Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(17) Zum Themengebiet Trigonometrie
(erstellt in Zusammenarbeit mit der Jacob-Grimm-Schule Rotenburg a.d.F.)
Vorschlag 17.1: Flussbreite ...............................................................................3
Mithilfe „mathematischer Ausrüstung“ und trigonometrischer Kenntnisse soll ein Verfahren
zur Bestimmung der Breite eines realen Flusses entwickelt und getestet werden
Vorschlag 17.2: Vermessungen.........................................................................4
„Wie kann man eigentlich die Höhe eines Berges bestimmen?“ Einführung in Vermessungen
mit Theodoliten inkl. Bauanleitung
Vorschlag 17.3: Dreieckswelle...........................................................................7
Empirische Entwicklung der Sinuskurve
Vorschlag 17.4: Gruppenpuzzle Sinuskurve.....................................................9
Mithilfe von Expertengruppen werden die Einflüsse der verschiedenen Parameter der
allgemeinen Sinusfunktion geklärt
Vorschlag 17.5: Tageslänge.............................................................................11
Modellierung der Tageslänge im Verlauf eines Jahres mithilfe trigonometrischer Funktionen
Vorschlag 17.6: Periodische Vorgänge............................................................13
Einführende Behandlung periodischer Vorgänge anhand eines Kühlschrank-Temperaturreglers
Vorschlag 17.7: Die aufgehängte Erdkugel.....................................................15
Variation der bekannten „Schnur um Erde“-Aufgabe mit erstaunlichem Ergebnis. Dabei muss
mit Hilfe der Trigonometrie eine Gleichung aufgestellt werden, für die es keinen Lösungsalgorithmus
gibt. Abhilfe schafft Probieren oder der Einsatz eines CAS
Vorschlag 17.8: Basketball..............................................................................17
„Wie muss man den Basketball werfen, damit er im Korb landet?“ Einige einfache
Modellierungen
Vorschlag 17.9: Dreiecke im Quadrat.............................................................20
Innermathematische Aufgabe mit u.a. einem trigonometrischen Lösungsweg

Vorschlag 17.10: Entfernungsberechnung .....................................................21
Mit Pappe, Gummiband und Trigonometrie werden Entfernungen zwischen verschiedenen
Städten bestimmt
Vorschlag 17.11: Stern....................................................................................22
Abstandsberechnungen an einem symmetrischen fünfzackigen Stern mit Hilfe der
Trigonometrie
Vorschlag 17.12: Buchstaben-Geometrie........................................................23
Untersuchung von Buchstaben mit Hilfe mathematischer Methoden
Vorschlag 17.13: Über den Wolken ................................................................25
Warum der Start eines Flugzeuges nur dank trigonometrischer Berechnungen für die
Passagiere zumutbar ist, soll Gegenstand dieser Aufgabe sein
Vorschlag 17.14: Wasserglas...........................................................................26
Trigonometrische Berechnungen an einem geneigten Wasserglas
Vorschlag 17.15: Hofmathematik ...................................................................27
Als berühmte Mathematiker erhalten die Schüler einen Brief zur Winkeldreiteilung, in dem
sie um Rat gefragt werden. Mit Hilfe des Kosinussatzes kann das Verfahren abgelehnt werden
Vorschlag 17.16: Methan................................................................................29
Beim Methan-Molekül können Bindungswinkel und die -länge zwischen Wasserstoff und
Kohlenstoff mithilfe einfacher trigonometrischer Berechnungen ermittelt werden
Vorschlag 17.17: Segler im Watt in Seenot.....................................................30
Um einen Plan zur Bergung eines Leck geschlagenen Schiffes zu entwickeln, bedarf es in
diesem Fall trigonometrischer Kenntnisse
Vorschlag 17.18: Internetadressen und Programme zur Trigonometrie........33
Verschiedene Internetadressen bzw. Programme zum Thema Trigonometrie
Vorschlag 17.19: Aufgaben zur Anwendung...................................................34
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung von Kenntnissen über Trigonometrie
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2

Vorschlag 17.1: Flussbreite
Bildet Gruppen aus 3-4 Personen
und überlegt euch ein möglichst
allgemeines Verfahren, um die
Breite von Flüssen zu bestimmen.
Folgende Materialien werden euch
dafür zur Verfügung gestellt:
1 Maßband
3 Pflöcke
1 Seil
1 großes Geodreieck, wie es für
die Tafel benutzt wird
1 langes Tafellineal
Testet euer Verfahren an einem realen Fluss oder Bach und versucht es
eventuell zu verbessern. Dokumentiert die Aktion mithilfe von Skizzen,
Fotos und Text auf einem Wandplakat.
Flussbreite: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Aktive Anwendung trigonometrischer Kenntnisse
Variationen der Aufgabe:
• Sollte kein Fluss in der Nähe sein, kann man entweder einen mit Kreide auf dem Schulhof
simulieren oder besser versuchen, die Höhe eines Gebäudes zu bestimmen.
Lösungen:
Zuerst steckt man mit zwei Pflöcken (A und B) an
einem Uferrand eine Strecke parallel zum Fluss ab
(Länge AB ). Danach steckt man den dritten Pfosten
auf der anderen Uferseite so in den Boden, dass die
Strecke AB und die Strecke BC orthogonal
zueinander stehen. Alternativ wird ein besonders gut
sichtbarer Punkt am anderen Ufer (z.B. ein Baum)
angepeilt. Nun bestimmt man mithilfe des Winkelmessers und des Tafellineals als
„Markierstab“ den Winkel α (Winkelmesser an die Strecke AB anlegen und den Punkt C
BC
mithilfe des Tafellineals anpeilen). Nun ergibt sich aus tanα
= die Lösung. Alternativ
AB
kann man auch ein normales Geodreieck und einen Strohhalm verwenden.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Gruppenarbeit
• Vielfältige Präsentationsmöglichkeiten (z.B. Markt der Möglichkeiten)
3

Vorschlag 17.2: Vermessungen
Auf einem Hügel namens Ffynnon Garw in Wales; um die Jahrhundertwende; zwei
Vermessungstechniker bei der Arbeit, zahlreiche Dorfbewohner warten gespannt auf das Ergebnis.
Pfarrer: Nun, wie hoch ist er?
1.Vermessungstechniker: Bitte, bitte vor uns liegen noch
stundenlange Berechnungen.
2.Vermessungstechniker: Ich fürchte, Sie werden noch etwas
Geduld aufbringen müssen, doch heute Abend wissen wir’s. […]
Dorftrottel:
Später wissen Sie’s dann. Wie denn?
2.Vermessungstechniker: Nun, wir haben Messungen
vorgenommen in Bezug auf die beiden Hügel da, die Höhe […]
kennen wir schon.
Dorftrottel: Wie wurden die denn gemessen?
2.Vermessungstechniker: Auf dieselbe Art, im Vergleich zu
anderen Hügeln.
Dorftrottel: Und wer hat die gemessen?
Pfarrer: Gott, mein Junge, Gott!!! …
Zitiert aus dem Film: „Der Engländer, der auf einen Hügel stieg und von einem Berg herunterkam“:
In diesem Film spielt Hugh Grant einen freundlichen Kartographen, der bei einer Landvermessung im
Sommer 1917 ungewollt eine ganze walisische Kleinstadt gegen sich aufbringt. Er erklärt den Berg,
auf den die Bürger so stolz sind, kurzerhand zum Hügel. Der Wirt des Ortes reagiert prompt: Der
übergenaue Engländer wird gefangen gesetzt, bis der Hügel von den Bürgern um die fehlenden fünf
Meter, und somit amtlich, zum 'Berg' erhöht wurde ...
Wie könnten die beiden Vermessungstechniker die Höhe des Berges gemessen
haben?
Quelle: Katja Maaß: Moderne Vermessungstechnik. In: Mathematische Unterrichtspraxis 21 /2000/ 4, S. 6-17.
Historisches zum Theodolit:
Seit dem 16. Jahrhundert ermöglicht die Erfindung des Theodoliten,
größere Distanzen und Flächen in der Vermessungstechnik auf völlig
neue Art zu bestimmen.
In seiner einfachen Form besteht der Theodolit aus einem Fernrohr, das
man um zwei Achsen (vertikal und horizontal) drehen kann. Teilkreise mit
Skalen gestatten, die Horizontalwinkel und Vertikalwinkel (Höhenwinkel)
zu messen.
Zwischen Theodolit und dem Gegenstand, dessen Höhe gemessen
werden soll, besteht Sichtverbindung. Mit Hilfe des Visierrohrs wird die
Spitze des Objekts angepeilt. Wenn das Fadenkreuz genau auf die Spitze
zeigt, kann der richtige Winkel am Höhenmesser abgelesen werden.
In den letzten Jahren wirkte sich die rasche Entwicklung der
Mikroelektronik revolutionierend auf die Entwicklung der
Vermessungsverfahren und Instrumente aus. Moderne Theodoliten
können nicht nur vertikale und horizontale Winkel, sondern mit Hilfe von
Infrarotstrahlen auch Entfernungen bis 3 km auf 2 mm genau messen. Die
Messdaten werden dann per Computer ausgewertet.
4

