Graphsprachen für die Spezifikation von Invarianten bei verteilten ...

14 3. Wortsprachen
für i < j ist. Bei M(y i ) handelt es sich also um eine unendlich streng
aufsteigende Kette von Teilmengen von Σ ∗ .
Seien u, u ′ , v, v ′ ∈ Σ ∗ mit u ≤ L u ′ und v ≤ L v ′ beliebig gegeben, dann
folgt aus der Monotonie von ≤ L für alle y i : uy i ≤ L u ′ y i und y i v ≤ L y i v ′ .
Nach Definition von ≤ L × ≤ L gilt somit (u, v) ≤ L × ≤ L (u ′ , v ′ ). Da aus
(u, v) ∈ M(y i ) wegen (u, v) ≤ L × ≤ L (u ′ , v ′ ) auch (u ′ , v ′ ) ∈ M(y i ) folgt,
sind alle M(y i ) abgeschlossen bezüglich ≤ L × ≤ L . Damit erhält man eine
unendlich streng aufsteigende Kette von Teilmengen von Σ ∗ , so dass die
Teilmengen abgeschlossen bezüglich ≤ L × ≤ L sind. Daraus folgt aber, dass
≤ L × ≤ L keine Wohlquasiordnung ist. Dies ist ein Widerspruch, denn nach
Voraussetzung ist ≤ L eine Wohlquasiordnung und nach Lemma 2.9 damit
auch ≤ L × ≤ L .
Der folgende Satz, der auf die Arbeiten von Myhill [19] und Nerode [20] zurückgeht,
charakterisiert eine reguläre Sprache L in Bezug auf Kongruenzen von
endlichem Index:
Satz 3.7 (Satz von Myhill-Nerode). Die Sprache L ⊆ Σ ∗ ist regulär genau dann,
wenn L die Vereinigung von Äquivalenzklassen bezüglich einer Kongruenz ∼ auf
Σ ∗ ist, die einen endlichen Index besitzt.
Beweis.
(⇒) Sei M = (S, Σ, δ, s 0 , F ) der Automat, der die Sprache L akzeptiert. Sei
außerdem die Relation ≡ M für Wörter x, y ∈ Σ ∗ wie folgt definiert:
x ≡ M y gdw. ˆδ(s, xv) ∈ F ⇐⇒ ˆδ(s, yv) ∈ F für alle s ∈ S, v ∈ Σ ∗ .
Die Relation ≡ M ist aber eine Verfeinerung der Relation ≈ L . Dies kann wie
folgt gezeigt werden: Seien u, v, x, y ∈ Σ ∗ beliebige Wörter. Angenommen
sei, dass x ≡ M y gelte, dann folgt
uxv ∈ L ⇐⇒ ˆδ(s 0 , uxv) ∈ F ⇐⇒ ˆδ(s, xv) ∈ F ⇐⇒
ˆδ(s, yv) ∈ F ⇐⇒ ˆδ(s 0 , uyv) ∈ F ⇐⇒ uyv ∈ L,
wobei s = ˆδ(s 0 , u) ist. Somit gilt ≡ M ⊆ ≈ L . Daraus folgt
Index(≈ L ) ≤ Index(≡ M )
= Anzahl der Zustände, die von s 0 aus erreichbar sind
≤ |S|
< ∞.
(⇐) Da ≈ L einen endlichen Index besitzt, gilt für die Myhill-Nerode-Äquivalenz
≡ L wegen
≈ L = {(x, y) | ∀v, w ∈ Σ ∗ : vxw ∈ L ⇐⇒ vyw ∈ L} ⊆
{(x, y) | ∀w ∈ Σ ∗ : xw ∈ L ⇐⇒ yw ∈ L} = ≡ L ,
dass der Index ≡ L kleiner als der Index von ≈ L ist. Da ≈ L aber einen
endlichen Index besitzt, hat ≡ L ebenfalls einen endlichen Index. Somit ist L
regulär.