Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung - Fakultät für ...

Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Institut für theoretische Physik und Astronomie
Theoretische Physik II
Nichtrelativistische Näherung
der Dirac-Gleichung
Arbeit zum Erwerb des akademischen Grades
Bachelor of Science
von
Vitalij Jungmann
Betreuer: Prof. Dr. Reinhold Rückl
Unterbetreuer: Dr. Thomas Flacke

It appears that the simplest
Hamiltonian for a point-charge
electron satisfying the requirements of
both relativity and the general
transformation theory leads to an
explanation of all the duplexity
phenomena without further
assumption. All the same there is a
great deal of truth in the spinning
electron model, at least as a first
approximation.
Paul Adrien Maurice Dirac

Abstract
Im nichtrelativistischen Limes der Dirac-Gleichung sollten sich die Gesetze der klassischen
Quantenmechanik widerspiegeln und zusätzliche relativistische Korrekturen ableitbar
sein. Nach einer allgemeinen Behandlung der Dirac’schen Gleichung wird die
Herleitung der Pauli-Gleichung vorgenommen, die einer Näherung der Ordnung 1
mc 2
entspricht. Im Anschluss daran, wird die Foldy-Wouthuysen-Transformation an der
Dirac-Gleichung durchgeführt, die deren Hamilton-Operator bis zur geforderten Ordnung
diagonalisiert. Die daraus zusätzlich zu H (0) (Hamilton-Operator der Schrödingergleichung
plus Ruheenergie) erhaltenen relativistischen Korrekturterme im Hamiltonian
können an einem wasserstoffähnlichen System angewandt werden und führen zu
Energieeigenwerten, die die Feinstrukturaufspaltung ergeben.

Vitalij Jungmann
Hollerstaude 1
97440 Schraudenbach
Hiermit versichere ich, dass ich die von mir vorgelegte Arbeit selbstständig verfasst
habe, dass ich die verwendeten Quellen, Internet-Quellen und Hilfsmittel vollständig
angegeben habe und dass ich die Stellen der Arbeit – einschließlich Abbildungen –,
die anderen Werken oder dem Internet im Wortlaut oder dem Sinn nach entnommen
sind, auf jeden Fall unter Angabe der Quelle als Entlehnung kenntlich gemacht habe.
Würzburg, den 11. August 2010
Vitalij Jungmann

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Dirac-Gleichung 2
2.1 Kanonische Darstellung der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Interpretation negativer Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 10
3.1 Näherung nächster Ordnung - Pauli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Foldy-Wouthuysen-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Wasserstoffähnliches System 24
4.1 Energieeigenwerte aus nichtrelativistischer QM . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Relativistische Massenkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3 Darwin-Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Konklusion 31
Abbildungsverzeichnis 32

Einleitung 1
1 Einleitung
Nachdem Schrödinger im Jahre 1926 die nach ihm benannte Schrödingergleichung aufgestellt
hatte, versuchten sich viele Physiker an der Entwicklung einer relativistischen
Variante dieser Darstellung, darunter Oskar Klein und Walter Gordon, denen letztlich
die Herleitung der Klein-Gordon-Gleichung gelang. Diese berücksichtigte jedoch nur
spinlose Teilchen, was Paul Dirac dazu bewog, im Jahre 1928 eine Differentialgleichung
herzuleiten, die analog zur Schrödingergleichung eine Zeitableitung erster Ordnung
enthielt - die Dirac-Gleichung. Sie ermöglichte es Spin-1/2-Teilchen (Fermionen) zu
beschreiben.
Eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der Dirac-Gleichung ist die Möglichkeit,
sie im nichtrelativistischen Grenzfall in Gleichungen der nichtrelativistischen
Quantenmechanik umzuformen. Das heißt es sollte möglich sein die Pauli-Gleichung
mitsamt den relativistischen Korrekturen aus der Dirac-Gleichung abzuleiten. Dabei
stößt man jedoch auf das Problem, dass der Dirac’sche Hamiltonoperator nicht diagonal
ist und deshalb Lösungen positiver Energie mit den Lösungen negativer Energie
mischt. Bei der Herleitung der Pauli-Gleichung wird diese Schwierigkeit insofern
umgangen, als bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten zwei der vier Komponenten der
Dirac’schen Wellenfunktion klein werden und deshalb vernachlässigt werden. Man erhält
demnach eine Gleichung für zweikomponentige Lösungen der Ordnung 1/mc 2 . Der
Überganz von vier auf zweikomponentige Wellenfunktionen bleibt indes etwas obskur,
zumal bei einer nichtrelativistische Näherung höherer Ordnung obiges Argument nicht
ohne weiteres tragbar ist. Daher schlugen L. L. Foldy und S. A. Wouthhuysen “an alternative
method for passing from four- to two-component wave functions in the Dirac
theory“ [1]. Die von ihnen gefundene Transformation erlaubt es, Zustände positiver
Energie von Zuständen negativer Energie sukzessiv zu separieren und daher Korrekturterme
beliebiger Ordnung zu generieren. Man gelangt auf diese Weise diskursiv zu
relativistischen Korrekturen eines in einem Potenzial eingeschlossenen Teilchens - und
nicht zuletzt zur Feinstruktur eines Elektrons im elektrostatischen Zentralpotenzial (z.
B. im Wasserstoffatom).

Dirac-Gleichung 2
2 Dirac-Gleichung
2.1 Kanonische Darstellung der Dirac-Gleichung
Die grundlegende Idee bei der Entwicklung der Dirac-Gleichung bestand in der relativistischen
Verallgemeinerung der Schrödingergleichung für freie Teilchen in der Darstellung:
i ∂Ψ(x) = HΨ(x), (2.1)
∂t
wobei x = x µ , also ein Vierervektor ist und H hermitesch.
Es werden folgende Forderungen an die Gleichung gestellt [2]:
• Sie muss lorentzkovariant sein. Das bedeutet wiederum, dass die räumlichen Ableitungen,
gleich den zeitlichen, linear sein müssen.
• Die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 muss erfüllt sein.
• Es muss ein Viererstrom mit einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte
(nullte Komponente) existieren.
In Anbetracht der ersten beiden Voraussetzungen muss der Hamilton-Operator von der
Form
H = cαp + βmc 2 (2.2)
sein [4], wobei α und β hermitesche Matrizen sind und p = −i∇. Außerdem muss
die Nebenbedingung
(Klein-Gordon-Gleichung) gelten.
− 2 ∂2 Ψ(x)
∂t 2 = ( c 2 p 2 + m 2 0c 4) Ψ(x) (2.3)
Damit ist offensichtlich, dass α i und β keine gewöhnlichen Zahlen sein können, da
keine Mischterme vorkommen. Aus obiger Beziehung lässt sich nun auf die algebraische
Struktur von α i und β schließen:
(α i p i + βm) 2 = β 2 m 2 + (α i ) 2 (p i ) 2 + {α i , β}mp i + 1 2 {αi , α j } i≠j p i p j !
= (p i ) 2 + m 2 . (2.4)
Man sieht hieraus, dass (2.3) nur dann erfüllt ist, wenn die Relationen
gelten 1
{α i , α j } = 2 δ ij 1 , (2.5a)
{α i , β} = 0 , (2.5b)
(α i ) 2 = β 2 = 1 (2.5c)
. Zudem müssen diese Matrizen hermitesch sein, um die Hermitezität des
Hamilton-Operators sicherzustellen. Sie besitzen nach (2.5c) die Eigenwerte ±1.
1 Bei {a, b} handelt es sich um einen Antikommutator.

Dirac-Gleichung 3
Schreibt man die Relation (2.5b) um in
α i = −βα i β
und verwendet die zyklische Invarianz der Spur tr(ab) = tr(ba), so geht hervor, dass
die Spur der Matrizen verschwindet:
tr(α i ) = −tr(βα i β) = −tr(α i β 2 ) = −tr(α i ) = 0 .
Führt man diese Rechnung für β durch, gelangt man zum gleichen Ergebnis, nämlich
tr(β) = 0. Folglich muss die Anzahl positiver und negativer Eigenwerte gleich sein.
Matrizen, die den Forderungen (2.5a)-(2.5b) genügen, sind z. B. (Dirac-Darstellung 2 ):
( ) ( )
α i 0 σ i
1 0
=
, β =
, (2.6)
σ i 0
0 −1
wobei σ 1 , σ 2 und σ 3 die Pauli-Matrizen sind 3 [3].
In Verbindung mit diesen Matrizen lässt sich die Dirac-Gleichung als vierdimensionale
Matrixgleichung darstellen [2]:
i ∂Ψ(x)
∂t
=
4∑ [c ( αp ) ]
+ β ij ijmc 2 Ψ j (x) , i = 1, 2, 3, 4 . (2.7)
j=1
Die Wellenfunktion Ψ(x) ist ein vierdimensionaler Spaltenvektor, den man als Bispinor
bezeichnet. Mit Gleichung (2.7) hat man nun die freie Dirac-Gleichung in kanonischer
Form.
Kontinuitätsgleichung
Analog zur nichtrelativistischen Quantenmechanik ist es auf Grund der Hermitezität
der Matrizen α i und β (α † i = α i, β † = β) möglich, auch für die Dirac-Gleichung eine
positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte zu definieren 4 .
Dazu wird Gleichung (2.7) von links mit Ψ † = (Ψ ∗ 1, Ψ ∗ 2, Ψ ∗ 3, Ψ ∗ 4) multipliziert:
und danach komplex konjugiert:
iΨ † ∂Ψ
∂t = c
i Ψ† α∇Ψ + mc 2 Ψ † βΨ (2.8)
−i ∂Ψ†
∂t Ψ = −c i (∇Ψ† )αΨ + mc 2 Ψ † βΨ . (2.9)
(
( )
)
2 Eine andere mögliche Form hat die Weyl-Darstellung: α i σ i 0
0 −1
=
, β =
( ) ( ) (
0 −σ
)
i −1 0
.
3 Pauli-Matrizen: σ 1 =
0 1
0 −i
1 0
, σ 2 =
, σ 3 =
1 0
i 0
0 −1
, wobei σ 1 σ 2 = iσ 3 . Jede
2 × 2-Matrix kann als Linearkombination der Pauli-Matrizen und der Einheitsmatrix 1 geschrieben
werden.
4 Ψ † Ψ = ∑ i Ψ∗ i Ψ i = ∑ i |Ψ i| 2 0

Dirac-Gleichung 4
Die Differenz der beiden Gleichungen führt zu
und damit zur Kontinuitätsgleichung
∂
∂t (Ψ† Ψ) = −c ( (∇Ψ † )αΨ + Ψ † α∇Ψ ) (2.10)
∂ρ(x)
∂t
+ ∇j(x) = 0 , (2.11)
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j:
ρ ≡ Ψ † Ψ
j ≡ Ψ † caΨ .
(2.12a)
(2.12b)
Zudem folgt, dass die Zustände in völliger Analogie zum nichtrelativistischen Fall wie
folgt normiert werden: ∫
d 3 xΨ † (x)Ψ(x) = 1 . (2.13)
Lösungen für freie Teilchen
Die Lösungen der Dirac-Gleichung ergeben sich mittels des Ansatzes [4]
( φ
Ψ(x) = e
χ)
i(px−Et)/ , (2.14)
wobei φ und χ zweikomponentige Spinoren sind. Setzt man diese Wellengleichung in
(2.7) ein, so erhält man, wie erwartet, die relativistische Energie-Impuls-Beziehung
⎧
⎪⎨ E (+) = +c √ p 2 + m 2 c 2 = +cp 0
E 2 − m 2 c 4 − c 2 p 2 = 0 =⇒
⎪⎩
E (−) = −c √ (2.15)
p 2 + m 2 c 2 = −cp 0
für freie Teilchen. In (2.14) eingesetzt führt dies zu den Lösungen der freien Dirac-
Gleichung [2]:
Ψ (r) (x) =
1
(2π) 3/2 (mc) 1/2
(p 2 + m 2 c 2 ) 1/4 e−iξr(E−px)/) u (r) (p) , ξ r =
{
+1 für r = 1, 2
−1 für r = 3, 4
,
(2.16)
mit
u (1,2) (p) =
u (3,4) (p) =
√ (
p + mc χ
(1,2)
2mc
√
p + mc
2mc
)
σp
p+mc χ(1,2)
( )
σp
p+mc χ(3,4)
χ (3,4)
,
(2.17)

Dirac-Gleichung 5
wobei χ (1,2) und χ (3,4) linear unabhängige zweikomponentige Spinoren sind und E =
c √ p 2 + m 2 c 2 . Offensichtlich hat man es hier mit zwei Arten von Lösungen zu tun, nämlich
einerseits mit Zuständen positiver Energie, die, wie bei der Schrödinger-Gleichung,
als Teilchen-Wellenfunktionen zu interpretieren sind und andererseits mit Zuständen
negativer Energie, deren Existenz zunächst merkwürdig erscheint und einer physikalisch
sinnvollen Erklärung bedarf (s. Kap. 2.3).
Die Lösungen (2.16) enthalten innere Freiheitsgrade, da die Spinoren χ (1,2) und χ (3,4)
noch nicht eindeutig festgelegt sind. Es muss folglich neben dem Hamilton-Operator
H (0) und dem Impulsoperator p ein weiterer Operator existieren, der mit den beiden
Operatoren vertauscht. Man stellt fest, dass der aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik
bekannte Spinoperator
der den Vertauschungsrelationen
˜S = 2 Σ , Σ = (
σ 0
0 σ
)
, (2.18)
[ ˜S i , ˜S j ] = iɛ ijk ˜Sk , i, j, k = 1, 2, 3 (2.19)
genügt, mit H (0) und p kommutiert und deshalb auch für die Dirac-Theorie in Frage
kommt. Die Quantenzahl s folgt aus der Beziehung
˜S 2 Ψ = 2
4 Σ2 Ψ = 4 (1 + 1 + 1)Ψ = 3 4 Ψ ! = s(s + 1)Ψ , (2.20)
nämlich: s = 1 . Das führt zu der Schlussfolgerung, dass die Lösungen der Dirac-
2
Gleichung Spin-1/2-Teilchen beschreiben. Für die Eigenwerte der Projektion des Spins
auf die z-Achse gilt bekanntlich:
˜S z Ψ = m z Ψ , m z = ± 1 2 .
Ist also der Spin parallel bzw. antiparallel zur z-Achse orientiert, dann haben die Spinoren
folgende Form [4]:
(
χ (s= 1 1
2 ) = χ (1,3) =
0)
(
χ (s=− 1 0
2 ) = χ (2,4) = . (2.21)
1)
Kopplung an das elektromagnetische Feld
Bei einem von außen angelegten elektromagnetischen Feld, dargestellt durch ein Viererpotential
A µ = (A 0 , A), das mit einem relativistischen Spin-1/2-Teilchen wechselwirkt,
nimmt man folgende Ersetzung der Operatoren vor 5 [6]:
i ∂ ∂t −→ i ∂ ∂t − eA0 , p −→ p − e c A . (2.22)
5 Man bezeichnet diese Operatorersetzung, die insbesondere aus der klassischen Elektrodynamik
bekannt ist, auch als minimale Kopplung.

Dirac-Gleichung 6
Die Dirac-Gleichung lautet somit:
i ∂Ψ(x)
∂t
=
[cα ( p − e c A) + βmc 2 + eA 0 ]
Ψ(x) , (2.23)
wobei e die Ladung des Teilchens ist, also e = −e 0 für das Elektron.
2.2 Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form
Damit die Dirac-Gleichung in allen Aspekten mit der speziellen Relativitätstheorie
konform ist, muss sie in einer kovarianten Darstellung formuliert werden, d. h. ihre
Form muss unabhängig von der Wahl des Inertialsystems sein (Relativitätsprinzip).
Dazu werden die γ-Matrizen eingeführt [2]:
γ 0 ≡ β
(2.24)
γ i ≡ βα i
Diese erfüllen die Clifford-Algebra
{γ µ , γ ν } = 2g µν 1 , (2.25)
wobei g µν der metrische Tensor ist, und weisen folgende Eigenschaften auf: γ 0 ist hermitesch,
γ i dagegen antihermitesch, also (γ i ) † = −γ i .
Außerdem genügen sie den Relationen
γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 , (γ 0 ) 2 = 1 , (γ i ) 2 = −1 . (2.26)
Daraus lässt sich die Dirac-Gleichung unter Verwendung von
( ) ( )
∂/c∂t
A
p µ = i ∂ µ = i , A µ 0
=
−∇
A
in der Gestalt
( [γ µ p µ − e ) ]
c A µ(x) − mc 2 Ψ(x) = 0 (2.27)
schreiben.

Dirac-Gleichung 7
2.3 Interpretation negativer Lösungen
Es wurde bereits gezeigt, dass neben positiven auch negative Lösungen existieren (s.
Gl. (2.16)). Nun heißt es zu untersuchen, welche Bewandtnis diese haben und welche
Konsequenzen sich daraus ergeben.
Ladungskonjugation
Man kann zeigen, dass für ein Potential A µ ein Zusammenhang zwischen den negativen
Lösungen der Ladung +e und den positiven Lösungen der Ladung −e besteht.
Aus der Dirac-Gleichung einer negativen Lösung Ψ (−) mit der Ladung +e
( [γ µ p µ − e ) ]
c A µ(x) − mc 2 Ψ (−) (x) = 0 (2.28)
soll durch eine bestimmte Symmetrietransformation die Dirac-Gleichung einer positiven
Lösung Ψ (−)
C
mit der Ladung −e
( [γ µ p µ + e ) ]
c A µ(x) − mc 2
Ψ (−)
C
(x) = 0 (2.29)
zu generieren möglich sein. Daher gilt es eine lineare Matrix C zu finden, welche die
Operation
Ψ (−) (x) −→ Ψ (−)
C (x) = CΨ(−)∗ (x) (2.30)
erfüllt [7]. Nach Einsetzen von (2.30) in (2.29), einer Linksmultiplikation mit C −1 und
anschließender komplexen Konjugation erhält man unter der Bedingung
C −1 γ µ C = −γ µ∗ = −γ µT , C 2 = 1 (2.31)
Gleichung (2.28). Somit folgt schließlich unter Ausnutzung der Eigenschaften von γ -
Matrizen 6 C = iγ 2 . (2.32)
Multipliziert man wiederum die Eigenwertgleichung des negativen Zustandes Ψ (−)
[
cα
(
p −
e
c A) + eA 0 + βm 0 c 2] Ψ (−) (x) = −|E|Ψ (−) (x) (2.33)
von links mit C und wendet eine komplexe Konjugation an -
[ ( e cα p +
c A) − eA 0 + βm 0 c 2] Ψ (−)
C
(x) = +|E|Ψ(−)
C
(x) , (2.34)
so ist es evident, dass Ψ (−)
C
de facto eine Lösung positiver Energie darstellt. Demnach
kommt man zu dem Schluss, dass wenn Ψ (+) einer positiven Lösung der Dirac-Gleichung
entspricht und damit die Bewegung eines Fermions der Ladung +e beschreibt, dann
stellt Ψ (−)
C
die Ladungskonjugierte der negativen Lösung dar und beschreibt die Bewegung
eines Antifermions der Ladung −e.
6 γ 0T = γ 0 , γ 1T = −γ 1 , γ 2T = γ 2 , γ 3T = −γ 3 .

Dirac-Gleichung 8
Interpretation negativer Lösungen - Löchertheorie
Dirac selbst lieferte die erste “brauchbare“ Erklärung zu den Zuständen negativer
Energie und verwendete einen Kunstgriff, um das daher herrührende Problem einer
Strahlungskatastrophe zu umgehen. Auf Grund des Vorhandenseins eines negativen
Energiekontinuums wäre ein Teilchen in der Lage, ununterbrochen unter Emission von
Photonen von einem Zustand positiver Energie zu immer tieferen Zuständen negativer
Energie zu springen (s. Abb. 1) und unendlich viel Energie abzustrahlen. Dieses Phänomen
wird jedoch in der Realität nicht beobachtet. Aus diesem Grund nimmt man
an, alle negativen Zustände seien von Elektronen besetzt und bilden einen sogenannten
Dirac-See, der das Vakuum darstellt (Abb. 2). Das Pauli-Prinzip verhindert, dass ein
Zustand von zwei oder mehr Fermionen besetzt wird, sodass dieser Vakuumzustand
stabil ist. Zudem konstatierte Dirac, dass die von diesen Elektronen erzeugte unendliche
Ladung „keine Felder erzeugt, sondern dass nur dasjenige elektrostatische Feld
existiert, das von Abweichungen der Besetzung der Zustände von dieser Normalbesetzung
des physikalischen Vakuums herrührt“ [7].
Abb. 1: Strahlungskatastrophe
Abb. 2: Darstellung des Dirac-Sees
Diese Interpretation führt zu weiteren anschaulichen physikalischen Konsequenzen.
Zum Beispiel kann ein Elektron negativer Energie durch Absorption von Strahlung
in einen Zustand positiver Energie übergehen (Abb. 3). Dadurch entsteht ein “Loch“
im negativen Energiekontinuum 7 , das auf die Abwesenheit eines Elektrons der Ladung
+e und negative Energie weist. Relativ zum Vakuum beobachtet man jedoch ein Teilchen
der Ladung −e und einer negativen Energie (Positron). Hiermit hat man eine
Erklärung für den Paarbildungseffekt 8 . Umgekehrt kann ein Elektron unter Aussendung
von Strahlung dieses Loch wieder auffüllen (s. Abb. 4), wodurch seine Existenz im
7 Daher auch die Bezeichnung Löchertheorie
8 Tatsächlich tritt die Elektron-Positron-Paarbildung erst durch die Wechselwirkung des Photons
mit einem elektrischen Feld auf.

