommen, dient. Die evidential themes bestehen jeweils aus zwei oder mehr Klassen.
Die Weights of Evidence Methode ist nur für binarär Klassifikation geeignet, wodurch
es erforderlich wird multi-class evidential themes in zwei Klassen zu generalisieren.
In Abbildung 2 ist ein rechteckiger View mit einem evidential theme in zwei Klassen
dargestellt. Dabei ist in der Attributtabelle der Wert 2 für Anwesenheit des Themas und
für Nicht-Anwesenheit 1. Zusätzlich ist eine Anzahl von Trainingspunkten gegeben.
Der Arc-WofE User-Guide (1998:1) beschreibt Trainingspunkte als Punkt-Layer, der
aus Orten besteht, an deren Stelle die Objekte bekannt sind die dort vorkommen. Im
Fall von geologischen Explorationsarbeiten sind die Trainingsunkte die Vorkommen
bestimmter Stoffe, die bereits von Minengesellschaften und Prospektoren entdeckt
worden sind. In anderen geologischen Fachgebieten könnten die Trainingspunkte Orte
mit seismischer Aktivität, Störungen oder Klüfte darstellen. Die Serie von Punkten dient
dazu, die Gewichtungen für jedes einzelne Thema zu berechnen. Dabei ist in der
Attributtabelle der Punkte nur vermerkt, ob dort das Thema vorkommt oder nicht. Es
wird nicht nach der Größe oder Ergiebigkeit der Vorkommen unterschieden. In Figur
2A sind die Grenzen der Basiskarte (Boundary of base map) dargestellt und in Figur 2B
ist nur noch die Basiskarte, in der ein Teil des Themas und einige Trainingspunkte
fehlen, abgebildet.

Abb. 2: A: binary evidential theme mit Trainingspunkten. B: Ausschnitt aus A (Quelle:
Arc-WofE User-Guide 1998:3)
Das Gebiet eines unit cell´s ist mit u km 2 gegeben. Ein unit cell ist laut Arc-WofE User-
Guide (1998:1) ein kleines Gebiet, dass einen zugehörigen Trainingspunkt umgibt. Die
Größe dieses Gebiet muss festgelegt werden. Denn das Ergebnis der Weights of
Evidence Methode ist eine Karte, in der die Wahrscheinlichkeit berechnet ist, dass ein
Gebiet (unit area) einen bestimmten Trainingspunkt beinhaltet oder nicht. Folglich
verändert sich die Wahrscheinlichkeit mit der gewählten unit cell Größe. Die Größe
wird am Anfang des Computerprogramms gesetzt und ist für alle evidential themes und
alle Trainingspunkte gleich groß.
3.2 Berechnung der weights
Die folgende Berechnung der weights geschieht auf Grundlage des Arc-WofE User-
Guide (1998:3-5). Die Größe der base map aus Abbildung 2 ist A(T)/u = N(T) in unit
cells, wobei T die base map ist, A() das Gebiet (area) und N() die Anzahl der unit cells.
Die Anzahl der Trainingspunkte innerhalb der base map ist N(D). Angenommen das
evidential theme ist B, dann ist A(B)/u = N(B) in unit cells das Gebiet in dem B (zum
Beispiel ein bestimmtes Mineral) vorhanden ist. Der Wert für B kann zum Beispiel 2
sein. Dementsprechend ist A( )/u = N( ) das Gebiet in dem B nicht vorhanden ist. Bei
ist dann zum Beispiel der Wert 1 anzunehmen. Wenn keine unbekannten Bereiche
vorhanden sind gilt folgendes:
N(B) + N(
) = N(T).

