Graphsprachen für die Spezifikation von Invarianten bei verteilten ...

6 2. Grundlagen der Ordnungstheorie
Definition 2.4 (Aufsteigende Kettenbedingung). Eine Quasiordnung ⊑ erfüllt die
aufsteigende Kettenbedingung (engl.: Ascending Chain Condition), wenn es für
jede (unendliche) aufsteigende Kette k 1 , k 2 , k 3 , . . . einen Index m gibt mit k i = k i+1
für i ≥ m.
Falls M nicht nur eine Menge sondern sogar ein Monoid ist, das bedeutet, auf
der Menge M ist eine binäre Operation ◦ definiert, die assoziativ ist, das heißt für
alle m 1 , m 2 , m 3 ∈ M gilt:
(m 1 ◦ m 2 ) ◦ m 3 = m 1 ◦ (m 2 ◦ m 3 ),
und für die ein neutrales Element e ∈ M existiert, so dass für alle m ∈ M gilt:
kann man Folgendes definieren:
e ◦ m = m ◦ e = m,
Definition 2.5. Eine Quasiordnung ⊑ auf einem Monoid M heißt links- bzw.
rechts-monoton, falls für alle w, x, y ∈ M gilt:
x ⊑ y =⇒ wx ⊑ wy bzw. x ⊑ y =⇒ xw ⊑ yw.
Ist ⊑ sowohl links- als auch rechts-monoton, so wird ⊑ auch monoton genannt.
2.2 Wohlquasiordnungen
Für diese Arbeit ist vor allem die folgende Klasse von Quasiordnungen von besonderem
Interesse, da die Klasse der regulären Wortsprachen bzw. der erkennbaren
Pfeilsprachen in Bezug auf Wohlquasiordnungen definiert werden können, wie in
den Kapiteln 3 und 4 gezeigt wird.
Definition 2.6 (Wohlquasiordnung). Eine Quasiordnung auf M wird Wohlquasiordnung
(WQO) genannt, wenn für jede unendliche Folge m 1 , m 2 , . . . von Elementen
aus M gilt, dass Indizes i, j existieren, so dass 0 < i < j und m i ⊑ m j
ist.
Außer der soeben vorgestellten gibt es noch weitere Definitionen, die eine
Wohlquasiordnung charakterisieren. Diese sind aber zu der obigen Definition
äquivalent, wie der folgende Satz zeigt:
Satz 2.7. Sei (M, ⊑) eine quasigeordnete Menge, dann sind die folgenden Bedingungen
äquivalent:
1. ⊑ ist eine Wohlquasiordnung.
2. Die aufsteigende Kettenbedingung gilt für abgeschlossene Teilmengen von M
(geordnet durch Mengeninklusion).
3. Jede unendliche Folge von Elementen aus M hat eine unendlich aufsteigende
Teilfolge.
4. Es existieren weder eine unendliche, streng absteigende Folge in M, noch
unendlich viele paarweise unvergleichbare Elemente aus M.