Dirac-Gleichung 9
Dirac-See nicht mehr nachweisbar wird. Dieses Phänomen bezeichnet man als Elektron-
Positron-Annihilation.
Abb. 3: Darstellung der Paarbildung
Abb. 4: e − - e + - Annihilation
Zu beachten ist jedoch, dass das Ladungsvorzeichen in der Dirac-Theorie nicht ausgezeichnet
ist, dass man also die Ladung des Positrons −e als Teilchenladung und die
Ladung des Elektrons +e als Antiteilchenladung ansehen könnte.
Ein großer Wert dieses Modells liegt insbesondere in der ersten konkreten, wenn auch
etwas naiven, Beschreibung des Vakuums, das nicht einfach durch eine vollkommene
“Leere“ identifiziert wird, sondern mit einer inneren, modifizierbaren Struktur versehen
ist [2]. Dies lässt sich über die Wechselwirkung des elektromagnetischen Feldes mit
den Elektronen des Dirac-Sees, was sich durch die sogenannte Vakuumpolarisation 9
äußert, feststellen .
Die schwerwiegendsten Schwachstellen dieser Interpretation sind die oben erwähnte
unendlich hohe Ladung und damit eine unendlich hohe negative Energie des Grundzustands
des Vakuums und die Asymmetrie zwischen dem Elektron und dem Positron
[5]. Diese Mängel werden erst durch die Quantenfeldtheorie behoben.
9 Ladungsverschiebung des Vakuums (zur Vakuumpolarisation s. z. B. [8])

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 10
3 Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung
Eine sehr wichtige Anforderung an eine relativistische Theorie besteht in der Ableitbarkeit
klassischer Gesetze im Falle v ≪ 1. Mit dieser Forderung ist auch die Diracc
Gleichung konfrontiert und es gilt zu prüfen, ob sie im nichtrelativistischen Limes auf
Gleichungen der klassischen Quantenmechanik führt und eine Methode zu finden, die
es erlaubt mit Hilfe einer Transformation den Hamiltonoperator systematisch in beliebigen
Ordnungen, zwecks relativistischer Korrekturen, zu diagonalisieren 10 .
3.1 Näherung nächster Ordnung - Pauli-Gleichung
Für die Herleitung von Termen nächster Ordnung geht man im Allgemeinen von der
an das elektromagnetische Feld gekoppelten kanonischen Dirac-Gleichung (2.23) aus:
i ∂Ψ(x)
∂t
=
[cα ( p − e c A) + βmc 2 + eA 0 ]
Ψ(x) . (3.35)
Zur weiteren Betrachtung wird der vierkomponentige Spinor in zwei zweikomponentige
Spinoren zerlegt
( φ
Ψ =
χ)
, φ =
(
φ1
φ 2
)
, χ =
Da in der nichtrelativistischen Näherung die Energie ε ≈ mc 2 , kann der exponentielle
Anteil der Wellenfunktion exp[−iεt/] durch exp[−imc 2 t/] angenähert werden, sodass
man schreiben kann
Ψ(x, t) =
(
χ1
χ 2
)
( ) φ(x)
e −imc2t/ . (3.36)
χ(x)
Setzt man (3.36) in die Dirac-Gleichung (3.35) ein, so ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
( ∂ i
∂t − eA0) φ = cσ ( p − e c A) χ
( ∂ i
∂t − eA0 + 2mc 2) χ = cσ ( p − e c A) φ .
.
(3.37a)
(3.37b)
Der Term 2mc 2 χ in (3.37b) ist viel größer als eA 0 χ und ˙χ , weshalb man diese in
nächster Näherung vernachlässigen kann [9]. Durch Umformen ergibt sich also
χ = 1
2mc σ( p − e c A) φ . (3.38)
10 Die Voraussetzung zur vollständigen Entkopplung der negativen und positiven Zustände im Sinne
der Ein-Teilchen-Theorie besteht darin, den geraden Anteil des betreffenden Operators vom ungeraden
zu separieren, was einer Diagonalisierung desselben gleichkommt.

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 11
Diese Gleichung gibt das Verhältnis zwischen φ und χ wieder. Es ist also evident,
dass hierbei φ die große Komponente und χ die kleine Komponente ist 11 . In (3.37a)
eingesetzt gibt dies
( ∂ i
∂t − eA0) φ = 1 [
σ ( p − e 2mc c A)] 2
φ . (3.39)
Zur weiteren Umformung dieser Gleichung kann die Identität
(σa)(σb) = ab + iσ(a × b) , a = b = p − e c A (3.40)
verwendet werden. Das Vektorprodukt a × b verschwindet in diesem Fall nicht, weil p
und A nicht kommutabel sind:
( e p −
c A) × ( p − e c A) φ = ie ( ) ie( ) ie
∇ × A + A × ∇ φ = ∇ × A φ =
c
c
c Bφ .
Unter Ausnutzung dieser Ergebnisse erhält man
[
σ ( p − e c A)] 2
φ =
[ (p
−
e
c A) 2
−
e
c σB ]
φ (3.41)
und damit schließlich die aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik bekannte
Pauli-Gleichung für den Pauli-Spinor φ 12
i ∂φ [ 1
∂t = ( e p −
2m c A) 2
+ eA 0 − e ]
2mc σB φ . (3.42)
Das Beachtliche an diesem Ergebnis ist, dass der nichtrelativistische Limes der Dirac-
Gleichung per se auf den Ausdruck für die Wechselwirkung zwischen dem äußeren Magnetfeld
und dem magnetischen Moment des Elektrons - MB mit dem entsprechenden
gyromagnetischen Verhältnis
M =
e
2mc σ =
eg
2mc S (3.43)
führt, was in der klassischen Theorie nicht der Fall ist. Der Landé-Faktor g ist hier
exakt 2 13 .
11 Der Ausdruck in der Klammer von (3.38) ist gemäß (2.22) eine Impulsgröße, sodass also im
klassischen Fall eines freien Teilchens stattdessen mv stände und χ deshalb von der Größenordnung
O( v c
)φ ist.
12 Vgl. [10]
13 Laut Experiment ist der Wert g = 2 nicht exakt richtig. Erst die Quantenelektrodynamik liefert
die genaue Beschreibung: g = 2(1+ α 2π
+...), wobei α = 1/137 die Feinstrukturkonstante ist. Bei g = 2
handelt es sich also um den Term nullter Ordnung [10].

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 12
3.2 Foldy-Wouthuysen-Transformation
Die Pauli-Theorie liefert eine Gleichung mit bis zu O( 1
mc 2 ) korrekten Termen, deren
positive und negative Lösungen vollständig entkoppelt sind, was sich dadurch äußert,
dass der Hamiltonoperator H diagonal ist. Gesucht ist jedoch eine Methode, die H
systematisch in beliebig höheren Ordnungen diagonalisiert und dadurch höhere relativistische
Korrekturen generiert. Hierfür eignet sich die nach L. L. Foldy und S. A.
Wouthuysen benannte Foldy-Wouthuysen-Transformation (FW-Transformation). 14
Der Dirac‘sche Hamiltonoperator enthält zwei Arten von Operatoren - ungerade und
gerade Operatoren. Ein ungerader Operator ist eine Matrix, die nur solche Matrixelemente
besitzt, die große und kleine Komponenten der Wellenfunktion koppeln (z.B. α i
und γ 5 = −iα 1 α 2 α 3 ), d. h. bei der Einwirkung auf positive bzw. negative Lösungen
Ψ (±) erhält man OΨ (±) = Ψ ′(∓) . Ein gerader Operator (z. B. 1, β und σ) dagegen
enthält keine solchen Matrixelemente, sodass gilt: OΨ (±)
= Ψ ′(±) [1]. Mit der FW-
Transformation gelingt es den ungeraden Operator α in der gewünschten Ordnung von
1
mc 2
sukzessive zu eliminieren. Dazu verwendet man eine geeignete unitäre Transformation
in der Darstellung [1]
Aus der Dirac-Gleichung folgt dann
Ψ ′ = e iS Ψ bzw. Ψ = e −iS Ψ ′ . (3.44)
i∂ t Ψ = i∂ t e −iS Ψ ′ = i ( ∂ t e −iS) Ψ ′ + ie −iS ∂ t Ψ ′ !
= HΨ = He −iS Ψ ′ (3.45)
und daraus durch Umformung die Bewegungsgleichung für Ψ ′
ie −iS ∂ t Ψ ′ = ( He −iS − i∂ t e −iS) Ψ ′
i∂ t Ψ ′ = e iS( He −iS − i∂ t e −iS) Ψ ′
i∂ t Ψ ′ = ( e iS( H − i∂ t
)
e
−iS ) Ψ ′ ≡ H ′ Ψ ′ .
(3.46)
Der Hamiltonian der Foldy-Wouthuysen-Transformation hat ergo die Form
H ′ = e iS( H − i∂ t
)
e −iS , (3.47)
wobei die zeitliche Ableitung nur auf e −iS wirkt.
Nun lässt sich der Hamiltonoperator bei vorgegebenem Viererpotential A µ
einen geraden (even) Term ɛ und einen ungeraden (odd) Term ω zerlegen:
stets in
H = βmc 2 + ɛ + ω , (3.48)
14 Es ist jedoch zu beachten, dass eine exakte Diagonalisierung der allgemeinen Dirac-Gleichung
(2.23) wegen den Effekten der Vakuumpolarisation nicht möglich ist. Vollkommene Diagonalisierung
lässt sich nur für ein freies Teilchen durchführen, z. B. mittels der Feshbach-Villars-Transformation.