• Fächerübergreifende
Vermessungen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Bearbeitung einer offenen Fragestellung
• Bedeutung der Mathematik in technischen Instrumenten verdeutlichen
Variationen der Aufgabe:
• Die Informationen über den Theodolit können den Schülern erst später ausgehändigt
werden, um sie vorher nicht schon beim Bearbeiten der offenen Fragestellung zu
beeinflussen.
• Bau eines Theodoliten (Arbeitsaufträge und Anleitung auf der nächsten Seite):
Ziel:
• Praktische Anwendung trigonometrischer Kenntnisse kennen lernen
• Herstellen eines „mathematischen“ Instruments
Variationen der Aufgabe:
• Statt den Theodolit selbst zu bauen, kann man z.B. bei einer Universität oder der Stadt einen
Theodoliten ausleihen und/oder einen Experten bitten, die Funktionsweise zu demonstrieren
• Besuch eines Technikmuseums (in Kassel z.B. Astronomiemuseum in der Orangerie)
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Gruppenarbeit
• Besuch eines Technikmuseums: Expertenbefragung (siehe Variationen)
• Der Bau eines Theodolits kann z.B. innerhalb einer AG oder Projektwoche erfolgen.
• Fächerübergreifende Behandlung möglich (Physik, Geschichte, Erdkunde)
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partnerarbeit mit anschließender Diskussion im Plenum
Behandlung möglich (Physik, Geschichte)
5

a) Fertige zunächst eine Zeichnung an, die die Höhenmessung
mithilfe eines Theodolits darstellt. Schreibe im Anschluss daran
eine Gebrauchsanleitung, die einem Laien die (mathematische)
Funktionsweise des Theodolits erklärt.
b) Baut mithilfe der nebenstehenden Skizze
und der folgenden Materialliste den unten
abgebildeten einfachen Theodoliten und
messt die Höhe des Schulgebäudes
Quelle: Joachim Becherer: Einblicke Mathematik 10, Klett Verlag, Stuttgart 2001, S. 102f.
Materialliste zum Bau eines Theodoliten:
Stativ
• Stativbeine aus Holzlatten (5 cm x 2 cm x 110 cm)
[Ersatzweise kann man auch ein Fotostativ verwenden]
Horizontalskala
• Keksdose (∅ ca. 20 cm) zum Anbringen der Horizontalwinkel
• Horizontalskala an der Keksdose mit selbstklebendem Gewebeband versehen
Visierrohr
• Halterung für das Visierrohr aus Holzlatten (5 cm x 1 cm x 30 cm)
• Haltegriff aus Rundholz (∅ 2 cm)
• Visierrohr aus Pappe (∅ 4-5 cm, Länge ca. 40-50 mm)
Visierrohr vorn: eine kleine Öffnung (∅ 2 mm)
Visierrohr hinten: ein Fadenkreuz aus Bindfaden
Höhenwinkelmesser
• Ein großes Geodreieck (25 cm lang)
Senklot
• Lot für den Höhenmesser: ein kleiner Stein an einem Nähfaden oder ein Senkblei
6

Vorschlag 17.3: Dreieckswelle
7

Die vorherige Seite kopiert man am besten für jeden Schüler
und zieht sie einmal auf Overheadfolie. Nun gibt man den
Schülern den Arbeitsauftrag jeweils ein Dreieck mit einem
Punkt auf dem Einheitskreis und einem „Winkelstrahl“
(insgesamt gibt es in der obigen Zeichnung 24 solcher
„Winkelstrahlen“) als Hypotenuse zu zeichnen. Nun
bestimmt jeder Schüler für sein Dreieck die Länge der
Gegenkathete, und trägt diese in das Koordinatensystem als f(x) ein. Wenn alle
fertig sind, kann man die Ergebnisse auf der Overheadfolie sammeln und erhält
so die Sinuskurve.
Quelle: Wir basteln geometrische Körper, Verlag an der Ruhr.
Dreieckswelle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung der Sinuskurve
Variationen der Aufgabe:
• Enaktivierung und Dynamisierung durch „Kaugummi auf der Schallplatte“. Dabei kann
der qualitative Verlauf der Funktion bereits ermittelt werden.
• Statt die Sinuskurve kann man ebenso gut die Kosinusfunktion zeichnen lassen
• Parallele Entwicklung von Sinus- und Kosinusfunktion in verschiedenen Gruppen.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- und Gruppenarbeit
8

Vorschlag 17.4: Gruppenpuzzle Sinuskurve
Die allgemeine Sinusfunktion lautet: f(x) = a ⋅ sin (b ⋅ (x – c)) + d.
Um herauszufinden, welchen Einfluss die Parameter a, b, c und
d haben, bildet vier Gruppen a, b, c und d (so genannte
Expertengruppen) und bearbeitet die Aufgaben für eure Gruppe. Im
Anschluss daran werden die Gruppen untereinander so gemischt, dass
in jeder Gruppe mindestens ein Experte für jeden Parameter ist. Diese
so genannten Stammgruppen bearbeiten alle dieselben Aufgaben.
Zeichnet zunächst die Funktionen 1-5 und versucht herauszufinden, wie
sich eine Veränderung des Parameters auswirkt, um letztendlich eine für
alle verständliche Beschreibung seines Einflusses auf den Funktionsverlauf
zu erhalten.
Gruppe a
Gruppe b
1. f(x) = sin (x) 1. f(x) = sin (x)
2. f(x) = 2 ⋅ sin (x) 2. f(x) = sin (2 ⋅ x)
3. f(x) = - ½ ⋅ sin (x) 3. f(x) = sin (¾ ⋅ x)
4. f(x) = -4 ⋅ sin (x) 4. f(x) = sin (-4 ⋅ x)
5. f(x) = ¾ ⋅ sin (x) 5. f(x) = sin (- ½ ⋅ x)
Formuliert einen kurzen Text,
der den Einfluss des Parameters
a erläutert.
Gruppe c
Formuliert einen kurzen Text,
der den Einfluss des Parameters
b erläutert.
Gruppe d
1. f(x) = sin (x) 1. f(x) = sin (x)
2. f(x) = sin (x - π) 2. f(x) = sin (x) - ½
3. f(x) = sin (x + π/2) 3. f(x) = sin (x) + ¾
4. f(x) = sin (x + 2π) 4. f(x) = sin (x) - 3
5. f(x) = sin (x - π/2) 5. f(x) = sin (x) + π
Formuliert einen kurzen Text,
der den Einfluss des Parameters
c erläutert.
Formuliert einen kurzen Text,
der den Einfluss des Parameters
d erläutert.
Versucht die folgenden vier Funktionen ohne Wertetabelle zu zeichnen.
Stammgruppen
1. f(x) = 2 ⋅ sin (2 ⋅ (x - π)) - ½ 3. f(x) = ½ ⋅ sin (-1 ⋅ (x + 2π) - 1
2. f(x) = -3 ⋅ sin (½ ⋅ (x + π/2) + 2 4. f(x) = 0 ⋅ sin (π ⋅ (x - 2)) + 4
9

Gruppenpuzzle Sinuskurve: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übertragung der Verantwortung für den Lernprozess auf die Schüler
• Förderung der mathematikbezogenen Kommunikation zwischen Schülern innerhalb der
Experten- bzw. Stammgruppen
• Erkennen der geometrischen Bedeutung der verschiedenen Parameter
Variationen der Aufgabe:
• Einsatz des PCs!
• Hier kann man natürlich auch statt der Sinusfunktion die Kosinusfunktion betrachten
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Gute Binnendifferenzierung über die verschieden „schwierigen“ Parameter möglich
• Gruppenarbeit
10

Vorschlag 17.5: Tageslänge
Im Verlauf eines Jahres ändert sich aufgrund der
geneigten Erdachse die astronomische Sonnenscheindauer,
d.h. die Zeitspanne zwischen
Sonnenaufgang und -untergang. In unseren Breiten
ist die Sonne am 21.6. mit ca. 16,5 Stunden am
längsten und am 21.12. mit ca. 8 Stunden am
kürzesten zu sehen.
a) Wähle aus den folgenden drei allgemeinen trigonometrischen
Funktionen eine aus und stelle mit ihr eine Funktionsgleichung auf,
die die Tageslänge im Verlauf eines Jahres angibt (x-Achse:
Anzahl der Tage / y-Achse: Tageslänge).
1. f(x) = a ⋅ sin (b ⋅ (x – c)) + d
2. g(x) = a ⋅ cos (b ⋅ (x – c)) + d
3. h(x) = a ⋅ tan (b ⋅ (x – c)) + d
b) Bestimme mithilfe der Gleichung aus Aufgabe a) die Tageslängen
am 10. Juli.
c) In der folgenden Tabelle siehst du exemplarisch für jeden Monat
die astronomische Sonnenscheindauer für jeweils einen Tag
angegeben. Überprüfe, in welchen Monaten deine Funktion
besonders große bzw. besonders kleine Abweichungen von der
tatsächlichen astronomischen Sonnenscheindauer hat, und
versuche, deine Funktion zu optimieren.
Datum 21.01 21.02 21.03 21.04 21.05 21.06 21.07 21.09 21.10 21.11 21.12
Taglänge [h] 8,65 10,40 12,24 14,24 15,86 16,60 15,71 12,27 10,35 8,61 7,86
d) Wann ändert sich von einem auf den anderen Tag die Tageslänge
am meisten? Versuche herauszufinden, ob sich dies astronomisch
erklären lässt!
Quelle: Griesel; Postel: Elemente der Mathematik 11, Schroedel: 2000, S. 76f. (verändert)
11

