1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen 2 Ringe
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Dr. T.Sprenger<br />
Materialien zur Vorlesung<br />
<strong>Gruppen</strong> <strong>und</strong> <strong>Ringe</strong> COMPUTERALGEBRA I 20.05.2010<br />
1 <strong>Halbgruppen</strong>, <strong>Monoide</strong> <strong>und</strong> <strong>Gruppen</strong><br />
Sei G eine nichtleere Menge <strong>und</strong> · : G × G → G eine innere Verknüpfung auf G. Wir nennen (G, ·)<br />
eine Halbgruppe, wenn<br />
(i) a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c ∈ G.<br />
(Assoziativität)<br />
Gilt zudem<br />
(ii) Es existiert ein e ∈ G mit a · e = e · a = a für alle a ∈ G,<br />
(neutrales Element)<br />
so nennen wir (G, ·) ein Monoid. Wenn außerdem<br />
(iii) Für jedes a ∈ G existiert ein a −1 ∈ G mit a · a −1 = a −1 · a = e.<br />
(inverses Element)<br />
gilt, bezeichnen wir (G, ·) als Gruppe. Ferner nennen wir eine Gruppe (G, ·) abelsch, falls<br />
(iv) Für alle a, b ∈ G gilt a · b = b · a.<br />
(Kommutativität)<br />
Beispiel 1.1<br />
(a) (N, +) ist eine Halbgruppe, da + eine innere Verknüpfung auf N ist <strong>und</strong> diese zudem assoziativ<br />
ist. Da kein neutrales Element in N existiert (0 ∉ N), ist (N, +) kein Monoid.<br />
(b) (N 0 , +) ist ein Monoid mit neutralem Element 0, aber keine Gruppe, da z.B. für 1 kein<br />
inverses Element in N 0 existiert (1 + (−1) = 0).<br />
(c) (Z, +) ist eine abelsche Gruppe, da alle <strong>Gruppen</strong>eigenschaften erfüllt sind (+ ist assoziativ<br />
<strong>und</strong> kommutativ, 0 ist neutrales Element <strong>und</strong> −a ist inverses Element zu a ∈ Z).<br />
(d) (Z \ {0}, ·) ist ein Monoid mit neutralem Element 1, aber keine Gruppe, da z.B. für 2 kein<br />
inverses Element in Z \ {0} existiert (2 · 1<br />
2 = 1).<br />
(e) Sei S n = {f : M → M | f bijektiv <strong>und</strong> |M| = n}. Dann ist S n mit der Komposition ◦ eine<br />
Gruppe (◦ ist assoziativ, id ist neutrales Element <strong>und</strong> die Umkehrabbildung von f ist das zu<br />
f inverse Element). Man nennt S n die symmetrische Gruppe. Sie ist nicht abelsch, da die<br />
Komposition von Abbildungen i.Allg. nicht kommutativ ist.<br />
2 <strong>Ringe</strong><br />
Sei R eine nichtleere Menge <strong>und</strong> + : R × R → R <strong>und</strong> · : R × R → R innere Verknüpfungen. Dann<br />
ist (R, +, ·) ein Ring (mit Einselement), wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind<br />
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe<br />
(ii) (R \ {0}, ·) ist ein Monoid<br />
(iii) a · (b + c) = a · b + a · c <strong>und</strong> (a + b) · c = a · c + b · c für alle a, b, c ∈ R.<br />
(Distributivität)<br />
Ist die Multiplikation · kommutativ, so nennen wir (R, +, ·) einen kommutativen Ring.
Beispiel 1.2<br />
(a) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring (siehe Beispiel 1.1 (c) <strong>und</strong> (d)).<br />
(b) Sei Z[i] := {a + bi | a, b ∈ Z}, wobei i die imaginäre Einheit bezeichne. Dann ist (Z[i], +, ·)<br />
mit der natürlichen Addition <strong>und</strong> Multiplikation ein kommutativer Ring. Man bezeichnet<br />
(Z[i], +, ·) als den Ring der Gaußschen Zahlen.<br />
(c) Sei R ein Ring <strong>und</strong> R[x] = { ∑ n<br />
k=0 a kx k | a k ∈ R, n ∈ N 0 }. Dann ist (R[x], +, ·) ein<br />
kommutativer Ring, der so genannte Polynomring in der Variablen x.<br />
(d) Sei n ∈ N 0 <strong>und</strong> K n×n die Menge der n×n-Matrizen über dem Körper K. Dann ist (K n×n , +, ·)<br />
mit der natürlichen Addition <strong>und</strong> Multiplikation ein Ring, der so genannte Matrizenring über<br />
K. (K n×n , +, ·) ist kein kommutativer Ring, da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ<br />
ist.<br />
(e) Jeder Körper ist insbesondere ein Ring.