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 13
mit
wobei die Vertauschung mit β wie folgt aussieht:
Für den Operator S wählen wir den Ansatz
ɛ = eA 0 und ω = cα ( p − e c A) , (3.49)
βɛ = ɛβ , βω = −ωβ . (3.50)
S = −iβω/2mc 2 , (3.51)
sodass es möglich ist die Transformation (3.44) in beliebigen Ordnungen von 1 zu
mc 2
entwickeln und eine zufriedenstellende Separation zwischen den Zuständen positiver
und negativer Energie zu erzielen [9]. Zur Berechnung von H ′ führen wir die Baker-
Hausdorff-Entwicklung 15 bis zur gewünschten Ordnung durch
H ′ = e iS( H − i ∂ t
)
e
−iS
= e iS He −iS − i e iS ∂ t e −iS
= H + [iS, H] + 1 2 [iS, [iS, H]] + 1 6 [iS, [iS, [iS, H]]] + 1 [iS, [iS, [iS, [iS, H]]]]
2
− i∂ t − [iS, i∂ t ] − 1 2 [iS, [iS, i∂ t]] − 1 6 [iS, [iS, [iS, i∂ (3.52)
t]]]
= H + [iS, H] + i2 2 [S, [S, H]] + i3 i4
[S, [S, [S, H]]] + [S, [S, [S, [S, H]]]]
6 24
− Ṡ − i 2 [S, Ṡ] − i2 6 [S, [S, Ṡ]] ,
wobei im letzten Schritt verwendet wurde, dass [iS, i∂ t ] = Ṡ.
Im folgenden werden die einzelnen Terme von (3.52) explizit berechnet.
2. Term von H ′ :
i[S, H] = i[− iβω
2mc 2 , βmc2 + ɛ + ω]
= 1
2mc 2 (
[βω, β]mc 2 + [βω, ɛ] + [βω, ω] ) (3.53)
Die Kommutatoren berechnen sich unter Bezugnahme von (3.50) zu
[βω, β] = βωβ − ββω = −2ω
[βω, ɛ] = β[ω, ɛ]
[βω, ω] = βωω − ωβω = 2βω 2 ,
(3.54)
woraus wir für den zweiten Term
i[S, H] = −ω +
15 e A Be −A = B + [A, B] + ... + 1 n!
[A, [A, ..., [A, B]...]] + ...
β βω2
[ω, ɛ] + (3.55)
2mc2 mc 2

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 14
erhalten. Der Ausdruck −ω aus (3.55) hebt das ω aus H auf, wodurch der ungerade
Anteil des Hamiltonoperators dieser Ordnung nicht mehr auftritt. Zwar ist [ω, ɛ]
2mc 2
ungerade, jedoch um die Ordnung 1 kleiner als der ursprüngliche ungerade Ausdruck
mc 2
in (3.48). Der dritte Ausdruck ist gerade 16 .
3. Term von H ′ :
i 2 2 [S, [S, H]] = i [S, i[S, H]]
2
= i iβω
[−
2 2mc , −ω +
2
β
2mc
= 1
4mc 2 (
[βω, −ω] + [βω,
1
[ω, ɛ] +
2
mc 2 ω2 ]
β
1
[ω, ɛ]] +
2mc2 mc βω, 2 βω2 ]
= − βω2
2mc 2 + 1
8m 2 c 4 (
βωβ[ω, ɛ] − β[ω, ɛ]βω
)
+
1
4m 2 c 4 (
βωβω 2 − βω 2 βω )
= − βω2
2mc 2 + 1
8m 2 c 4 (
βωβ[ω, ɛ] + [ω, ɛ]ω
)
+
1
4m 2 c 4 (
−β 2 ω 3 − β 2 ω 3)
= − βω2
2mc − 1 [ω, [ω, ɛ]] −
ω3
2 8m 2 c4 2m 2 c 4 (3.56)
)
β
Hier sind die ersten beiden Terme gerade und der dritte ungerade. Dieser ist um die
Ordnung
1
m 2 c 4
4. Term von H ′
kleiner als der ursprüngliche.
i 3 6 [S, [S, [S, H]]] = i 3 [S, i2 [S, [S, H]]
2
= i iβω
[−
2 2mc , − iβω2
2 2mc − 1
1
[ω, [ω, ɛ]] − 2 8m 2 c4 m 2 c 4 ω3
= 1 (
− 1
6mc 2 2mc [βω, 2 βω2 ] − 1
1
[βω, [ω, [ω, ɛ]]] −
8m 2 c4 2m 2 c [βω, 4 ω3 ]
= ω3
6m 2 c 4 − 1
48m 3 c 6 [ω, [ω, [ω, ɛ]]] − 1
12m 3 c 6 (
βω 4 − ω 3 βω )
= ω3
6m 2 c 4 −
= ω3
6m 2 c 4 −
βω4
6m 3 c 6 −
β [ω, [ω, [ω, ɛ]]]
48m 3 c6 βω4
6m 3 c − O( 1 )
6 m 3 c 6
)
(3.57)
Der erste und dritte Term sind ungerade, der zweite gerade. Es reicht aus, die ungeraden
1
Operatoren bis zur Ordnung
m 2 c 4
zu lassen [5].
anzuführen und damit den dritten Term außer Acht
16 Das Produkt von zwei geraden oder ungeraden Matrizen ist gerade, während das Produkt von
einer geraden mit einer ungeraden Matrix ungerade ist.

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 15
5. Term von H ′
i 4
24 [S, [S, [S, [S, H]]]] = i 4 [S, i3 [S, [S, [S, H]]]]
6
= i iβω
[−
4 2mc , ω 3
2 6m 2 c − 4
= 1
8mc 2 ( 1
=
1
48m 3 c 6 2βω4 −
βω4
6m 3 c 6 ]
6m 2 c [βω, 4 ω3 ] − 1 )
6m 3 c [βω, 6 ω4 ]
1 (
βω 5 − ω 4 βω )
48m 4 c 8
= βω4
24m 3 c 4 + O( 1
m 4 c 8 )
(3.58)
Hierbei wurden wegen des weggelassenen dritten Terms in (3.57) die geraden Terme
oberhalb der Ordnung
1
m 3 c 6
automatisch nicht berücksichtigt.
6. Term von H ′ −Ṡ
=
iβ ˙ω
2mc 2 (3.59)
7. Term von H ′ − i 2 [S, Ṡ] = −i 2 [ iβω iβ ˙ω
, −
2mc2 2mc ] 2
= i [βω, β ˙ω]
8m 2 c4 = i ( )
(3.60)
βωβ ˙ω − β ˙ωβω
8m 2 c 4
= − i
8m 2 c [ω, ˙ω] 4
8. Term von H ′ − i2 6 [S, [S, Ṡ]] = i 3 [S, − i [S, Ṡ]]
2
= i 3 [ iβω
2mc , − i [ω, ˙ω]]
2 8m 2 c4 = − i
(3.61)
[βω, [ω, ˙ω]]
48m 3 c6 = − iβ
48m 3 c [ω, [ω, ˙ω]] 6
Dieser Term ist ungerade und von der Ordnung 1
m 3 c 6 , weshalb wir ihn ignorieren werden.

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 16
Schließlich ergibt sich für H ′ :
H ′ = βmc 2 + ɛ + ω − ω +
−
ω3
2m 2 c 4 +
ω3
6m 2 c 4 −
β βω2
[ω, ɛ] +
2mc2 mc − βω2
2
βω4
6m 3 c + βω4 iβ ˙ω
+ 6 24m 3 c4 2mc − 2
= βmc 2 + ɛ + βω2
2mc − 1 [ω, [ω, ɛ]] −
i
2 8m 2 c4 + β iβ ˙ω
[ω, ɛ] +
2mc2 2mc − 2
3m 2 c 4
= βmc 2 + ɛ + βω2
2mc − 1 [ω, [ω, ɛ] + i ˙ω] −
βω4
2 8m 2 c4 + β iβ ˙ω
[ω, ɛ] +
2mc2 2mc −
ω3
.
2 3m 2 c 4
ω3
2mc − 1 [ω, [ω, ɛ]]
2 8m 2 c4 i [ω, ˙ω]
8m 2 c4 [ω, ˙ω] −
βω4
8m 2 c4 8m 3 c 6
8m 3 c 6
(3.62)
Man kann jetzt H ′ ebenfalls in gerade und ungerade Operatoren aufteilen. Dazu fasst
man ɛ und alle geraden Potenzen von ω zum neuen geraden Term ɛ ′ , alle ungeraden
Potenzen zum neuen ungeraden Term ω ′ zusammen. Der neue Hamiltonoperator H ′
lautet somit
wobei
H ′ = βmc 2 + ɛ ′ + ω ′ , (3.63)
ɛ ′ = βmc 2 + ɛ + βω2
2mc − 1 [ω, [ω, ɛ] + i ˙ω] −
βω4
2 8m 2 c4 8m 3 c 6
ω ′ =
β iβ ˙ω
[ω, ɛ] +
2mc2 2mc −
ω3
.
2 3m 2 c 4
(3.64)
Die ungeraden Terme sind jetzt mindestens von der Ordnung 1
mc 2 . Zur weiteren Reduzierung
der ungeraden Anteile, also der Erhöhung ihrer Ordnung in 1
mc 2 , nehmen wir
eine zweite FW-Transformation vor. Wir verwenden den gleichen Ansatz
( )
H ′′ = e iS′ H ′ − i∂ t e
−iS ′ , (3.65)
mit
S ′ = − iβ
2mc 2 ω′ = − iβ ( β iβ ˙ω
)
[ω, ɛ] +
2mc 2 2mc2 2mc −
ω3
(3.66)
2 3m 2 c 4
und führen die Baker-Hausdorff-Entwicklung wieder bis zur gewünschten Ordnung in
S ′ durch:
( )
H ′′ = e iS′ H ′ − i∂ t e
−iS ′
= H ′ + [iS ′ , H ′ ] + 1 2 [iS′ , [iS ′ , H ′ ]] − [iS ′ , i∂ t ]
(3.67)
= H ′ + [iS ′ , H ′ ] + i2 2 [S′ , [S ′ , H ′ ]] − ˙ S ′ .
Unter Verwendung von (3.54) lassen sich die einzelnen Kommutatoren wie bei H ′ sukzessiv
berechnen.