Tageslänge: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Mathematisches Modellieren eines Naturphänomens
• Aufstellen trigonometrischer Funktionsgleichungen
Variationen der Aufgabe:
• Bestimmung einer Funktionsgleichung, die den Sonnenstand in der Mittsommersonne am
Nordkap beschreibt.
• Wahl anderer Parameter, abschnittsweise definieren einer Funktion, Wahl einer anderen als
einer trigonometrischen Funktion,…
Lösungen:
a) Modellierung durch Sinuskurve f(x) = a ⋅ sin (b ⋅ (x – c)) + d:
2π
Periodenlänge beträgt ca. 365 Tage. Damit klar: b =
365
Maximum wird am 21.6. (172. Tag) und. Minimum am 21.12. (355. Tag) angenommen.
16,5−
8
Folglich muss die Amplitude a als = 4, 25 festgesetzt werden. Der Mittelwert von
2
12,25 wird dabei ungefähr am 21.3. (dem 80. Tag) und 21.9. angenommen. Damit sind auch c
2
und d klar. Insgesamt erhalten wir: ( ) 4,25sin
⎛ π
f x
( 80) ⎞
= ⎜ ⋅ x − ⎟ + 12, 25.
⎝ 365 ⎠
b) Der 10. Juli ist der 191 Kalendertag. Demnach
2
( 191) 4,25sin
⎛ π
f =
( 191 80) ⎞
⎜ ⋅ − ⎟ + 12,25 = 16,26 ≈16
⎝ 365 ⎠
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
• Gut geeignet für den Einsatz von Computer
• Fächerübergreifende Zusammenarbeit mit dem Physiklehrer möglich
12

Vorschlag 17.6: Periodische Vorgänge
Der Thermostat eines Kühlschranks
schaltet das Kühlaggregat ein
sobald die Temperatur auf 4°C
steigt. Innerhalb von 5 Minuten wird
der Kühlschrank auf 3°C abgekühlt.
Nach 30 Minuten ist die Temperatur
wieder auf 4°C gestiegen und das
Kühlaggregat springt wieder an.
a) Zeichne einen möglichen Graphen der Funktion, die diesen Vorgang
für einen längeren Zeitraum beschreibt.
b) Solch einen Vorgang nennt man einen periodischen Vorgang.
Periodisch bedeutet dabei „in regelmäßigen Abständen
wiederkehrend“. Erläutere, was damit gemeint sein kann, und
entwickle eine Definition für „periodische Vorgänge“.
c) Untersuche die folgenden Zuordnungen und drei möglichst
unterschiedliche weitere reale Beispiele deiner Wahl darauf, ob es
sich um periodische Funktionen handelt. Begründe deine
Entscheidung. Gib ggf. einschränkende Bedingungen und die
Periodenlänge an.
i) Drehwinkel → Höhe der Kabine eines Riesenrades über dem Boden
ii) Zeit → Wasserstand der Fulda
iii) Weg → Höhe des Ventils über der Straße am Hinterrad
eines rollenden Fahrrads
d) Finde jeweils einen weiteren periodischen Vorgang in der Natur und
in technischen Geräten und beschreibe diese Vorgänge möglichst
genau mit deinen eigenen Worten.
Quelle: Jahnke et al: Analysis, Cornelsen: 2002, S. 101 (verändert).
13

Periodische Vorgänge: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung von periodischen Vorgängen
Variationen der Aufgabe:
• Aufgabenteil d) kann um etliche Beispiele erweitert werden. Vielleicht interessant: Ein
Punkt auf dem Inneren einer Tesafilmrolle wird markiert. Jetzt zieht man gleichmäßig am
Tesafilm. Ist die Zuordnung Zeit → Höhe des markierten Punktes auf der Tesafilmrolle
periodisch?
Lösungen:
• a)
Temperaturverlauf
Temperatur [°C]
4,5
4
3,5
3
2,5
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Zeit [min]
b) Beispiel: „In regelmäßigen Abständen wiederholen sich alle Funktionswerte.“ D.h.
misst man zu einem bel. Zeitpunkt die Temperatur und dann alle 35min wieder, hat
der Kühlschrank immer die gleiche Temperatur.
c) Natur: Tageslänge (von Sonnenauf- bis Sonnenuntergang) über ein Jahr verteilt,
Sonnenstand der Mittsommersonne am Nordkap (siehe Deckblatt), Tidenkurve,…
Technik: Backofen, EKG,…
d) i) periodisch: Jedem Winkel ist eindeutig eine Höhe der Kabine zugeordnet.
Dabei Höhe(α ) = Höhe(α + 360°). Winkel völlig unabhängig von Zeit,
Geschwindigkeit etc.
ii) nicht periodisch: wohl gewisse Regelmäßigkeiten innerhalb eines Jahres, die
durch Wetterlage beeinflusst werden, aber keine Periodizität.
iii) periodisch: Einschränkung: Hinterrad auf dem Boden ohne Durchrutschen, d.h.
Weg führt zu Höhenveränderung und Veränderung nur durch Zurücklegen von
Weg.
iv) ...
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
• Präsentation im Plenum (z.B. Wandzeitung, Demonstration, Folienvortrag) oder als
Marktplatz oder als Gruppenpuzzle
14

Vorschlag 17.7: Die aufgehängte Erdkugel
Bekannt ist die folgende Aufgabe:
Stell dir vor, du hättest eine Schnur, die genau 1 m
länger als der Erdumfang ist. Die Schnur werde dann
so gespannt, dass sie überall den gleichen Abstand
von der Erdkugel hat. Könnte eine Maus unter der
Schnur hindurchkriechen?
Eine schöne Variation ist die folgende Fragestellung:
Die um 1 m längere Schnur wird wieder um die Erde herumgelegt,
diesmal aber an einer Stelle soweit wie möglich von der Erdoberfläche
abgezogen. Wie weit kann man die Schnur abheben?
In der Literatur finden sich verschiedene Lösungen. Vergleiche und
bewerte!
Gegeben u = 40.000.000 m somit
r = 6.366.197,7 m. Gesucht: h.
Lösung:
r r
(1) h + r = ⇔ h = − r
cosα cosα
Ermitteln von α
a
(2) tan α =
r
(3) a = r ⋅α
+ 0, 5m
Aus (2) und (3) folgt:
r ⋅α
+ 0,5m
0, 5m
(4) tan α = ⇔ tanα
− α =
r
r
Mit Hilfe des Befehls SOLVE liefert der
TI92 mehrere Lösungen dieser Gleichung
(Periodizität der Tangensfunktion!). Es
kommt aber nur der Wert α = 0,006167 in
Frage, da weder negative Lösungen noch
solche, die größer als π sind, für die
Aufgabe relevant werden.
(5) Aus (1) und (4) folgt: h = 121,4144 m.
[...] Diese Ergebnis dürfte den
Schülerinnen und Schülern ziemlich
unglaubwürdig erscheinen. (Auch ich
selbst war zunächst sehr im Zweifel.) [...]
U = 2πR
+ 1
( π −α
) ⋅ R + 2R
⋅ tanα
U = 2
Eliminiert man hieraus U, dann ergibt sich
die Gleichung:
1= 2R
⋅ ( tanα −α )
Für die Bestimmung einer
Näherungslösung dieser Gleichung kann
man in der 10. Klasse dann das
Computeralgebrasystem verwenden. Aus
α lässt sich anschließend leicht die Höhe
h bestimmen:
R R
cos α = ⇔ h = − R
R + h cosα
Es ergibt sich als Lösung übrigens eine
Höhe von ca. 12m. Die in Schüleraugen
verblüffend große Höhe muss nun im
Nachhinein begründet werden [...].
Quelle: Werner Walsch: Die aufgehängte Erdkugel
und andere praxisferne Anwendungsaufgaben.
In: Math. Unterrichtspraxis (2000) H. 1, S. 31-35.
Quelle: Eberhard Endres: Computeralgebrasysteme
als Bindeglied zwischen Modellierung und
Problemlösung. In: Istron Band 6 (2000), S. 14-24.
15