Sind Regionen in T, wo B wegen nicht-kompletter Erkundung unbekannt ist, entsteht
eine dritte Klasse mit dem Wert 0. Die Gleichung lautet dann:
N(B) + N(
) + N(missing) = N(T).
Wenn GIS verwendet wird, kann N(T), N(B) und N( ) leicht ermittelt werden. Auch
die Anzahl der Trainingspunkte von B und , geschrieben als N(Bn B) und N( nD),
kann leicht ermittelt werden.
Die weights liefern ein Maß für den räumlichen Zusammenhang zwischen den
Trainingspunkten und dem evidential theme. Ein weight muss für jede Klasse des
evidential theme bestimmt werden. Ein positiver Wert bedeutet, dass mehr Punkte
innerhalb der Klasse liegen als normal Wahrscheinlich sind. Umgekehrt bedeutet ein
negativer Wert, dass weniger Punkte als erwartet in der Klasse vorkommen. Ein Wert
von Null oder nahe Null bedeutet, dass die Trainingspunkte in der Klasse zufällig
verteilt sind. Bei binären Karten, die ja aus zwei Klassen bestehen, wird W + für ein
weight benutzt, bei dem das evidential theme anwesend ist (Wert 2). W - wird dann
demenstsprechend für Abwesenheit des evidential themes verwendet.
Die Differenz zwischen den weights ist der Kontrast C. Also gilt: C = W + - W - . Der
Kontrast ist ein gesamtes Maß für den räumlichen Zusammenhang zwischen den
Trainingspunkten und dem evidential theme, indem er die Effekte der beiden weights
kombiniert.
Werte für die weights zwischen 0 und 0,5 sind wenig vorhersagend, Werte zwischen 0,5
und 1 sind mäßig vorhersagend, zwischen 1 und 2 stark vorhersagend und über 2 extrem
stark.
Die weights für binäre Themen sind durch den Zusammenhang folgenden bedingte
Wahrscheinlichkeiten gegeben:
P(B¦ D)
W + = ln P(B¦ ) und
P( ¦D)
W - = ln P( ¦ )
P() ist dabei das Zeichen für Wahrscheinlichkeit. Vorausgesetzt, es besteht eein
einfaches Verhältnis zwischen den Gebieten, dann ist:
N(Bn D)
P(B¦ D) = N(D) ,
N(Bn )
P(B¦ ) = N( ) ,

N( n D)
P( ¦ D) = N(D) und
N( n )
P( ¦ ) = N( ) .
N(Bn D) ist dabei die Anzahl der Trainingspunkte in Thema B. Somit ergibt sich für o.
g. Gleichung:
N(Bn D) / N(D)
W + = ln [N(B) - N(Bn D)] / [N(T) – N(D)]
Für W - wird genauso verfahren. Die weights für die einzelnen evidential themes sind
somit berechnet.
3.3 Binäre Reklassifizierung
Die Konvertierung von Karten mit mehreren Klassen zu einer binären Form kann nach
BONHAM-CARTER (1994:319-320) auf zwei Arten geschehen. Zum einen subjektiv, in
dem man geologische beurteilt oder aber statistisch. Bei letzterem wird die Schwelle des
maximalen räumlichen Zusammenhangs zwischen der resultierenden binären Karte und
dem Muster der Trainingspunkte bestimmte.
Abb. 3: Karte mit Antiklinalen und Orten bekannten Goldvorkommens (Quelle:
BONHAM-CARTER 1994:319)
In Abbildung 3 ist eine Karte der Antiklinalen mit mehreren Klassen dargestellt, in der
auch die Punkte mit bekannten Mineralvorkommen eingetragen sind. Auch ohne

statistisches Wissen ist zu erkennen, dass die Punkte dazu tendieren in der Nähe der
Antiklinalen zu liegen. Wenn aus diesem Thema (evidence) eine binäre Karte entstehen
soll, besteht die Frage darin, in welcher Entfernung von den Antklinalen die beste
Distanz ist um einen Schnitt zu machen. Innerhalb dieser Grenze wird das Vorkommen
als Wahrscheinlich angesehen, außerhalb nicht. Wenn die Distanz zu kurz gerät wird
das Gebiet kleiner und die Gefahr besteht, dass einige der Punkte mit bekannten
Vorkommen nicht darin liegen. Wird die Distanz jedoch zu lang gewählt geht der
Effekt, die Suche in dem Gebiet einzuengen, fast vollständig verloren. Anders als in der
Abbildung dargestellt, hat die Karte 24 Buffer die in einem Intervall von 250 Metern
unterteilt sind.
Abb. 4: Tabelle für die Karte der Antiklinalen (Quelle: BONHAM-CARTER 1994:322)
In Abbildung 4 sind alle Klassen mit Entfernung, Größe und den dazugehörigen
Trainingspunkten dargestellt. Der Kontrast in der letzten Spalte ist ein Maß für den
räumlichen Zusammenhang zwischen den Punkten mit bekannten Goldvorkommen und
den antiklinalen Faltenachsen. Aus der Distanz und dem Kontrast lässt sich ein
Diagramm formieren, dass in Abbildung 5 dargestellt ist. In diesem Beispiel ist ein
eindeutiger Zusammenhang zwischen der Karte mit den Antiklinalen und bekannten