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 17
2. Term von H ′′ i[S ′ , H ′ ] = i[− iβω′
2mc , 2 βmc2 + ɛ ′ + ω ′ ]
= 1 (
[βω ′ , β]mc 2 + [βω ′ , ɛ ′ ] + [βω ′ , ω ′ ] )
(3.68)
2mc 2
= −ω ′ + β
2mc 2 [ω′ , ɛ ′ ] + βω′2
mc 2
Der letzte Ausdruck ist gerade und mindestens von der Ordnung
1
m 2 c 4 .
3. Term von H ′′
Hierbei finden wir einen geraden Term mit O ( 1
m 3 c 6 )
vor, alle anderen sind von höherer
Ordnung. Deshalb nehmen wir von H ′ nur den Term βmc 2 :
i 2 2 [S′ , [S ′ , H ′ ]] = i2 2 [S′ , [S ′ , βmc 2 ]] + O ( 1
m 4 c 8 )
= 1 2 [ βω′
2mc 2 , [ βω′
2mc 2 , βmc2 ]] + O ( 1
m 4 c 8 )
= 1
8m 2 c 4 [βω′ , −2ω ′ mc 2 ] + O ( 1
m 4 c 8 )
= − 1
4mc 2 [βω′ , ω ′ ] + O ( 1
m 4 c 8 )
= − βω′2
2mc 2 + O( 1
m 4 c 8 )
.
(3.69)
4. Term von H ′′ − ˙ S ′ = iβ ˙ω ′
2mc 2 (3.70)
Wir fassen (3.68 - 3.70) zusammen und erhalten somit nach der zweiten FW-
Transformation
H ′′ = βmc 2 + ɛ ′ + βω′2
2mc + β
2 2mc 2 [ω′ , ɛ ′ ] + iβ ˙ω ′
2mc 2
= βmc 2 + ɛ ′′ + ω ′′ .
(3.71)
1
In diesem Hamiltonian sind die ungeraden Terme von der Ordnung und höher.
m 2 c 4
Um nun alle ungeraden Ausdrücke mit O ( )
1
m 2 c zu eliminieren, wenden wir eine weitere
4
Transformation an und setzen
S ′′ = − iβ
2mc 2 ω′′ = − iβ ( β
2mc 2 2mc 2 [ω′ , ɛ ′ ] + iβ ˙ω ′ )
2mc 2
. (3.72)
Dabei müssen wir nur den ersten Term von H ′′ berücksichtigen, da alle anderen geraden
mindestens von der Ordnung
1
m 4 c 8 und alle ungeraden von der Ordnung
1
m 3 c 6
sind. Die

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 18
Rechnung erfolgt analog zur ersten Transformation:
H ′′′ = e iS′′ (
H ′′ − i∂ t
)
e
−iS ′′
= H ′′ + [iS ′′ , H ′′ ]
= H ′′ + [iS ′′ , βmc 2 ] + O ( 1
m 3 c 6 )
= H ′′ + 1 2 [βω′′ , β] + O ( 1
m 3 c 6 )
= βmc 2 + ɛ ′ + ω ′′ − ω ′′ + βω′2
2mc 2 + O( 1
m 3 c 6 )
= βmc 2 + ɛ ′ − βω′2
2mc 2 + O( 1
m 3 c 6 )
.
(3.73)
Setzen wir nun die Ausdrücke für ɛ ′ und ω ′ aus (3.64) ein, so erhalten wir
H ′′′ = βmc 2 + ɛ + βω2
2mc − 1
2 8m 2 c
−
β ( β iβ ˙ω
[ω, ɛ] +
2mc 2 2mc2 2mc − 2
Die Klammer in der zweiten Zeile berechnet sich zu
β
( β iβ ˙ω
[ω, ɛ] +
2mc 2 2mc2 2mc − 2
+ β iβ ˙ω
[ω, ɛ] ·
mc2 2mc − 2
ω3
3m 2 c 4 ) 2
=
β
mc [ω, ɛ] · ω 3 iβ ˙ω
− 2 3m 2 c4 mc · 2
4
[ω, [ω, ɛ] + i ˙ω] −
βω4
8m 3 c 6
) ω3 2
(3.74)
.
3m 2 c 4
β
[( β
) 2 ( iβ ˙ω
) 2 ( ω
3 ) 2
2mc 2 2mc [ω, ɛ] + + 2 2mc 2 3m 2 c 4
ω 3 ]
.
3m 2 c 4
(3.75)
Da die Terme 3, 5 und 6 von einer höheren Ordnung sind als
1
m 3 c 6 , werden sie weggelassen.
Demzufolge ergibt sich für (3.74)
H ′′′ = βmc 2 + ɛ + βω2
2mc − 1
2 8m 2 c
−
β
8m 3 c 6 [ω, ɛ]2 + 2 ˙ω 2
8m 3 c 6 +
4
[ω, [ω, ɛ] + i ˙ω] −
βω4
8m 3 c 6
iβ
(3.76)
4m 3 c [ω, ɛ] ˙ω . 6
Damit haben wir einen Hamiltonoperator, der nur aus geraden Termen besteht und
unsere Forderung erfüllt, einen Hamiltonoperator abzuleiten, der positive Zustände mit
1
den negativen bis zur Ordnung nicht mischt.
m 2 c 4
Zur endgültigen Darstellung von H ′′′ resubstituieren wir ferner ɛ und ω mit (3.49) und
werten die daraus resultierenden Terme aus.
3. Term von H ′′′
Für den dritten Term haben wir
βω 2
2mc 2 =
β
2mc 2 (
cα(p −
e
c A)) 2
=
β
2m αi α j (p − e c A)i (p − e c A)j , (3.77)

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 19
wobei unter Verwendung der γ-Matrizen-Algebra (s. 2.2) gilt [5]:
mit der Matrix
Hiermit erhalten wir
α i α j = α i β 2 α j = −βα i βα j = −γ i γ j = − 1 (
{γ i , γ j } + [γ i , γ j ] )
2
(3.78)
= −g ij + iɛ ijk Σ k = δ ij + iɛ ijk Σ k
Σ k =
(
)
σ k 0
0 σ k
βω 2
2mc = β
2 2m (δij + iɛ ijk Σ k )(p − e c A)i (p − e c A)j
= β ( e (p −
2m c A)2 + iɛ ijk Σ k (p i p j − ep i A j − eA i p j + e2
c 2 Ai A j ) )
= β ( e (p −
2m c A)2 − i e c ɛijk Σ k (p i A j + A i p j ) )
= β ( e (p −
2m
= β
2m
c A)2 − i e c ɛijk Σ k( (p i A j ) + A j p i + A i p j))
(
(p −
e
c A)2 − e c ɛijk Σ k (∂ i A j ) )
= β
2m (p − e c A)2 − eβ Σ(∇ × A)
2mc
= β
2m (p − e c A)2 − eβ
.
2mc Σ · B . (3.79)
Dabei haben wir die Produktregel p i A j = (p i A j ) + A j p i und die asymmetrische Eigenschaft
des ɛ ijk -Tensors (ɛ ijk = −ɛ jik ) ausgenutzt.
4. Term von H ′′′
Zur Auswertung des vierten Terms berechnen wir zunächst den inneren Kommutator
[ω, ɛ] sowie den Ausdruck i ˙ω:
[ω, ɛ] + i ˙ω = [cα i (p i − e c Ai ), eA 0 ] + i∂ t
(
cα i (p i − e c Ai ) )
= c ( α i (p i − e c Ai )eA 0 − eA 0 α i (p i − e c Ai ) − i e c αi ∂ t A i)
= c ( eα i p i A 0 − e2
c αi A i A 0 − eA 0 α i p i + e2
c A0 α i A i − i e c αi ∂ t A i)
= c ( eα i (p i A 0 ) + eα i A 0 p i − eA 0 α i p i − i e c αi ∂ t A i)
(3.80)
= −ie cα i( (∂ i A 0 ) + 1 c ∂ tA i)
= ie cα i E i = iec αE .
Für das elektrische Feld E haben wir die Definition aus der Elektrodynamik E =
−∇A 0 − ∂ A benutzt. Durch Einsetzen des Ergebnisses von (3.80) berechnet sich der
c∂t

= − ic∇E + cΣ · ∇ × E − 2icΣ · E × (p − e c A) . (3.81)
Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 20
Kommutator in Term 4 zu
[ω, αE] = c ( α i (p i − e c Ai )α j E j − α j E j α i (p i − e c Ai ) )
= c ( α i α j (p i − e c Ai )E j − α j α i E j (p i − e c Ai ) )
= c ( δ ij (p i − e c Ai )E j + iɛ ijk Σ k (p i − e c Ai )E j
− δ ji (p i − e c Ai )E j − iɛ jik Σ k E j (p i − e c Ai ) )
= c ( p i E i − e c Ai E i − E i p i + e c Ei A i
+ iɛ ijk Σ k (p i − e c Ai )E j − iɛ jik Σ k E j (p i − e c Ai ) )
= c ( (p i E i ) + E i p i − E i p i + iɛ ijk Σ k (p i − e c Ai )E j + iɛ ijk Σ k E j (p i − e c Ai ) )
= c ( (p i E i ) + iɛ ijk Σ k (p i E j ) + iɛ ijk Σ k E j p i
− iɛ ijk Σ k E j e c Ai + iɛ ijk Σ k E j (p i − e c Ai ) )
= c ( (p i E i ) + iɛ ijk Σ k (p i E j ) + 2iɛ ijk Σ k E j (p i − e c Ai ) )
Daraus ergibt sich schließlich für den 4. Term von H ′′′
5. Term von H ′′′
−
ie [ω, [ω, ɛ] + i ˙ω] = −
e2 ie2
∇E −
8m 2 c4 8m 2 c2 8m 2 c Σ · ∇ × E
2
−
e
4m 2 c Σ · E × (p − e 2 c A)) .
(3.82)
Der fünfte Term lautet unter Verwendung des Ergebnisses von (3.79)
− βω4
8m 3 c 6 = −
β
8m 3 c 2 α4 (p − e c A)4 −
β
8m 3 c 2 (
(p −
e
c A)2 − eΣ · B ) 2
= − β
8m 3 c 2 (
(p −
e
c A)4 + e 2 2 B 2 − 2(p − e c A)2 eΣ · B ) .
Wir betrachten den dritten Ausdruck in der Klammer auf der rechten Seite:
(3.83)
− 2(p − e c A)2 eΣ · B =
= − 2e ( p i p j − e c pi A j − e c Ai p j + e2
c 2 Ai A j) Σ l B l
= − 2e
(Σ l( (p i p j B l ) + (p j B l )p i + (p i B l )p j + B l p i p j)
− Σ l( e
c (pi A j )B l + A j (p i B l ) + A j B l p i)
− e c Σl A i( (p j B l ) + B l p j) + e2
c 2 Σl B l A i A j )
,