Die aufgehängte Erdkugel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung der Trigonometrie
• Lösen einer Gleichung ohne Algorithmus
• Vergleich / Bewertung der gegebenen Lösungen
(Mögliche) Lösungen:
• Die Rechnung in der linken Spalte ist korrekt, die in der rechten Spalte ein schönes
Beispiel für den unreflektierten Einsatz eines Computeralgebrasystems: ( α −α )
ist viel zu klein, um daraus α einigermaßen genau zu bestimmen.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Für leistungsstarke Gruppen
• Gruppenarbeit
tan =
Bemerkungen:
• Schüler zunächst schätzen lassen!
• Auf die Ursache des Fehlers hat uns erst Arnold Kirsch aufmerksam gemacht. Er war von
dieser Aufgabe so fasziniert, dass er nach einer verständlichen Lösung gesucht hat. Diese
ist inzwischen erschienen: Kirsch, Arnold: „Die aufgehängte Erdkugel“ – mehr
Durchblick mit Näherungsrechnung. In: Praxis der Mathematik H. 2 (2002), S. 82-83.
1
2R
16

Vorschlag 17.8: Basketball
„Wie muss man den Basketball beim Freiwurf werfen, damit er im Korb
landet?“ Um sich darüber Klarheit zu verschaffen, ist es hilfreich,
folgende Fragen zu beantworten:
a) Wie groß muss der Einfallswinkel beim Korbwurf mindestens sein,
damit der Ball ungestört (ohne Berührung des Korbringes) und auf
direktem Wege (ohne Verwendung des Spielbretts) ins Netz fallen
kann?
b) Bei einem erfolgreichen Korbwurf geht idealerweise der Mittelpunkt
des Balles durch den Mittelpunkt des Korbringes. Aber auch bei
Abweichung von der Ideallinie ist ein erfolgreicher Wurf möglich.
Wie groß darf die Abweichung sein?
c) Wie groß darf die seitliche Winkelabweichung α (d.h. nach links
oder rechts) sein?
Quelle: Bardy, P. / Bardy, T.: Basketball und Trigonometrie, in: mathematik lehren (1999), Heft 95, S. 21-49.
17

Basketball: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Mathematische Modellierung einer Sportart
Lösungen:
a) Das Maß des Einfallswinkels nennen wir β. Den Durchmesser
des Balles nennen wir D B . Wir lassen D B zunächst variabel.
d
Nach der nebenstehenden Abbildung gilt dann: sin β = .
45cm
Wegen d D B muss also gelten: sin β ≥ . Nach den
45cm
offiziellen Basketballregeln gilt für den Umfang U B des Balles:
75 cm U B 78 cm. Daraus ergibt sich für D B :
75cm
78cm
D ,
π
≤ ≤ B
π
also
23,8…cm D B 24,8…cm.
Für einen Ball mit dem
kleinstmöglichen Umfang
erhalten wir demnach: β
32,0° (β 90°). Für einen Ball
mit dem größtmöglichen
Umfang ergibt sich: β 33,5°
(β 90°).
b) ÄL (siehe Skizze) ist vom
Einfallswinkel β abhängig. Es
gilt (D K ist der innere
Durchmesser des Korbringes:
FG AE
sin β =
D
= und
2 ⋅ ∆L
K
AE = FG − 2 .
r B
Daraus ergibt sich:
AE FG − 2r B
2 ⋅ ∆L
= =
=
sin β sin β
DK
⋅sin
β − DB
DB
= DK
− ,
sin β
sin β
1 ⎛ DB
⎞
also (1) ∆L = ⎜DK
− ⎟ .
2 ⎝ sin β ⎠
1
Wir argumentieren: Je größer β, desto größer sin β, desto kleiner , desto kleiner
sin β
D
B
D
, desto größer
B
DK
− , also auch desto größer ÄL.
sin β
sin β
ÄL ist am größten, wenn β am größten ist, nämlich wenn β = 90° beträgt. Dann gilt:
1
∆ L = ( DK
− DB
) = rK
− rB
. (Fortsetzung nächste Seite)
2
D B
18

Im Folgenden legen wir für U B das arithmetische Mittel von 75 cm und 78 cm
zugrunde (also 76,5 cm) und verwenden D B = 24,4 cm. Unter dieser Annahme
berechnen wir für ÄL die verschiedenen Werte von β:
β
ÄL
45° 5,2 cm
60° 8,4 cm
75° 9,9 cm
90° 10,3 cm
Indem wir in der Gleichung (1) ÄL = 0 setzen und den zugehörigen Winkel β geeignet
interpretieren, erhalten wir natürlich auch eine Antwort auf die erste Problemstellung:
DB
DB
D
K
− = 0 führt zu sin β = .
sin β
D
c) Das Maß des Winkels der maximal möglichen seitlichen
Abweichung bezeichnen wir mit α. Es gilt: r K – r B = 22,5 cm
– 12,2 cm = 10,3 cm. Gemäß der nebenstehenden Abbildung
10,3cm
ergibt sich: tanα
= .
2 2
h + L
Lassen wir L konstant, so gilt: Je größer ein Basketballspieler
ist, desto kleiner ist h, desto größer ist tan α.
Lassen wir h konstant, so gilt: Je weiter ein Basketballspieler
vom Korb entfernt ist, das heißt je größer L ist, desto kleiner
ist tan α und damit auch α. Wir berechnen einige Werte von
α:
h L α
70 cm 423 cm Freiwurf 1,38°
90 cm 423 cm 1,36°
130 cm 423 cm 1,33°
90 cm 200 cm 2,69°
90 cm 600 cm 0,97°
K
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Komplexe Aufgabe – eher für leistungsstarke Lerngruppen geeignet (vor allem Teil b)
• Partner- oder Kleingruppenarbeit
• Eventuell Ermittlung der Daten und Durchführung praktischer Tests in einer Turnhalle
19

Vorschlag 17.9: Dreiecke im Quadrat
C
h
a
A
B
Oben abgebildet siehst du ein Dreieck, dass in ein Quadrat „eingepasst“
wurde.
a) Mache möglichst viele (mindestens 5) mathematische Aussagen
über die Figuren (z.B. über Flächeninhalte, Winkel,...).
b) Verschiebe den Punkt C auf der Höhenlinie h so, dass das
entstehende Dreieck Ä ABC’ gleichseitig ist. Wie groß ist dann h’?
Beantworte die Frage mit und ohne Trigonometrie!
c) Wie viel Prozent der Gesamtfläche nimmt das neue Dreieck ein?
Dreieck im Quadrat: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung geometrischer / trigonometrischer Kenntnisse
Variationen der Aufgaben:
• Durch eine ebensolche Verschiebung von C ein Dreieck zu bestimmen, dass z.B. ein
Viertel des Flächeninhalts des Quadrats aufweist (weitere Vernetzungen möglich, z.B.
Prozent Flächeninhalt, halber Flächeninhalt, Höhe, Länge, …).
(Mögliche) Lösungen:
2h'
• Das Dreieck ist gleichseitig, also sind alle Winkel 60° und es gilt tan 60° = . Wegen
a
a
tan 60° = 3 folgt: h ' = 3
2
• Eine weitere Lösungsmöglichkeit: Die Kantenlänge des Quadrats ist a. Dann soll für das
Dreieck laut Pythagoras gelten: (½a) 2 + h’ 2 = a 2 . Daraus folgt dann die Lösung für h’ und
somit kann das gleichseitige Dreieck gezeichnet werden.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
20

Vorschlag 17.10: Entfernungsberechnung
Klebe die folgende Karte auf ein Stück Pappe uns schneide die
Kerben (auf der rechten Seite und bei Kassel) ein.
Spanne dann ein Gummiband durch die Kerbe bei
Kassel und einer Kerbe auf der rechten Seite
75°
Quelle: Rübsam, Peter-M.: Trigonometrie. 10. Schuljahr, Cornelsen, Berlin 1999
Berechne die Luftlinienentfernung von der Stadt Kassel zu einigen
anderen Städten!
a) Bestimme die reale Entfernung von Kassel nach Erfurt.
b) Bestimme die Entfernung zu 3 weiteren Städten, indem du das
Gummi auf der rechten Seite in die Kerben einspannst.
c) Beurteile das Verfahren.
Entfernungsberechnung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• HANDlungsorientierte Anwendung trigonometrischer Kenntnisse
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
21

