Graphsprachen für die Spezifikation von Invarianten bei verteilten ...

12 3. Wortsprachen
ist. Dabei müssen S, Σ endliche Mengen sein.
Die von M akzeptiere Sprache ist
T (M) = {x ∈ Σ ∗ | ˆδ(s 0 , x) ∈ F },
dabei bezeichnet ˆδ die kanonische Erweiterung von δ von Einzelzeichen zu Wörtern,
die wie folgt induktiv definiert ist:
ˆδ(s, ε) := s
ˆδ(s, aw) := δ(ˆδ(s, w), a)
Anschaulich gesprochen, ist ein deterministischer endlicher Automat so aufgebaut,
dass er ein endliches Gedächtnis in Form der Zustände besitzt. Während
der zeichenweisen Verarbeitung eines Wortes findet jeweils ein Zustandswechsel
statt, der lediglich vom derzeitigen Zustand und dem aktuell gelesenem Zeichen
abhängt. Sobald das gesamte Eingabewort verarbeitet wurde, wird geprüft, ob sich
der Automat in einem der Endzustände befindet. Falls dies zutrifft, wird das zuvor
eingelesene Wort akzeptiert, andernfalls wird das Wort abgelehnt. Die Sprache
eines Automaten besteht somit aus allen Wörtern, die vom Automaten akzeptiert
werden. Außerdem sind zwei deterministische endliche Automaten äquivalent
zueinander, falls beide die gleiche Sprache akzeptieren.
Mit Hilfe dieses Automatenmodells lassen sich die regulären Sprachen als die
von deterministischen, endlichen Automaten erkannten Sprachen einführen:
Definition 3.3 (Reguläre Sprache). Eine Sprache L über einem Alphabet Σ heißt
regulär, wenn ein deterministischer endlicher Automat existiert, der die gleiche
Sprache akzeptiert, das heißt es gilt: T (M) = L.
Auf jeder formalen Sprachen lassen sich unter anderem die folgende Quasiordung
und die folgende Äquivalenzrelation definieren:
Definition 3.4 (Myhill-Quasiordnung, Syntaktische Kongruenz). Sei die Sprache
L ⊆ Σ ∗ gegeben. Die Myhill-Quasiordnung ≤ L (relativ zu L) ist folgendermaßen
definiert: Seien u, v, x, y ∈ Σ ∗ Wörter, dann gilt
x ≤ L y gdw. uxv ∈ L =⇒ uyv ∈ L.
Das Infimum der Myhill-Quasiordnung und der inversen Quasiordnung im Teilmengenverband,
also ≤ L ∩ ≤ −1
L , ergibt die syntaktische Kongruenz ≈ L (auf der
Sprache L). Diese ist definiert durch: Seien u, v, x, y ∈ Σ ∗ , dann gilt
x ≈ L y gdw. uxv ∈ L ⇐⇒ uyv ∈ L.
Hieraus kann sofort verifiziert werden, dass die Myhill-Quasiordnung ≤ L die
Axiome einer Quasiordnung und die syntaktische Kongruenz ≈ L die Axiome einer
Kongruenzrelation erfüllen.
Wenn zwei Wörter l, r ∈ Σ ∗ in Relation bezüglich der Myhill-Quasiordnung
(relativ zu L) stehen, es ist also l ≤ L r, sagt man auch, dass L eine Invariante
(bezüglich der Regel l → r) ist. In diesem Kontext sind auch die folgenden
Eigenschaften der Myhill-Quasiordnung von Bedeutung: