Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung - Fakultät für ...

Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung 17
2. Term von H ′′ i[S ′ , H ′ ] = i[− iβω′
2mc , 2 βmc2 + ɛ ′ + ω ′ ]
= 1 (
[βω ′ , β]mc 2 + [βω ′ , ɛ ′ ] + [βω ′ , ω ′ ] )
(3.68)
2mc 2
= −ω ′ + β
2mc 2 [ω′ , ɛ ′ ] + βω′2
mc 2
Der letzte Ausdruck ist gerade und mindestens von der Ordnung
1
m 2 c 4 .
3. Term von H ′′
Hierbei finden wir einen geraden Term mit O ( 1
m 3 c 6 )
vor, alle anderen sind von höherer
Ordnung. Deshalb nehmen wir von H ′ nur den Term βmc 2 :
i 2 2 [S′ , [S ′ , H ′ ]] = i2 2 [S′ , [S ′ , βmc 2 ]] + O ( 1
m 4 c 8 )
= 1 2 [ βω′
2mc 2 , [ βω′
2mc 2 , βmc2 ]] + O ( 1
m 4 c 8 )
= 1
8m 2 c 4 [βω′ , −2ω ′ mc 2 ] + O ( 1
m 4 c 8 )
= − 1
4mc 2 [βω′ , ω ′ ] + O ( 1
m 4 c 8 )
= − βω′2
2mc 2 + O( 1
m 4 c 8 )
.
(3.69)
4. Term von H ′′ − ˙ S ′ = iβ ˙ω ′
2mc 2 (3.70)
Wir fassen (3.68 - 3.70) zusammen und erhalten somit nach der zweiten FW-
Transformation
H ′′ = βmc 2 + ɛ ′ + βω′2
2mc + β
2 2mc 2 [ω′ , ɛ ′ ] + iβ ˙ω ′
2mc 2
= βmc 2 + ɛ ′′ + ω ′′ .
(3.71)
1
In diesem Hamiltonian sind die ungeraden Terme von der Ordnung und höher.
m 2 c 4
Um nun alle ungeraden Ausdrücke mit O ( )
1
m 2 c zu eliminieren, wenden wir eine weitere
4
Transformation an und setzen
S ′′ = − iβ
2mc 2 ω′′ = − iβ ( β
2mc 2 2mc 2 [ω′ , ɛ ′ ] + iβ ˙ω ′ )
2mc 2
. (3.72)
Dabei müssen wir nur den ersten Term von H ′′ berücksichtigen, da alle anderen geraden
mindestens von der Ordnung
1
m 4 c 8 und alle ungeraden von der Ordnung
1
m 3 c 6
sind. Die