Vorschlag 17.11: Stern
Ein fünfzackiger Stern, wie abgebildet,
soll völlig symmetrisch sein
(alle fünf Linien sind gleich lang und
alle gleichartigen Innenwinkel gleich
groß).
Die Gesamtlänge der Linien sei 1000
mm, d.h. dass bei der Zeichnung des
Sterns ein Bleistift ohne das Papier
zu verlassen 1000 mm zurückgelegt
hat.
Wie groß ist der Abstand von einer
Sternspitze bis zum Mittelpunkt des
Sterns?
Quelle: Fich, Ole: Mathelogik, Viborg (Dänemark) 2001, S. 99.
Stern: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Verknüpfung trigonometrischer Sachverhalte mit anderen geometrischen Kenntnissen
Lösungen:
• Von jeder Sternspitze gehen zwei Linien aus. Wenn man sich
vorstellt, dass der Stern von einem Kreis umgeben ist, bei dem
die fünf Sternspitzen genau auf dem Kreisrand liegen, wird
deutlich, dass der Winkel zwischen den beiden Linien der
Sternspitze 36 Grad betragen muss (Umfangswinkelsatz oder
Winkelsumme). Zeichnet man eine Linie von einer
Sternspitze zum Mittelpunkt des Sterns und eine Linie vom
Zentrum des Sterns rechtwinklig zu einer der beiden Linien
von der Sternspitze, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck,
bei dem man den Abstand von einer Sternspitze zum
Mittelpunkt folgendermaßen berechnen kann:
100mm
s = = 105mm
cos18°
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
22

Vorschlag 17.12: Buchstaben-Geometrie
Einige Buchstaben sind hervorragende Repräsentanten für die Geometrie. Schauen
wir uns z.B. den Buchstaben N an – er besteht aus zwei senkrechten Linien und
einer schrägen Linie. Der Buchstabe ist ca. doppelt so hoch wie breit. Wir nehmen
eine Breite von 5 cm an. Damit beträgt die Höhe 10 cm.
a) Wenn wir uns vorstellen, dass die linke senkrechte Linie sich nicht bewegt,
während sich die rechte senkrechte Linie von der feststehenden Linie
fortbewegt – wie weit muss diese Linie verschoben werden, damit sich die
Länge der schrägen Linie (siehe Abbildung) verdoppelt?
10 cm
x
2x
5 cm
5 cm + ?
b) Wenn wir die senkrechte Linie weiter parallel verschieben, so dass sich die
Länge der schrägen Linie wiederum verdoppelt (d.h. eine Vervierfachung im
Vergleich zur ursprünglichen Linie) – muss die Linie dann im Vergleich zur
ersten Verschiebung um mehr oder um weniger verschoben werden?
Schauen wir uns jetzt einmal den Buchstaben
A an – er besteht aus zwei schrägen Linien
und einem Querstrich. Wir nehmen an, dass
der Winkel zwischen den beiden Schräglinien
30° beträgt. Wenn wir uns jetzt vorstellen,
dass die beiden „losen“ Enden der beiden
Schräglinien mit einer geraden Linie
verbunden werden, so bilden diese ein
Dreieck (siehe Abbildung). Der Querstrich des
Buchstaben A teilt das Dreieck in zwei
Bereiche. Wir zeichnen eine Hilfslinie in Form
einer Senkrechten vom höchsten Punkt zur
Grundlinie.
c) Wenn wir den unteren Punkt der Hilfslinie mit 0% bezeichnen und den
obersten Punkt mit 100%, bei welchem Prozentsatz muss dann der Querstrich
die Hilfslinie schneiden, wenn die beiden Flächen (geteilt durch den Querstrich
des A’s) gleich groß sein sollen?
d) Wie lang ist der Querstrich in diesem Fall?
Quelle: Fich, Ole: Mathelogik, Viborg (Dänemark) 2001, S. 56 (leicht verändert).
23

Buchstaben-Geometrie: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Behandlung von Geometrie als Stilmittel
• Anwendung trigonometrischer Kenntnisse / Pythagoras
• Vernetzung mit Prozentrechnung
Variationen der Aufgabe:
• Andere Buchstaben oder symmetrische Symbole können für ähnliche Aufgaben verwendet
werden. Eventuell können die Schüler als Hausaufgabe sich selber eine ähnliche Aufgabe
mit Lösung überlegen.
Lösungen:
a) Ausgehend vom Satz des Pythagoras muss die Länge der Diagonalen √125 cm
betragen. Das Doppelte hiervon ist √500 cm. Die Länge der senkrechten Linie ist
unverändert 10 cm und damit 100, wenn sie quadriert wird. Die Breite zum Quadrat
muss daher 400 sein, wenn die Summe 500 betragen soll. Die Quadratwurzel aus 400
ist 20, d.h. die neue Breite ist also 15 cm größer als vorher.
b) Die Verdopplung entspricht in diesem Fall einer schrägen Linie mit der Länge √2000
cm, und da die Länge der senkrechten Linie unverändert ist, muss die Breite des
Buchstabens √1900 cm = 43,6 cm sein, was einer Vergrößerung um ca. 23,6 cm
entspricht.
c) Wenn wir die Länge der senkrechten Linie als 1 definieren, muss die Fläche des
großen Dreiecks (das ganze A) sein: A (großes Dreieck) = ½ ⋅ tan 15° ⋅ 1 ⋅ 2 = tan 15°.
Der Querstrich soll nun entsprechend der Hälfte der Fläche des As platziert werden.
Wenn wir die Länge der Linie, die von der Spitze des As rechtwinklig zum Querstrich
verläuft, b nennen, ist die Fläche des Dreiecks über dem Querstrich: A (kleines
Dreieck) = ½ ⋅ b ⋅ b ⋅ tan 15° ⋅ 2 = b 2 ⋅ tan 15°. Dies soll gleich ½ ⋅ tan 15° sein,
weshalb b = √0,5 0,707 entsprechend 70,7% ist, oder 29,3%, von unten nach oben
gemessen.
d) Die Länge der Querlinie beträgt: L = 2 ⋅ √0,5 ⋅ tan 15° 0,379.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
• Erweiterte Hausaufgabe → Vortrag der Ergebnisse (siehe Variationen)
24

Vorschlag 17.13: Über den Wolken …
Doris Trump ist Pilotin eines Passagierflugzeuges. Sie ist
dafür verantwortlich, dass sich ihre Gäste während des
Fluges wohlfühlen. Vor allem beim Start hat sie darauf zu
achten, dass nach dem Abheben vom Boden eine
Steigung von 23 % nicht überschritten wird.
Die Steigung von 23 % = 0,23 wird aus dem Quotienten von Höhen- und
Horizontalunterschied ermittelt:
Höhenunterschied
Steigung = .
Horizontalunterschied
Unsere Pilotin Doris Trump hat es da einfacher – ganz
ohne Rechnerei. Sie schaut nur auf das
Steigungsmessgerät im Cockpit ihres Flugzeuges.
Dieses zeigt nämlich den Winkel an, den die
Flugstrecke mit der Horizontalstrecke bilden soll. Man
nennt diesen Winkel Anstellwinkel, d.h. dieser Winkel
wird von der Pilotin eingestellt, der tatsächliche Ansteigwinkel ist aber ein
anderer. Dabei ist die Differenz vom tatsächlichen Ansteig- und dem
theoretischen Anstellwinkel u.a. von Richtung und Stärke des Windes
sowie vom Luftdruck abhängig.
Doris Trump hebt mit ihrer Maschine Richtung
London ab. Vom Steigungsmessgerät liest sie
einen Steigungswinkel von 16° ab.
a) Wie groß ist die Steigung des Flugzeuges in Prozent?
b) Gib die tatsächlich geflogene Steigung in Prozent an, wenn wir
annehmen, dass der Ansteigwinkel der Boing 747-400 um 3°
kleiner ist als der Anstellwinkel.
Quelle: RAAbits Reihe 5 Material S 5 (leicht verändert).
Über den Wolken …: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung des Steigungsbegriffs
• Darstellung trigonometrischer Anwendungen in der Realität
Lösung:
• a) 28,67 %; b) tan13°
≈ 23,09 %
25

Vorschlag 17.14: Wasserglas
Auf einem runden Tisch in einem Flugzeug steht
ein zylindrisches Glas, das bis zum Rand mit
Wasser gefüllt ist. Das Glas ist 12 cm hoch und
hat einen Durchmesser von 8 cm. Wir nehmen
an, dass das Glas so dünn ist, dass wir im
Folgenden von der Dicke des Glases absehen
können. Außerdem sehen wir von besonderen
physikalischen Eigenschaften wie der Oberflächenspannung
des Wassers ab.
Wenn sich das Flugzeug beim Hochsteigen um 20 Grad im Verhältnis
zur Erdoberfläche neigt, wie viel Wasser läuft aus dem Glas? Wie viel
Prozent des ursprünglichen Inhalts sind dies?
Wasserglas: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Aufstellen und Lösen einer trigonometrischen Problemstellung, die zunächst als solche
nicht unmittelbar erkennbar ist
Lösungen:
Klar: Das verbliebene Wasser steht bis zu einer unbekannten Höhe h. Kippt man das Glas, ist
der Flüssigkeitspegel an dieser Stelle höher als h, sagen wir h + x. Auf der anderen Seite des
Glases ist dann der Pegel natürlich gerade h – x (Strahlensatz)..
Also müssen wir den Abstand bis zum oberen Rand (2x) bestimmen, wenn es auf der
gegenüberliegenden Seite gerade am Rand ist.
Dazu denken wir uns ein rechtwinkliges Dreieck in das Glas gelegt, bei dem eine Kathete der
(obere) Durchmesser des Glases ist, die Hypotenuse auf der Wasseroberfläche entlangläuft
und die andere Kathete gleich der gesuchten Länge y = 2x
ist.
In diesem Dreieck gilt für die gesuchte Länge offenbar: y = tan( 20°
) ⋅8
cm
1
2
3
Also ist das verschüttete Volumen: V = ⋅(4cm)
⋅π ⋅8cm
⋅tan(
20°
) ≈ 73cm
und dies sind ca.
2
12% des ursprünglichen Inhalts.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
26

