Nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung - Fakultät für ...

Dirac-Gleichung 2
2 Dirac-Gleichung
2.1 Kanonische Darstellung der Dirac-Gleichung
Die grundlegende Idee bei der Entwicklung der Dirac-Gleichung bestand in der relativistischen
Verallgemeinerung der Schrödingergleichung für freie Teilchen in der Darstellung:
i ∂Ψ(x) = HΨ(x), (2.1)
∂t
wobei x = x µ , also ein Vierervektor ist und H hermitesch.
Es werden folgende Forderungen an die Gleichung gestellt [2]:
• Sie muss lorentzkovariant sein. Das bedeutet wiederum, dass die räumlichen Ableitungen,
gleich den zeitlichen, linear sein müssen.
• Die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 muss erfüllt sein.
• Es muss ein Viererstrom mit einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte
(nullte Komponente) existieren.
In Anbetracht der ersten beiden Voraussetzungen muss der Hamilton-Operator von der
Form
H = cαp + βmc 2 (2.2)
sein [4], wobei α und β hermitesche Matrizen sind und p = −i∇. Außerdem muss
die Nebenbedingung
(Klein-Gordon-Gleichung) gelten.
− 2 ∂2 Ψ(x)
∂t 2 = ( c 2 p 2 + m 2 0c 4) Ψ(x) (2.3)
Damit ist offensichtlich, dass α i und β keine gewöhnlichen Zahlen sein können, da
keine Mischterme vorkommen. Aus obiger Beziehung lässt sich nun auf die algebraische
Struktur von α i und β schließen:
(α i p i + βm) 2 = β 2 m 2 + (α i ) 2 (p i ) 2 + {α i , β}mp i + 1 2 {αi , α j } i≠j p i p j !
= (p i ) 2 + m 2 . (2.4)
Man sieht hieraus, dass (2.3) nur dann erfüllt ist, wenn die Relationen
gelten 1
{α i , α j } = 2 δ ij 1 , (2.5a)
{α i , β} = 0 , (2.5b)
(α i ) 2 = β 2 = 1 (2.5c)
. Zudem müssen diese Matrizen hermitesch sein, um die Hermitezität des
Hamilton-Operators sicherzustellen. Sie besitzen nach (2.5c) die Eigenwerte ±1.
1 Bei {a, b} handelt es sich um einen Antikommutator.