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 21
der sich weiter unter Verwendung von p i p j = − 2 △ wie folgt berechnet:
(
= − 2e −Σ 2 △B + Σ · B( p 2 − e (
(p i A j ) + A i p j + A j p i) + e2
c
c A2) 2
+ Σ l( (p j B l )p i + (p i B l )p j − e c Aj (p i B l ) − e c Ai (p j B l ) ))
= − 2e
(−Σ 2 △B + Σ · B(p − e c A)2 + iΣ l( ∇B l p − e c ∇Bl A )) (3.84)
= e 2 Σ · △B − 2eΣ · B(p − e c A)2 − 2ieΣ l ∇B l (p − e c A) .
Somit erhalten wir für (3.83)
− βω4
8m 3 c = − β (
(p − e 6 8m 3 c 2 c A)4 + e 2 2 B 2 + e 2 Σ · △B
− 2eΣ · B(p − e c A)2 − 2ieΣ l ∇B l (p − e )
c A)
.
(3.85)
Da Terme, die B enthalten, gemäß Maxwell-Gleichungen, einer höheren Ordnung in 1 c 2
sind, brauchen wir nur den führenden Term (p − e c A)4 zu berücksichtigen [9].
6. Term von H ′′′
Der sechste Term ist Null:
−
β
8m 3 c [ω, 6 ɛ]2 = −
β
8m 3 c (ωɛ − 6 ɛω)2 = −
β
8m 3 c 6 (ω2 ɛ 2 + ɛ 2 ω 2 − 2ωɛɛω)
= − β
8m 3 c 6 ɛ2 (2ω 2 − 2ω 2 ) = 0 .
(3.86)
7. Term von H ′′′
Hierfür lässt sich die Rechnung von (3.80) verwenden.
2 ˙ω 2
8m 3 c 6 =
8. Term von H ′′′
2
8m 3 c 6 (eαi ∂ t A i )(eα j ∂ t A j ) = e2 2
8m 3 c (∂ tA i ) 2 = e2 2 ( ∂A
6 8m 3 c 6 ∂t
(
(∇A 0 ) 2 + E 2 + 2(∇A 0 )E ) (3.87)
8m 3 c 4
= e2 2
8m 3 c 6 c2 (∇A 0 + E) 2 = e2 2
Auch bei der Berechnung des achten Terms nutzen wir das Ergebnis von (3.80) aus.
iβ
iβ
[ω, ɛ] ˙ω = −
4m 3 c6 4m 3 c 6 iecαi ∂ i A 0 · eα j ∂ t A j
= + e2 2 β (
δ ij + iɛ ijk Σ k) ∂ i A 0 ∂
4m 3 c 5 t A j
= + e2 2 β
4m 3 c 5 (
∂ i A 0 ∂ t A i + iɛ ijk Σ k ∂ i A 0 ∂ t A j)
= + e2 2 β
(
∇A 0 ∂
4m 3 c 5 t A + iΣ(∇A 0 ) × (∂ t A)
= + e2 2 β
(
4m 3 c 5
)
−c∇A 0 (∇A 0 + E) − iΣ(∇A 0 ) × c(E + ∇A 0 )
)
= − e2 2 β
4m 3 c 4 (
(∇A 0 ) 2 + E 2 + iΣ(∇A 0 ) × E
)
) 2
(3.88)

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 22
Zusammen ergeben die Terme 7 und 8
2 ˙ω 2
8m 3 c − iβ
6 4m 3 c [ω, ɛ] ˙ω = − e2 2 β
(
)
(∇A 0 ) 2 + E 2 + 2∇A 0 E + iΣ(∇A 0 ) × E
6 8m 3 c 4
Im Falle des elektrostatischen Coulomb-Potenzials (s. Kap. 4) ist E 2 ∼ e2
r 4
gilt für (3.89):
− e2 2 β
(
)
(∇A 0 ) 2 + E 2 + 2∇A 0 E + iΣ(∇A 0 ) × E ∼
8m 3 c 4
.
(3.89)
und deshalb
e4 2 β
8m 3 c 4 r 4 ∼ E Rα 4 , (3.90)
wobei E R die Rydberg-Energie und α die Feinstrukturkonstante sind. Dagegen sind
die anderen Terme, die wir in H ′′′ beibehalten, von der Ordnung E R α 2 17 . Man kann
also die Terme von Gleichung (3.89) vernachlässigen.
Nun tragen wir alle relevanten Terme zusammen und bekommen
H ′′′ = βmc 2 + eA 0 + β
2m (p − e c A)2 − eβ
2mc Σ · B − e2
8m 2 c ∇E 2
− ie2
8m 2 c 2 Σ · ∇ × E −
e
4m 2 c 2 Σ · E × (p − e c A) −
β
8m 3 c 2 (p − e c A)4 .
(3.91)
Offensichtlich besitzt der Hamilton-Operator H ′′′ keine ungeraden Operatoren mehr,
die beiden oberen Komponenten der Wellenfunktion φ 1 und φ 2 sind nicht mit den
beiden unteren Komponenten χ 1 und χ 2 gekoppelt. Ausgehend von Zuständen positiver
Energie betrachten wir nunmehr den oberen Spinor φ und ersetzen deshalb die 4 × 4
- Matrizen Σ durch die 2 × 2 - Matrizen σ. Der Hamilton-Operator nimmt damit die
Form
H ′′′ = mc 2 + eA 0 + 1
2m (p − e c A)2 − e
2mc σ · B − e2
8m 2 c ∇E 2
− ie2
8m 2 c 2 σ · ∇ × E −
e
4m 2 c σ · E × (p − e 2 c A) − 1
8m 3 c (p − e (3.92)
2 c A)4
an. Dies entspricht dem Hamiltonoperator der Pauli-Gleichung, bestehend aus
Ruheenergie, potentieller Energie, kinetischer Energie und der Kopplung zwischen
Magnetfeld B und magnetischem Moment M des Elektrons, einschließlich relativistischer
Korrekturen.
Relativistische Korrekturen für ein Elektron im elektrostatischen Zentralpotential
Wir können Gleichung (3.92) weiter umformen, indem wir von einem zentralsymmetrischen
Potenzial
eA 0 = V (r) ,
17 Dies ist die Ordnung der Feinstrukturaufspaltung (s. 4.2).

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 23
mit
E = −∇A 0 = − 1 e
∂V
∂r
x
r , A = 0 =⇒ B = 0 , ∇ × E = 0 ,
ausgehen. Demnach treten insgesamt drei Korrekturterme auf, die wie folgt aussehen:
p4
H R1 = −
8m 3 c 2
H R2 = −
e
4m 2 c σ · E × p =
2
H R3 = − e2
8m 2 c 2 ∇E =
Daraus folgt für H ′′′
1
4m 2 c 2 r
2
8m 2 c 2 ∇2 V (x)
∂Φ
∂r σ · x × p =
1
4m 2 c 2 r
∂V
∂r σ · L .
(3.93a)
(3.93b)
(3.93c)
H ′′′ = mc 2 + V (r) + p2
2m −
p4
8m 3 c 2 +
2
8m 2 c 2 ∇2 V (x) +
1
4m 2 c 2 r
∂V
∂r σ · L . (3.94)
Der vierte Term ist die relativistische Massenkorrektur, also die Korrektur der kinetischen
Energie. Der fünfte Term ist die relativistische Korrektur des Zentralpotentials
und wird als Darwin-Term bezeichnet. Man kann ihn als Zitterbewegung des Elektrons
interpretieren. Der letzte Term stellt die Wechselwirkungsenergie zwischen dem Spin
des Elektrons und dessen Bahndrehimpuls dar (Spin-Bahn-Kopplung) 18 . Durch diese
drei Korrekturen wird die Entartung der Energieniveaus hinsichtlich der Drehimpulsquantenzahl
teilweise aufgehoben, wir sprechen von der Feinstrukturaufspaltung. Ihre
Terme sind um den Faktor α 2 kleiner als die führenden Terme in der Pauli-Gleichung
[5].
18 Hier wird sogar der Effekt der Tomas-Präzession durch den Faktor 4 im Nenner korrekt berücksichtigt
[2]

Wasserstoffähnliches System 24
4 Wasserstoffähnliches System
Die Korrekturterme im Hamiltonoperator, welche wir im vorhergehenden Kapitel mittels
FW-Transformation hergeleitet haben, stellen nicht nur eine Validierung der Dirac’schen
Gleichung für Spin-1/2-Teilchen dar, da sie ja den aus der Empirie gewonnenen
relativistischen Korrekturen der Energien im Wasserstoffatom (s. unten) entsprechen,
sondern sie ermöglichen es auch, jene besser zu verstehen und eine umfassendere
Interpretation wasserstoffähnlicher Systeme zu liefern. Im Folgenden sollen diese
Korrekturterme explizit behandelt und die damit verbundene Energieaufspaltung per
Störungsrechnung ermittelt werden.
4.1 Energieeigenwerte aus der nichtrelativistischen QM
Bevor wir uns mit den relativistischen Störtermen befassen, wollen wir die Energieeigenwerte
eines Elektrons im Coulomb-Potentials, die aus der nichtrelativistischen
Quantenmechanik herrühren, betrachten. Der Hamilton-Operator eines Teilchens der
Masse m in einem solchen Zentralpotential lautet
H 0 = p2
p2
+ V (r) =
2m 2m − Ze2
4πε 0 r . (4.95)
Auf Grund der Rotationssymmetrie des Potenzials kann man zu Kugelkoordinaten
übergehen und erhält für die Schrödinger-Gleichung [11]
( [− 2 ∂
2
2m ∂r + 2 ∂
) ]
+ L2
2 r ∂r 2mr + V (r) Ψ(r, ϑ, ϕ) = EΨ(r, ϑ, ϕ) . (4.96)
2
Nach der Anwendung des Separationsansatzes und weiteren Umformungen (s. z. B.
[10]), nimmt die Differentialgleichung (4.96) folgende Form an:
[ d
2
dρ + 2 l(l + 1)
]
− − η 2 u(ρ) = 0 , (4.97)
2 ρ ρ 2
wobei
und
η = 1 Z
√
ρ = Z r
a B
, a B = 4πɛ 0 2
me 2 ̂= Bohrscher Radius (4.98)
− E E R
, E < 0 und E R = 2
2ma 2 B
̂= Rydberg-Energie . (4.99)
Diese lässt sich exakt lösen und man gelangt zu guter Letzt zu den nur von der Hauptquantenzahl
n abhängigen Energieeigenwerten der Bindungszustände des Coulomb-
Potenzials
E n = − Z2 E R
n 2 ; n = 1, 2, 3, 4, ... . (4.100)