Vorschlag 17.15: Hofmathematik
Stell dir vor, du bist Hofmathematiker am Hofe König Rudolfs II, der in Prag residiert.
Wir schreiben das Jahr 1610 nach Christi Geburt. In dieser Zeit ist es üblich, dass
gelehrte Damen und Herren der Mathematik, Astronomie und Physik miteinander in
Briefen kommunizieren, einander neue Entdeckungen mitteilen und Probleme
miteinander diskutieren.
Als berühmter Mathematiker erhältst du des Öfteren Post von dir unbekannten
Leuten, die dir ihre (manchmal vermeintlichen) Entdeckungen mitteilen und dich um
Stellungnahme bitten.
Einen ebensolchen Brief hast du soeben von dem Sohn eines reichen Gutsbesitzers
und Handelsherren, Bartholomäus Schobinger aus St. Gallen, erhalten, der ein
antikes, weltberühmtes Problem gelöst haben will. Es geht um die konstruktive
Dreiteilung eines Winkels allein mit Zirkel und Lineal. Dieses bis dahin ungelöste
Problem wurde von dem Griechen einige Jahrhunderte vor Christus gestellt. Viele
berühmte Mathematiker haben sich schon die Zähne an diesem Problem
ausgebissen, und nun schreibt dieser Schobinger, er habe eine Lösung gefunden.
St. Gallen, 3. Februar 1610
Hochgeehrter Mathematiker, Freund der Wissenschaften und
der bildenden Künste, königlicher Würdenträger, Entdecker
vieler Wahrheiten Gottes,
ich getraue mich kaum, an einen Mann solchen Ruhmes und solcher
Geisteskraft mein bescheidenes Wort zu richten. Doch die Resultate
meiner Arbeiten sind so unfasslich, dass ich sie nicht mehr weiter nur
für mich behalten kann. Ich glaube, mit Gottes Hilfe das alte
Problem der Winkeldreiteilung gelöst zu haben, und bitte nun um
Ihren werten Kommentar. Ich beschreibe im Folgenden das
Verfahren, mit dem es mir gelungen ist, jeden beliebigen Winkel allein
mit Zirkel und Lineal zu dritteln.
Um den Scheitel des Winkels ziehe ich einen Kreisbogen beliebiger
Größe. Dieser schneide die Schenkel des Winkels in den Punkten A
und B. Im Punkt A errichte ich ein Lot zur Sehne AB und trage auf
ihr die doppelte Länge des Radius des Kreisbogens ab und erhalte den
Punkt C. Verbinde ich den Scheitel mit diesem Punkt C und über ihn
hinaus, erhalte ich den Strahl, welcher den ursprünglichen Winkel
drittelt.
Ich habe diese Konstruktion an männiglich vielen Winkeln
ausprobiert, speziell an den Winkeln 15°, 30°, 60° und 90° und beim
Nachmessen die Drittelung des Winkels feststellen können.
Ich wage es nicht, Sie zur Eile zu drängen, warte aber in höchster
Ungeduld auf Ihre Antwort. Möge der allmächtige und barmherzige
Gott Sie beschützen und leiten.
Bartholomäus Schobinger
Quelle: Heinz Boer: Ideenkiste. In. Mathematik lehren (1997) H. 83, S. 68f (verändert).
27

Hofmathematik: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einblicke in die (historische) Arbeitsweise der Mathematik gewinnen
• Unvollständigkeit der Mathematik erkennen
• Ungenauigkeit eines mathematischen Verfahrens dank trigonometrischen Wissens
erkennen
Variationen der Aufgabe:
• Der damalige Hofmathematiker von Rudolf II. war Johannes Kepler.
(Mögliche) Lösungen:
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
28

Vorschlag 17.16: Methan
Methan (Summenformel CH 4 ) ist die einfachste Kohlenwasserstoffverbindung.
Es bildet sich dort, wo organische
Substanzen unter Luftabschluss verfaulen, was
dazu führt, dass es die Hauptsubstanz von Erdgas,
Grubengas, Sumpfgas, Faulgas und dem
sogenannten "Biogas" bildet. Die Molekülformel
CH 4 und die Strukturformel (siehe links) sagen
jedoch noch nichts über die räumliche Anordnung der Atome
aus. Durch die gegenseitige Abstoßung der Elektronen bildet sich ein
Tetraeder, in dessen Mittelpunkt sich das C-Atom befindet. Die „Orbitale“
um die Atome im unteren Bild sind die Bereiche, wo man die jeweiligen
Atome mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit antreffen kann. Am
wahrscheinlichsten ist, dass sich die Wasserstoffatome an den
Eckpunkten des Tetraeders aufhalten.
a) Berechne den Bindungswinkel im
Methanmolekül, d.h. den Winkel HCH.
b) Die Kantenlänge des Tetraeders beträgt 177
Pikometer. Wie groß ist die Bindungslänge
zwischen Wasserstoff und Kohlenstoff, d.h.
welchen Abstand haben diese beiden
Atome?
Methan: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Fächerübergreifende Behandlung
• Realitätsbezogene Anwendung trigonometrischer Berechnungen
Variationen der Aufgabe:
• Betrachtung anderer Moleküle
Lösungen:
• Bindungswinkel: 109,5°; Bindungslänge: 109 Pikometer
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partnerarbeit
• Evtl. Zusammenarbeit mit dem Chemielehrer
29

Vorschlag 17.17: Segler im Watt in Seenot
Arbeitsblatt Trigonometrie
Segler im Watt in Seenot
− Von Richard Maydorn (06.03.2002) −
Die häufigsten Ursachen für Seenotfälle sind mangelnde Erfahrung und
Navigationsfehler von Hobbyskippern, die jährlich zu über tausend Einsätzen
der Seenotrettungsflotte der DGzRS (Deutsche Gesellschaft zur Rettung
Schiffbrüchiger) führen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen:
Bei einer Überführungsfahrt von Wilhelmshaven nach Harlesiel fährt der Skipper des
oben gestrandeten Segelschiffs „Mary III“ durch das schmale und flache
Wattfahrwasser zwischen Festland und der ostfriesischen Insel Wangerooge. Dichter
Nebel behindert die Sicht zunehmend und plötzlich ein lauter Krach: Das Schiff sitzt
fest und ein Gurgeln kommt aus dem Schiffsrumpf: Das Schiff ist Leck geschlagen!
Der Skipper notiert im Logbuch: „...12 21 Uhr: Schiff ist leck; sitzt fest; Position
53°45’4’’N 7°52’6’’E.“ Der
Wassereinbruch im Maschinenraum
hat die elektrische Anlage
außer Kraft gesetzt, so dass
man sich nun nicht mal über
UKW-Kanal 16 bei „Bremen
Rescue“, dem MRCC (Maritime
Rescue Coordination Center)
Bremen melden kann; andere
Seenotsignalmittel stehen nicht
zur Verfügung. Halb so schlimm,
denkt man sich an Bord,
immerhin hat der Ebbstrom
eingesetzt, so dass der Schaden
bei Ebbe (Niedrigwasser: 17 50
Uhr) begutachtet werden kann.
Vor der nächsten Flut muss
allerdings Hilfe eintreffen, damit
das Schiff gelenzt, freigeschleppt
und nach Harlesiel
gebracht werden kann. [...]
Entwickle mit Hilfe der Trigonometrie sinnvolle Lösungsmöglichkeiten, wie der
Skipper sein Boot vor dem Totalschaden bewahren kann. Bestimme dabei auch
mögliche Zeiten bis zu einer Rettung. Bewerte anschließend Deine Lösungen!
Zusatzinformationen:
• Zur Orientierung: Der Wangerooger Fährhafen befindet sich auf 53°46’6’’N 7°51’2’’E.
• Entfernungsmessung auf Seekarten: Eine Seemeile entspricht dem Abstand einer Minute (0°1’) am linken
oder rechten Kartenrand. [Merke: Miss nie die Entfernung am oberen oder unteren Kartenrand ab!!!]
• Wenn man sich zu Fuß im Watt bewegt, kommt man ungefähr mit einer Geschwindigkeit von 3,5 km/h voran
• Die Zeit bis zum Ausrücken des in Wangerooge stationierten Seenotrettungsbootes „Wilma Sikorski“ dauert
vom Eingehen des Notrufes bei MRCC Bremen, über die Alarmierung per Pieper, die Anfahrt mit dem
Geländejeep zum Fährhafen, ungefähr 13 Minuten.
• Die Höchstgeschwindigkeit des Seenotrettungsboots „Wilma Sikorski“ beträgt 18 Knoten.
• 1 Knoten (kn) entspricht einer Geschwindigkeit von 1,852 km/h.
• Der Priel zwischen dem Segelschiff und der Nordseeinsel Wangerooge ist nur im Zeitraum von 30 Minuten
vor und nach dem Niedrigwasser gefahrlos passierbar.
30

