1.Zahlen - auf Matthias-Draeger.info

1.Vorlesung MafI II, SoSe 2008, 15.04.2008
Thema: Gruppe, Ringe, Körper
1.Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen: = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Definition: Gegeben sei eine Menge M und eine zweistellige Operation .
(M, ) ist eine Gruppe, wenn gilt:
(1) a,b,c: (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz)
(2) n: a M: a n = a = n a (neutrales Element)
(3) a M: a M: a a = n = a a (inverses Element)
→ es handelt sich um eine Halbgruppe, wenn nur (1) gilt
→ es handelt sich um ein Monoid, wenn (1) und (2) gilt
Wenn überdies gilt:
(4) a,b M: a b = b a (Kommutativgesetz)
dann spricht man von einer kommutativen Gruppe (Abel’sche Gruppe).
Beispiel:
(, +) → Abel’sche Gruppe, da:
n = 0
(neutrales Element)
a
(inverses Element)
abba
(kommutativ)
a b cab c (assoziativ)
(, ·) → keine Gruppe, sondern Monoid, da nur:
n = 1
(neutrales Element)
a · b = b · a (kommutativ)
(a · b) · c = a · (b · c) (assoziativ)
(Einfache) Sätze über Gruppen:
1. Das neutrale Element ist eindeutig.
2. Das inverse Element ist immer eindeutig.
Definition:
Eine Menge (M, , ) mit zwei Operationen und : MM M heißt ein Ring,
wenn folgendes gile:
1. (M, ) ist eine kommutative Gruppe
2. (M, ) erfüllt das Assoziativgesetz (Halbgruppe)
3. ist distributiv über :
(a b) c = (a c) (b c)
a (b c) = (a b) (a c)
• Das neutrale Element bezüglich heißt Nullelement.
• Ein neutrales Element bezüglich , wenn es existiert, heißt Einselement.
• Wenn kommutativ ist, spricht man von einen kommutativen Ring.
Beispiel:
(, +, ·) bilden einen kommutativen Ring.
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Einige einfache Rechenregeln:
1. Verallgemeinerung des Distributivgesetz:
(a b) (c d) = (a c) (a d) (b c) (b d)
2. 0 sei das Nullelement:
a 0 = 0 a = 0 (0 ist ein absorbierendes Element)
3. (- a) b = a (- b) = - (a b)
Bemerkung: Mithilfe von 2. kann man aus 1. und (Def. Ring) 3. schließen,
indem man z.B. d = 0 setzt.
Definition:
Eine Menge (M, , ) mit zwei Operationen und heißt ein Körper, wenn gilt:
1. (M, ) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0
2. M * = M \ {0} (M * , ) ist eine kommutative Gruppe
3. Distributivgesetze (wie Def. Ring 3.)
Beispiele für Körper: (, +, · ) (, +, · ) (, +, · )
rational reell komplex
Die Menge der rationalen Zahlen
= , ,
, … ,4.25,
(a,b) ~ (c,d) ⇔ a · d = b · c
(a,b) und (c,d) stellen dieselbe rationale Zahl dar.
~ ist eine Äquivalenzreation.
Die Äquivalenzklassen von ( \ {0}) bezüglich ~ sind die rationalen Zahlen.
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