Wasserstoffähnliches System 25
Es soll indes beachtet werden, dass zu einem vorgegebenen n die Drehimpulsquantenzahl
l die Werte 0, 1, 2...n − 1 annehmen kann, was unter der Berücksichtigung, dass l
selbst (2l + 1) - fach entartet ist, insgesamt eine n 2 - fache Entartung als Konsequenz
hat 19 .
4.2 Feinstruktur
Wir wollen nun die drei zusätzlichen Terme der relativistischen Korrektur im Hamilton-
Operator für ein wasserstoffähnliches System näher analysieren und ihre Eigenenergien
mittels Störungstheorie erster Ordnung berechnen.
4.2.1 Relativistische Massenkorrektur
Der relativistische Korrekturterm der kinetischen Energie (3.93a) lässt sich auch direkt
aus der relativistischen Energie-Impuls-Relation durch Taylor-Entwicklung nach
(p/mc) 2 gewinnen 20 :
√
(
E = mc 2 1 + p2
m 2 c ≈ 2 mc2 1 + p2
2m 2 c − 1 ( p
2 ) 2 )
= mc 2 + p2
2 8 m 2 c 2 m −
p4
.
8m 3 c 2 (4.101)
Er ist also quadratischer Ordnung in (p/mc) 2 und die erste relativistische Korrektur
der kinetischen Energie.
Durch Ausnutzung von (4.95) kann man H R1 wie folgt umformen:
−
p4
8m 3 c = − 1 ( p
2 ) 2 1
(
)
= − H 2 2mc 2 2m 2 2mc 2 0 + Ze2 2
. (4.102)
4πε 0 r
In Störungstheorie erster Ordnung findet man für die bezüglich j, l und m j entarteten
Zustände eines wasserstoffähnlichen Atoms
∆E R1 = 〈njlsm j |H R1 |nj ′ l ′ sm ′ j〉 = 〈njlsm j |H R1 |njlsm j 〉δ jj ′δ ll ′δ mj m ′ j
. (4.103)
Da der Operator H R1 jedoch nicht auf den Spin wirkt, ist es hinreichend, die Ortszustände
|nlm〉 zu verwenden und man erhält
∆E R1 = − 1
2mc 2 〈nlm| (
H 2 0 + 2H 0
Ze 2
4πε 0 r + Z2 e 4
(4πε 0 ) 2 r 2 )
|nlm〉
19 ∑ n−1
l=0
= − 1
2mc 2 (
E
2
n + 2E nZe 2
4πε 0
〈nlm| 1 r |nlm〉 + Z2 e 4
(4πε 0 ) 2 〈nlm| 1 r 2 |nlm〉) .
(4.104)
n(n−1)
(2l + 1) = 2
2
+ n = n 2
20 In der Dirac-Gleichung ist dieser Term implizit enthalten, da sie die “zweite Forderung“, die wir
an sie gestellt haben, erfüllt (s. 2.1).

Wasserstoffähnliches System 26
Die Erwartungswerte 〈 1 r 〉 und 〈 1
r 2 〉 ergeben sich unter Verwendung der Radialfunktion
R nl der Lösung von (4.96): 21
〈 1
〉
= Z
r a B n 2
(4.105a)
〈 1
〉
Z 2
=
r 2 a 2 B n3 (l + 1/2) . (4.105b)
Daraus folgt für (4.104) unter Bezugnahme von (4.98) und (4.99)
∆E R1 = − 1 [( Z 2 E
) 2 R 2Z 4 E R e 2
+
2mc 2 n 2 4πε 0 a B n + Z 4 e 4 ]
4 (4πε 0 ) 2 a 2 B n3 (l + 1/2)
= − Z4 c 2 m
( e
2 ) 4 (
− 3
n 3 4πε 0 4n + 1
)
2 n(l + 1/2)
= − mc2 (Zα) 2 (Zα) 2 (
1
2 n 2 n(l + 1/2) − 3 )
4n 2
(
= E n (Zα) 2 1
n(l + 1/2) − 3 )
.
4n 2
(4.106)
Damit liegt die von der relativistischen Massenkorrektur herrührende relative Energieverschiebung
in der Größenordnung Z 2 α 2 ≈ 0, 5 · 10 −4 Z 2 , wobei es sich bei α um die
Feinstrukturkonstante handelt:
α =
e2
4πε 0 c ≈ 1
137 . (4.107)
4.2.2 Spin-Bahn-Kopplung
Die Spin-Bahn-Kopplung ist eine weitere Konsequenz der relativistischen Betrachtung
der Bewegung eines geladenen Teilchens im elektrischen Feld. Man kann diesen Effekt
auch mit Hilfe der klassischen Elektrodynamik plausibel machen. Das Elektron bewegt
sich in dem elektrostatischen Feld, das von einem Proton verursacht wird und sieht in
seinem Ruhesystem das Magnetfeld
B = − 1 c v × E . (4.108)
Durch die Wechselwirkung des inneren magnetischen Momentes des Elektrons (3.43)
mit diesem Feld entsteht eine Energieverschiebung
δE = −M · B = − e
mc 2 S · (v × ∇A0 )
= − 1
mc 2 S · (v × x)1 r
∂V
∂r = 1
m 2 c S · L1 2 r
∂V
∂r
.
(4.109)
21 Zur ausführlichen Berechnung s. [11].

Wasserstoffähnliches System 27
Diese stimmt mit (3.93b) bis auf einen Faktor 1/2 überein 22 , der sich daraus ergibt, dass
die Bewegung des Elektrons um das Proton nicht geradlinig erfolg und sein Ruhesystem
somit kein Inertialsystem ist. Folglich beschreibt der Elektronenspin Kreisbahnen
bezüglich des Laborsystems (Thomas-Präzession) [12].
Wir haben also mit (3.93b) einen Term vorliegen, der die Wechselwirkung des magnetischen
Moments des Elektronenspins mit dem magnetischen Feld, welches das Elektron
durch seine Bewegung im elektrostatischen Feld des Atomkerns “sieht“, beschreibt. Für
ein wasserstoffähnliches Atom lautet er
H R2 = 1
2m 2 c S · L Ze2
2 4πε 0 r 3 . (4.110)
Zwecks Herleitung der Energieaufspaltung soll zunächst die LS - Kopplung untersucht
werden. Da H R2 weder mit dem Bahndrehimpuls noch mit dem Spin vertauscht [5], ist
es nützlich auf den Gesamtdrehimpuls J = L + S zurückzugreifen. Es gilt
J 2 = L 2 + S 2 + 2L · S ⇐⇒ L · S = 1 2(
J 2 − L 2 − S 2) . (4.111)
Somit folgt für die störungstheoretische Korrektur erster Ordnung:
∆E R2 = 〈njlsm j |H R2 |nj ′ l ′ sm ′ j〉
Ze 2
=
8πε 0 m 2 c 〈njlsm j| J 2 − L 2 − S 2
|njlsm 2 2r 3
j 〉δ jj ′δ ll ′δ mj m ′ j (4.112)
Ze 2
=
2 · 4πε 0 m 2 c 〈nl| 1 2 r 3 |nl〉2 2 [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] .
Der Erwartungswert von 〈 1 〉 ist 23 [11]
r 3 〈 1
〉
Z 3
=
r 3 a 3 B n3 l(l + 1/2)(l + 1) , (4.113)
sodass man für die Energieverschiebung
Ze 2 Z 3 m 3 c 3 α 3 j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)
∆E R2 =
4 · 4πε 0 m 2 c 2 n 3 l(l + 1/2)(l + 1)
= mc2 (Zα) 2 (Zα) 2 j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)
4 n 3 l(l + 1/2)(l + 1)
(4.114)
erhält. Man hat also je nachdem ob j = l + 1/2 oder j = l − 1/2 zwei Mögliche
Ergebnisse für die Energieaufspaltung:
(Zα) 2 1
∆E R2 = −E n
2n (l + 1/2)(l + 1) für j = l + 1 2
(Zα) 2 1
∆E R2 = E n für j = l − 1 (4.115)
2n l(l + 1/2)
2 .
Auch für die Spin-Bahn-Kopplung ist sie von der Größenordnung α 2 ≈ (1/137) 2 .
22 Es ist zu beachten, dass in (3.93b) σ, während in (4.109) S verwendet wird, wobei gilt S = 2 σ.
23 Dabei ist l ≧ 1, da das Integral für den Erwartungswert im Zustand l = 0 divergent wäre. Zudem
würde bei l = 0, d. h. bei j = s der Ausdruck L · S verschwinden - es läge keine Spin-Bahnkopplung
vor.