Segler im Watt in Seenot: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Arbeitsblatt Trigonometrie
Segler im Watt in Seenot
(Kommentar und Lösungsansätze)
− Von Richard Maydorn (10.03.2002) −
Ziel:
Diese Aufgabe dient u.a. dem Anwenden des
gelernten Sinussatzes und anderer
trigonometrischer Definitionen und Sätze. Zudem
können anhand dieser Aufgabe allgemeinbildende
Aspekte verdeutlicht werden. Allgemeinbildendes
Ziel ist, dass die Schüler lernen sollen, wie man Seekarten (in der üblichen
Merkatorprojektion) liest, Positionen bestimmt, Standorte einträgt, sie wieder abliest,
Peilwinkel einträgt und ablies t und Fahrtrichtungen von Schiffen bestimmt. Man könnte
diese Aufgabe sicherlich auch zum Auftakt einer Sportboot-Führerschein-AG anwenden. Die
Schüler sollen zudem lernen sich mit einem Problem, das keine eindeutige Lösung hat,
auseinanderzusetzen: Das Problem idealisieren und es in ein mathematisches Modell bringen,
Lösungen bestimmen und diese rückblickend interpretieren und beurteilen. Da sich die
Aufgabe sowohl mathematisch-rechnerisch, wie geometrisch oder durch seemännisches
Messen (mit Geodreieck und Zirkel) lösen lässt, sollen die Schüler zudem die Vielfältigkeit
der Mathematik erfahren. Da sich diese Aufgabe ohne Messen und Abschätzen ohnehin nicht
lösen lässt, sind die Schüler geradezu gezwungen Startwerte, die zu einer Rechnung benötigt
werden, selbst zu ermitteln.
Hintergrundinformationen:
Die Geschichte mit dem hier in Seenot geratenen Segelschiff ist erfunden, wobei sie auf
mehreren kombinierten Real-Seenotfällen basiert. Die Zusatzinformationen entsprechen in
soweit der Wahrheit, als dass die Fußgeschwindigkeit im Watt (man kann im Schlickwatt tief
einsinken) und die Anfahrtszeit des Geländejeeps zum Hafen (Eintreffen der Rettungsmannschaft
und Abfahrt des Geländejeeps) als plausible Richtwerte angenommen werden können.
(Mögliche) Lösungen:
Die Schüler müssen erst mal die verwegene Lage, in die sich der Skipper buchstäblich
hineinmanövriert hat, erschließen: Es gibt keine Möglichkeit auf herkömmliche Weise Hilfe
zu holen. Weder Funk noch fernmündliche Notrufmöglichkeiten oder Sichtsignale führen
zum Erfolg; es gibt nicht mal Seenotsignalbaken in diesem Wattbereich. Der Skipper muss
also auf dem „Landweg“ Hilfe holen lassen. Nun besteht die Schwierigkeit allerdings darin
zu entscheiden, wohin gelaufen werden soll. Betrachtet man die Karte, so fallen einem die
gestrichelte Höhe oder einer der beiden Schenkel als Entfernung zur Insel ins Auge. Warum
gerade der Schnittpunkt mit der Höhe mit der Verbindungslinie der beiden Leuchttürme? –
Ein Insidertipp hilft vielleicht weiter: An diesem Punkt stehen Pensionen. Westlich des
besagten Punkts befinden sich keine Häuser, zudem ist Schlickwatt und ein Naturschutzgebiet
der Insel vorgelagert, östlich hingegen befindet sich ein sehr tiefer Priel und ein schlecht zu
durchquerendes Naturschutzgebiet und eine Pferdekoppel, keine Telefonzelle und auch kein
Haus. Hier kann man viel herumprobieren, Winkel messen, die Entfernung zwischen den
Leuchttürmen bestimmen und mit Hilfe des Kosinussatzes die kürzeste Entfernung auf die
Verbindungslinie der beiden Leuchttürme bestimmen oder den Abstand in den Zirkel nehmen
und am linken Kartenrand abmessen.
31

Lösungen:
• Kurs Segelschiff – neuer Leuchtturm (westlich): 10° rwK
• Kurs Segelschiff – alter Leuchtturm (östlich): 329° rwK (rechtweisender Kurs = „Kartenkurs“)
• Entfernung zwischen den beiden Leuchttürmen (gemessen): 1,5’ = 1,5 sm = 2,778 km
• Kürzester Weg Segelschiff – Wangerooge (gemessen): 1,9’ = 1,9 sm = 3,5188 km
• Kürzester Weg Segelschiff – Wangerooge (erst Sinussatz, dann Sinusdefinition):
Dargestellt ist hier der Lösungsbruch (Lösung über den rechten Schenkel).
cos10
1,5
sin 59 °
h = °⋅ ⋅ = 1,856628≈
3,438
sin 43°
Haben wir erst mal diesen Lösungsweg eingeschlagen, kommen wir zum nächsten Problem:
Ebbe und Flut, Hochwasser und Niedrigwasser. Der Priel der zwischen Wangerooge und den
auf Grund gelaufenen Segelschiff liegt, ist nur zwischen 17 20 und 18 20 Uhr gefahrlos zu
durchqueren. Den Abstand Priel - Segelschiff muss man ausmessen: 0,6 sm entsprechend
1,1112 km. Um nicht am Priel warten zu müssen, wird genau so losgelaufen, dass der Priel
um Punkt 17 20 Uhr durchquert werden kann; daraus ergibt sich folgende Rechnung:
Irgendjemand muss also um 17 01 Uhr loslaufen. Dieser Jemand ist
dann, nach der gemachten Annahme, er oder sie laufe 3,5 km/h im
Watt, eben um 17 20 Uhr am Priel. Bis die Person schließlich die Insel
erreicht hat und einen Notruf absetzen kann, vergehen Minuten:
3,5km
= ˆ 60Minuten
1km
= ˆ 17,1Minute
1,1112km
= ˆ 19Minuten
Um 18 01 Uhr kann also frühestens „Bremen Rescue“ über
die missliche Lage der „Mary III“ informiert werden. Nach
weiteren 13 Minuten ist das Seenotrettungsboot „Wilma
Sikorski“ einsatzbereit im Wangerooger Hafen.
1,9sm−
0,6sm
= 1,3sm
≈ 2,4km
2,4×
171, min = 41min
Nun muss man sich überlegen wie genau man die Strecke bestimmt: Mit einem Faden oder
mit zwei einfache Geraden? – Egal wie man’s macht, man bekommt ungefähr eine
Fahrstrecke von zwei Seemeilen Länge heraus, die vom Seenotrettungsboot mit der
Höchstgeschwindigkeit von 18 Knoten zurückgelegt wird. Man muss allerdings aufpassen,
und hier ist die Kartenkunde gefragt, dass der Kurs des Seenotrettungsboots nicht durch
solche Gebiete führt, die bei Niedrigwasser trocken fallen. Für die Strecke von 2 sm benötigt
„Wilma Sikorski“ ungefähr 7 Minuten. Hilfe trifft nach diesem Modell frühestens um 18 21
Uhr ein, d.h. seit dem Festlaufen sind bis zum Eintreffen der Retter genau sechs Stunden
vergangen. Eine Bewertung bleibt dem Leser überlassen!
Variationen der Aufgaben:
• Gibt es evtl. noch andere kürzere „Rettungswege“?
• Gibt es andere Kommunikationsmittel, die besser hätten helfen können?
• Welchen Fehler haben Skipper und Crew gemacht?
• Welche Sicherheitsvorschriften gelten eigentlich auf See?
• Wie wird dieses Problem in Realität gelöst, etwa so kompliziert mathematisch?
• Was soll der Skipper tun, wenn keine fremde Hilfe eintrifft?
• ...
32