Goldvorkommen festzustellen. Bei einer Entfernung von 1.25 km sind 51 der insgesamt
68 Vorkommen vertreten. Die Grenze auf der Karte liegt also bei 1,25 km. An dieser
Stelle ergibt sich das beste Ergebnis für die Vorhersage weiterer Vorkommen. Es
besteht aber auch die Möglichkeit, dass kein so klares Ergebnis aus dem Diagramm
hervorgeht, weil die Trainingspunkt vielleicht nicht so eindeutig verteilt sind. In solchen
Fällen muss zusätzlich eine subjektive Beurteilung unter zu Hilfenahme von
fachspezifischen Kenntnissen erfolgen.
Abb. 5: Graph mit den Schwankungen
des Kontrasts mit der Entfernung
(Quelle: BONHAM-CARTER 1994:320)
3.4 Bayes Theorem
Diese Weights of Evidence Methode basiert auf der Wahrscheinlichkeitstheorie nach
Bayes. Das Bayes Theorem erlaubt in gewissem Sinne das Umkehren von
Schlussfolgerungen. Vereinfacht ausgedrückt können bei bekannten Ursachen mit Hilfe
des Theorems die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses berechnet
werden. Das Bayes Theorem gibt an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
rechnet. Für zwei Ergebnisse B und D lautet es:
P(D¦ B) =
P(B¦ D) * P(D)
P(B)
Hierbei ist P(D) die A-Priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A und
P(B¦ D) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass D auftritt.
Die A-Priori-Wahrscheinlichkeit ist in den Naturwissenschaften ein
Wahrscheinlichkeitswert, der aufgrund von Vorwissen (zum Beispiel symmetrische
Eigenschaften eines Würfels) gewonnen wird.

BONHAM-CARTER ET AL (1998:173) transformiert dabei den Ausdruck der
Wahrscheinlichkeit in die logarhitmische Form log e . Wenn nun L() für den Logarithmus
geschrieben wird, ergibt sich für den A-Posteriori-Logarhitmus (das Ergebnis der
Methode) für nur ein evidential theme folgende Gleichung:
L(D¦ B) = L(D) + W +
bei Vorhandensein des Themas oder:
L(D¦ ) = L(D) + W -
bei Nicht-Vorhandensein des Themas. Es wird nun davon gesprochen, dass der A-
Priori-Logarhitmus durch die evidences zum A-Posteriori-Logarhitmus „aktualisiert“
(„updated“) wird. Dies ist nun die logarithmische Form des Bayes Theorem. Wenn zwei
binäre evidential themes (B 1 und B 2 ) gegeben sind, führt das zu vier möglichen
Situationen, in die sie kombiniert sein können:
L(D¦ B 1 n B 2 ) = L(D) + W + +
1 + W 2
L(D¦ 1 n B 2 ) = L(D) + W - +
1 + W 2
L(D¦ B 1 n 2) = L(D) + W + -
1 + W 2
L(D¦ 1 n 2) = L(D) + W - -
1 + W 2
,
,
und
.
Drei oder mehreren evedential themes werden ähnlich kombiniert, indem die
angemessenen weights der Themen zusätzlich addiert werden. Die abschließende
Gleichung, die das Ergebnis der weights of evidence Methode liefert lautet dann:
L(D¦ B 1 n B 2 n B 3 …B n } = L(D) + S W + i .
Wie bereits weiter oben beschrieben ist diese Gleichung in die Computertools integriert,
die sich mit Weights of Evidence befassen.
4 Abschließende Betrachtung
An dieser Stelle werden einige Vor- und Nachteile der Weights of Evidence Methode
angesprochen. Die prinzipiellen Vorteile sind:

1. Die Methode ist objektiv und vermeidet eine subjektive Auswahl der
Gewichtungsfaktoren (weighting factors), wie es zum Beispiel in der „Index
Overlay“ Methode der Fall ist.
2. Verschiedene Kartenmuster können mit einem Modell kombiniert werden, dass
relativ einfach als Computertool bedient werden kann.
3. Inputkarten mit fehlenden Daten (lückenhafte Oberfläche) können in das Modell
eingefügt werden.
Zwei Nachteile der „Weights of Evidence“ Methode sind:
1. Die Kombination der Inputkarten setzt voraus, dass die Karten in Bezug auf ihre
einzelnen Themen unabhängig sind.
2. „Weights of Evidence“ gemeinsam mit anderen datenbasierten Methoden ist nur
in solchen Regionen zu gebrauchen, wo die Ausgangsvariable (in diesem Fall
das Vorhandensein von bekannten Lagerstätten) einigermaßen gut bekannt ist.

Literatur
Arc-WofE User-Guide (1998) http://ntserv.gis.nrcan.gc.ca/wofe/project.htm. Zugriff
22.11.2004.
BONHAM-CARTER, G.F. (1994): Geographic Information Systems for Geoscientists:
Modeling with GIS. New York.
BONHAM-CARTER, G.F., F.P. AGTERBERG & D.F. WRIGHT (1989): Weights of evidence
modeling: a new approach to mapping mineral potential. In: Statistical
Applications in the Earth Sciences. Geological Survey of Canada. Nr. 89-9,
171-183.