Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung - Fakultät für ...

Einleitung 1
1 Einleitung
Nachdem Schrödinger im Jahre 1926 die nach ihm benannte Schrödingergleichung aufgestellt
hatte, versuchten sich viele Physiker an der Entwicklung einer relativistischen
Variante dieser Darstellung, darunter Oskar Klein und Walter Gordon, denen letztlich
die Herleitung der Klein-Gordon-Gleichung gelang. Diese berücksichtigte jedoch nur
spinlose Teilchen, was Paul Dirac dazu bewog, im Jahre 1928 eine Differentialgleichung
herzuleiten, die analog zur Schrödingergleichung eine Zeitableitung erster Ordnung
enthielt - die Dirac-Gleichung. Sie ermöglichte es Spin-1/2-Teilchen (Fermionen) zu
beschreiben.
Eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der Dirac-Gleichung ist die Möglichkeit,
sie im nichtrelativistischen Grenzfall in Gleichungen der nichtrelativistischen
Quantenmechanik umzuformen. Das heißt es sollte möglich sein die Pauli-Gleichung
mitsamt den relativistischen Korrekturen aus der Dirac-Gleichung abzuleiten. Dabei
stößt man jedoch auf das Problem, dass der Dirac’sche Hamiltonoperator nicht diagonal
ist und deshalb Lösungen positiver Energie mit den Lösungen negativer Energie
mischt. Bei der Herleitung der Pauli-Gleichung wird diese Schwierigkeit insofern
umgangen, als bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten zwei der vier Komponenten der
Dirac’schen Wellenfunktion klein werden und deshalb vernachlässigt werden. Man erhält
demnach eine Gleichung für zweikomponentige Lösungen der Ordnung 1/mc 2 . Der
Überganz von vier auf zweikomponentige Wellenfunktionen bleibt indes etwas obskur,
zumal bei einer nichtrelativistische Näherung höherer Ordnung obiges Argument nicht
ohne weiteres tragbar ist. Daher schlugen L. L. Foldy und S. A. Wouthhuysen “an alternative
method for passing from four- to two-component wave functions in the Dirac
theory“ [1]. Die von ihnen gefundene Transformation erlaubt es, Zustände positiver
Energie von Zuständen negativer Energie sukzessiv zu separieren und daher Korrekturterme
beliebiger Ordnung zu generieren. Man gelangt auf diese Weise diskursiv zu
relativistischen Korrekturen eines in einem Potenzial eingeschlossenen Teilchens - und
nicht zuletzt zur Feinstruktur eines Elektrons im elektrostatischen Zentralpotenzial (z.
B. im Wasserstoffatom).