Wasserstoffähnliches System 28
4.2.3 Darwin-Term
Der Darwin-Term beschreibt die sogenannte Zitterbewegung, die durch die Interferenz
zwischen positiven und negativen Energie-Zuständen, die das Wellenpaket des
Elektrons bilden, entsteht. Das bedeutet, dass unterhalb der Compton-Wellenlänge
λ c = Elektron-Positron-Paare entstehen können und man nicht mehr von einem
mc
Ein-Teilchen-Zustand reden darf. Die Konsequenz davon ist, dass das Elektron über
einen Bereich von λ c “verschmiert“ ist und nicht mehr als lokal angesehen werden kann.
Man kann die Zitterbewegung daher als “Verschmierung“ der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
betrachten [12], [13].
Auf Grund dieser Schwankung spürt das Elektron im Mittel das Potenzial [11]
Entwickeln wir V (r + δr) um δr, so ergibt sich
〈V (r + δr)〉 , δr = λ c = mc . (4.116)
V (r + δr) ≈ V (r) + δr · ∇V (r) + 1 2 (δr · ∇)2 V (r) (4.117)
und über δr gemittelt, unter Annahme sphärischer Symmetrie,
〈V (r + δr)〉 ≈ V (r) + 1 6 (δr)2 · ∇ 2 V (r) . (4.118)
Nimmt man für δr die Ersetzung aus (4.116) vor, so führt dies zu einer (heuristischen)
Korrektur, die mit dem aus der FW-Transformation resultierenden Darwin-Term
(3.93c) qualitativ übereinstimmt:
V Korrektur (r) =
2
6m 2 c 2 ∇2 V (r) . (4.119)
Indem nun V (r) in (3.93c) durch das Coulomb-Potenzial ersetzt und die
Gleichung verwendet wird, erhält der Darwin-Term die Form
Poisson-
H R3 = Z2 e 2
8m 2 c 2 4πε 0
△ 1
|r| = πZ2 e 2
2m 2 c 2 4πε 0
δ (3) (r) . (4.120)
Aus der Störungsrechnung erhalten wir die entsprechende Energieverschiebung:
∆E R2 = 〈njlsm j |H R3 |nj ′ l ′ sm ′ j〉 = πZ2 e 2
2m 2 c 2 4πε 0
〈njlsm j |δ (3) (r)|njlsm j 〉δ jj ′δ ll ′δ mj m ′ j
(4.121)
Wegen der Delta-Funktion liefert (4.121) nur für s - Zustände einen Beitrag 24 , das
heißt ∆E R2 = 0 für l ≠ 0 [12]. Damit ergibt sich
∆E R2 = πZ2 e 2
2m 2 c 2 4πε 0
|Ψ n00 (0)| 2 δ l,0 . (4.122)
24 Nur für s-Zustände ist Ψ(0) ≠ 0, wobei Ψ(0) die Wellenfunktion bei r = 0 ist.

Wasserstoffähnliches System 29
Setzen wir r = l = 0, dann ist die Radialfunktion R n0 = 2( Z n )2/3 und die
Kugelflächenfunktion
Y 00 = 1/ √ 4π [10]. Daraus folgt für (4.122)
∆E R2 = πZ2 e 2 Z 3
2m 2 c 2 4πε 0 πa δ 3 B n3 l,0 = mc2 (Zα) 4 (Zα) 2
δ
2 n 3 l,0 = −E n
n δ l,0 . (4.123)
Damit sind alle drei relativistischen Korrekturen explizit in 1. Ordnung Störungstheorie
berechnet und man kann sie sodann in einen Term zusammentragen:
∆E F S = ∆E R1 + ∆E R2 + ∆E R3 . (4.124)
Zuerst fassen wir die Korrekturterme für l ≠ 0, ∆E R1 und ∆E R2 , zusammen:
∆E l≠0
F S
= E (Zα) 2 (
n
n
1
l + 1/2 − 3
4n
j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)
)
−
2l(l + 1/2)(l + 1)
. (4.125)
Die Terme 1 und 3 in der Klammer ergeben jeweils
1
für j = l + 1/2 : − 1
l+1/2 2(l+1/2)(l+1)
1
für j = l − 1/2 : + 1
l+1/2 2l(l+1/2)
}
=
1
j + 1/2 , (4.126)
wodurch für (4.125) folgt:
∆E l≠0
F ein = E (Zα) 2
n
n
(
1
j + 1/2 − 3 )
4n
. (4.127)
Ist l = 0, so verschwindet ∆E R2 und der Beitrag zur Energieaufspaltung besteht aus
∆E R1 und ∆E R3 :
∆EF l=0 (Zα) 2 ( 1
S = E n
n 1/2 − 3 )
4n − 1
(Zα) 2 (
= E n 1 − 3 )
n 4n
. (4.128)
Aus dem Vergleich der Ergebnisse für die Fälle l = 0 und l ≠ 0 schließen wir, dass
(4.127) beiden entspricht und man für die Feinstruktur-Aufspaltung schreiben kann:
(Zα) 2 (
1
∆E F S = E n
n j + 1/2 − 3 )
4n
. (4.129)
Sie ist von der Größenordnung 10 −4 und hängt nicht von der Bahndrehimpulsquantenzahl
l ab, womit Zustände mit gleichen Quantenzahlen n und j über gleiche Energieeigenwerte
verfügen 25 . In Abb. 5 ist die jeweilige Energieverschiebung bis n = 3
mit explizit berechneten Werten in einem Termschema dargestellt. Man sieht, dass die
Feinstrukturaufspaltung mit wachsendem n und j abnimmt. Das Besondere an dem
Ergebnis (4.129), das letztlich sukzessiv aus der Dirac-Gleichung abgeleitet wurde, ist
die exakte Übereinstimmung - in der betrachteten Größenordnung - mit dem Experiment.
Korrekturen kleinerer Größenordnung sind die Hyperfeinstruktur und Lambshift.
25 Dies trifft nur auf ein wasserstoffähnliches Atom bzw. Ion (z. B. He + , Li ++ ...) zu, was auf den
1/r-Verlauf des Coulombpotenzials zurück zu führen ist.

Wasserstoffähnliches System 30
Abb. 5: Feinstrukturaufspaltung bis n = 3 (qualitativ) mit der jeweiligen Energieverschiebung.
Bei der Hyperfeinstruktur wird die Wechselwirkung zwischen dem magnetischen Moment
des Elektrons und dem aus dem Kern-Spin herrührenden magnetischen Moment
des Kerns berücksichtigt. In Abb. 6 ist die daraus resultierende Energieaufspaltung
dargestellt. Die Lambshift wird von Nullpunktsschwankungen des elektromagnetischen
Feldes hervorgerufen, die zur Verschiebung der Position des Elektrons führen. Sie ist
z. B. für die Energieaufspaltung zwischen den Niveaus 2 2 S 1/2 und 2 2 P 1/2 oder 3 2 S 1/2
und 3 2 P 1/2 des Wasserstoffatoms, die in der Dirac-Theorie entartet sind (s. Abb. 6),
verantwortlich [11].
Abb. 6: Qualitative Darstellung
der Aufspaltung der Energieniveaus
bis n = 3 durch relativistische
Effekte (Feinstruktur),
Lambshift und Kernspin (Hyperfeinstruktur;
der Übersicht
wegen bis n=2 ).

Konklusion 31
5 Konklusion
Es wurde die Dirac-Gleichung in der nichtrelativistischen Näherung untersucht. Man
konnte feststellen, dass sich in der Näherung erster Ordnung die klassische Bewegungsgleichung
für Fermionen ergab - die Pauli-Gleichung. Diese berücksichtigt sogar die
Kopplung des magnetischen Momentes des Fermions mit einem von außen angelegten
Magnetfeld, was bei der Ableitung aus der Dirac-Gleichung automatisch berücksichtigt
wurde, bei der Derivation aus der klassischen Theorie jedoch heuristischer Natur ist.
Es konnte zudem gezeigt werden, dass es möglich ist, mit einer unitären Transformation,
der Foldy-Wouthuysen-Transformation, den Dirac’schen Hamilton-Operator in
jeder beliebigen Ordnung in 1 zu diagonalisieren und damit eine Trennung der positiven
Lösungen von den negativen Lösungen im Sinne der Ein-Teilchen-Theorie
mc 2
in
der entsprechenden Ordnung zu garantieren. Wir haben uns dabei darauf beschränkt
1
die Diagonalisierung des Hamilton-Operators bis zur Ordnung durchzuführen. Die
m 3 c 6
sich daraus ergebenden Terme des Hamiltonian enthalten relativistische Korrekturen
für ein Teilchen im elektromagnetischen Potenzial.
Im Falle eines elektrostatischen Zentralpotenzials, das auf ein wasserstoffähnliches
Atom zutrifft, führen diese Korrekturen zu der bei der spektroskopischen Analyse beobachtbaren
Feinstrukturaufspaltung. Das heißt, wir haben durch die FW-Transformation
einen Term für die Energieverschiebung ∆E F S der Ordnung α 2 (Größenordnung der
Feinstruktur) erhalten, der vollkommen der empirischen Erwartung entspricht.

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 32
Abbildungsverzeichnis
1 Strahlungskatastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Darstellung des Dirac-Sees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Darstellung der Paarbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 e − - e + - Annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Feinstrukturaufspaltung bis n = 3 (qualitativ) mit der jeweiligen Energieverschiebung.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Qualitative Darstellung der Aufspaltung der Energieniveaus bis n =
3 durch relativistische Effekte (Feinstruktur), Lambshift und Kernspin
(Hyperfeinstruktur; der Übersicht wegen bis n=2 ). . . . . . . . . . . . 30

LITERATUR 33
Literatur
[1] Foldy, L. Leslie; Wouthuysen, Siegfried A.: On the Dirac Theory of Spin 1/2 Particles
and Its Non-Relativistic Limit, Physical Review - Volume 78. Number 1, April
1. 1950
[2] Wachter, Armin: Relativistische Quantenmechanik, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
2005
[3] Landau, Rubin H.: Quantum Mechanics II, John Wiley & Sons Inc. 1996, second
edition
[4] Gross, Franz: Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, John Wiley &
Sons Inc. 1999
[5] Schwabl, Franz: Quantenmechanik für Fortgeschrittene, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
New York 1997
[6] Scheck, Florian : Theoretische Physik 3, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006
[7] Straumann, Norbert : Relativistische Quantentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
2005
[8] Hasselberg, G.: Bemerkungen zur Vakuumpolarisation in äußeren Feldern, Zeitschrift
für Physik 190, 110–128 (1966)
[9] Strange Paul: Relativistic Quantum Mechanics, Cambridge University Press 1998
[10] Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 5/2, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg 2006, 6. Auflage
[11] Schwabl, Franz: Quantenmechanik, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
1992, 3. Auflage
[12] Cohen-Tannoudji, C.; Diu, B.; Laloë, F.: Quantenmechanik Teil 2, Walter de Gruyter
Berlin - New York 1997
[13] Sidharth, B. G.: Revisiting Zitterbewegung, Int.J.Theor.Phys.48:497-506,2009
[14] R. M. Dreizler, C. S. Lüdde: Theoretische Physik 3, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
2008
[15] Ynduráin, F. J.: Relativistic Quantum Mechanics and Introduction to Field Theory,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996