Graphsprachen für die Spezifikation von Invarianten bei verteilten ...

38 5. Graphsprachen
Dann kann der Cospan [G]: ∅ → G ← ∅ durch die Komposition der folgenden
Graphoperationen konstruiert werden:
edge B,2
0 ; edge B,2
2 ; trans 4 ; perm 4 ; fuse 4 ; edge A,2
3 ; perm 5 ; perm 5 ; perm 5 ;
fuse 5 ; perm 4 res 4 ; perm 3 ; fuse 3 ; res 2 ; res 1 .
Im Weiteren soll gezeigt werden, dass durch die gegeben Graphoperationen
alle Cospans der Form c: ∅ → G ←−− inj .
D n für einen beliebigen Graphen G und
beliebiges n ∈ N konstruiert werden können. Der Beweis erfolgt in mehreren
Schritten. Dazu werden die beiden folgenden Lemmata benötigt:
Lemma 5.6. Sei π eine Permutation einer n-elementigen Menge, dann gilt:
1. π kann als Komposition von Zykeln dargestellt werden.
2. π kann als Komposition von Transpositionen dargestellt werden.
Beweis.
1. Siehe [2, Kapitel 6.6].
2. Siehe [24, Kapitel 6.4].
Nach Lemma 5.6 kann jede Permutation π auf die Form
π = (x 1 x 2 ) ; . . . ;(x n−1 x n )
gebracht werden. Daher genügt es nachfolgend zu zeigen, dass mit den in Definition
5.4 vorgestellten Operationen jede Transposition konstruiert werden kann.
Lemma 5.7. Jede Transposition τ = (v i v j ) zweier Knoten v i , v j für 1 ≤ i < j ≤
n kann durch Komposition der Graphoperationen perm n und trans n konstruiert
werden.
Beweis. Es ist
τ = (v i v j )
( )
v1 . . . v
=
i−1 v i v i+1 . . . v j−1 v j v j+1 . . . v n
v 1 . . . v i−1 v j v i+1 . . . v j−1 v i v j+1 . . . v n
( )
v1 . . . v
=
j v j+1 . . . v n
;
v j . . . v n v 1 . . . v j−1
( )
v1 v 2 . . . v j−i v n−i+1 . . . v n
;
v 1 v n−j+i+2 . . . v n v n−j+2 . . . v n−j+i+1
( )
v1 v 2 . . . v n
;
v n v 1 . . . v n−1
( )
v1 v 2 . . . v i+2 v i+3 . . . v n
;
v 1 v n−i . . . v n v 2 . . . v n−i−1
(
)
v 1 . . . v j−1 v j . . . v n
v n−j+2 . . . v n v 1 . . . v n−j+1