Vorschlag 17.18: Internetadressen und Programme zur Trigonometrie
1. http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/j10/trigonom/trigonom.htm
2. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/1-Start.htm
3. http://www.mathe-material.de/startpage.html
4. http://www.zum.de/ma/fendt/md/sincostan.htm
5. http://home.t-online.de/home/rudolf/Link/mathe.htm#Trigonometrie
6. http://schulen.eduhi.at/mam/hubert/3hak/sin06.htm
7. http://www.mathe-material.de/main_pages/u-mat-10.html
8. http://home.a-city.de/walter.fendt/md/sincostan.htm
9. http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/kurz/seminar/www.stud.unibayreuth.de/kurz/mathesem_ss01/mdidsem_ss01_node3.html
10. http://www.blk.mat.uni-bayreuth.de/~thomas/geosem/trig/Trigonometrie0.htm
11. http://christo.mathematik.uni-bielefeld.de/trigonometrie
12. http://home.arcor.de/rkrell/m-fv10.htm
13. http://www.nw.schule.de/st/goethe-ibb/mathe/1a.htm
14. http://www.nw.schule.de/st/goethe-ibb/mathe/1c.htm
15. http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr.htm
16. TRIGONOMETRIE aus der HEMMING-Lernsoftware-Serie "LEICHT
GELERNT" von Brigitte Draxler und Andrea Ferlin
17. Mathematik. Trigonometrie. TR-Verlags-Union, München
33

1
2
Vorschlag 17.19: Aufgaben zur Anwendung
Durch die Bewegungen des Herzmuskels entstehen elektrische Spannungen (in
mV). Man misst diese und zeichnet den zeitlichen Verlauf auf. So entsteht,
vereinfacht ausgedrückt, ein Elektrokardiogramm (EKG), wie unten abgebildet.
Was deutet
darauf hin, dass
der Patient, bei
dem dieses EKG
gemacht wurde,
keine Probleme
mit dem Herzen
hat?
Ein Punkt P bewegt sich mit gleich bleibender Geschwindigkeit um das Quadrat in
Fig. 1 herum. Fig. 2 zeigt den Graphen der Funktion f: Zeit Abstand des Punktes
von der Geraden g.
a) Erläutere den Verlauf des Graphen in Fig. 2.
b) Gib eine Verschiebung an, die den Graphen auf sich abbildet.
c) Wie ändert sich die Periode, wenn sich der Punkt mit dreifacher
Geschwindigkeit um das Quadrat herumbewegt?
3
Schallschwingungen können durch Sinuskurven beschrieben werden. Bei der
Überlagerung mehrerer solcher Sinuskurven entstehen teilweise sehr komplizierte
Schwingungsbilder. Der Mensch hört dann keinen Zusammenhang von Tönen (linkes
Ohr) mehr, sondern nur noch ein Geräusch (rechtes Ohr). Zeichne die „Geräusch-
Kurven“ y = sin α + sin(2α) / y = 2⋅sin α + sin (2α) / y = 3⋅sin α + sin (3α)
4
Wenn du dir vorstellst, auf der Sinuskurve f(x) = sin α von links nach rechts zu
fahren, folgen abwechselnd Rechts- und Linkskurven aufeinander.
a) Skizziere die Sinuskurve und die Kosinuskurve für 0° ≤ α ≤
720° und teile sie in Rechts- und Linkskurven ein.
b) Gib die Teilintervalle an, in denen beide Kurven
Linkskurven sind.
c) Gib die Teilintervalle an, in denen die Sinuskurve eine
Linkskurve und die Kosinuskurve eine Rechtskurve ist.
34

1
In Oberstdorf befindet sich eine der
größten Skiflugschanzen der Welt. Sie
wird auch „Himmelsguckloch“ genannt.
a) Welchen Höhenunterschied hat die
Anlaufbahn und wie lang ist sie?
b) Welchen Höhenunterschied legt ein Springer auf der
Anlaufbahn zurück, wenn diese wegen zu großer
Weiten der Teilnehmer im ersten Durchgang im
zweiten Durchgang um 5 m verkürzt worden ist?
2
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat
man unmittelbar an einer Uferseite eine Strecke
AB = 80 m abgesteckt und den Visierwinkel
α = 38° gemessen. Wie breit ist der Fluss?
3
Ritter Eisenkopf soll für die neue
Zugbrücke unter anderem eine
Kette kaufen, mit der man die 8
Meter lange Brücke im Notfall
hochziehen kann. Bei seinen vielen
Einkaufszetteln findet er jedoch nur
die nebenstehende Zeichnung ohne
Längenangabe der Kette. Kannst
du ihn davor bewahren ohne Kette in die Burg heimzukehren?
4
Berechne im Dreieck ABC jeweils die
fehlenden Stücke und trage sie in die
Tabelle ein (Längenangaben in cm).
35

1
Ein Autobahntunnel soll geradlinig durch einen
Berg gebaut werden. Um die Tunnellänge AB zu
bestimmen, misst man von einem Punkt C aus
folgende Längen und Winkel:
CB = 1,6 km, CA = 2,5 km, γ = 56°.
Fertige eine Skizze an und bestimme dann die
Tunnellänge.
2
Sabine hat sich für ihre Mathematik-Lernkartei
ein Kärtchen angelegt. Was hältst du davon?
3
Ein Beobachtungssatellit „sieht“ immer nur einen
Ausschnitt der Erdoberfläche. Die Kugelkappe wird vom
sogenannten Horizontkreis begrenzt, den Winkel ë nennt
man Radiuswinkel.
Bestimme für den Satelliten OGO-1 (Orbiting Geophysical
Observatory One) den Radiuswinkel ë (∠SM E H) und den
Radius des Horizontkreises,
a) wenn er seine weiteste Entfernung (Apogäum) 150 000 km von der Erde hat.
b) wenn er seinen erdnächsten Punkt (Perigäum) 260 km von der Erde erreicht.
c) Wie groß ist der Radiuswinkel ë für einen Beobachter auf einer 65 m hohen
Bohrinsel? Wie weit ist für diesen Beobachter der Horizont entfernt?
4
Die Bugwelle eines Schiffes hat immer einen Öffnungswinkel
von etwa 40°. Das Schiff fährt in der Mitte eines 160 m breiten
Flusses. Wie weit ist sein Bug vom Auftreffpunkt der Welle am
Ufer entfernt?
5
Die Steigung einer Straße mit dem Steigungswinkel
α ist der Wert von tan α, umgerechnet in Prozent.
a) Die steilste Straße der Welt soll im
neuseeländischen Ort Duneddin sein. Sie hat
den Steigungswinkel 31°. Ermittle die
Steigung.
b) Ein Spezialfahrzeug für Waldarbeit im
Gebirge kann 50° geneigte Hänge
hochfahren. Wieviel % Steigung sind das?
36

1
Auch Foto-Apparate haben einen „Sehwinkel“. Bei einem
Normalobjektiv mit 55 mm Brennweite beträgt er 43°. Zoom-
Objektive haben variable Brennweiten und damit auch
verschiedene Sehwinkel.
Ein 30 m breites und 17 m hohes Gebäude soll
frontal aufgenommen werden. In welcher
Entfernung vom Objekt muss der Fotograf die
Aufnahme mit einem Weitwinkel-, einem Normalund
einem Teleobjektiv machen?
Worin unterscheiden sich die Aufnahmen trotz des
gleichen Ausschnitts?
2
Bereits während des Baus im Mittelalter stellte
sich der weltberühmte schiefe Turm von Pisa
schräg. In einem Reiseführer steht, dass er
mittlerweile um 5,47° geneigt ist.
a) Um wie viel Meter ragt der Turm über seine
ursprüngliche Standfläche hinaus?
b) Der Turm war dann lange für Besucher
geschlossen während sich die Experten
bemühten ihn aufzurichten. In der HNA vom
05.03.2002 stand: „Neigung wurde um fast 40
cm verringert!“. Welcher Neigungswinkel
ergibt sich jetzt nach den Rettungsversuchen?
3
Bei Windstille bilden die Regentropfen am
Fenster eines mit einer Geschwindigkeit
v z = 140 km/h fahrenden Zuges einen Winkel
α = 20° mit der Waagerechten. Berechne die
Fallgeschwindigkeit v R der Regentropfen.
4
Berechne das Volumen und die Oberfläche der unten abgebildeten Pyramiden.
37

1
Das nebenstehende Riesenrad hat einen Radius
von 10 m und die Höhe des Drehpunktes beträgt
12 m.
a) Durch welche Funktion wird die Höhe h der
Gondel in Abhängigkeit vom Winkel
beschrieben?
b) Zeichne den Graphen dieser Funktion im
Maßstab 1:500 (10 m entsprechen also 2
cm). Beachte die Verschiebung in positiver y-Richtung.
c) Suche ein 30°-Intervall, in dem sich die Höhe besonders stark ändert. Wo ist
also bei gleichmäßiger Drehgeschwindigkeit die Geschwindigkeit in
senkrechter Richtung am größten?
2
3
Mit den nebenstehenden Parkettsteinen (helle und dunkle) kann
man z.B. einen Fußboden lückenlos auslegen. Skizziere
zunächst das Parkett mit freier Hand. Versuche nun eine
Konstruktionsbeschreibung für das Parkett bzw. die Parkettsteine
zu finden.
Wodurch könnte man das Aussehen der Parkettsteine verändern?
Die Konstruktionsabteilung eines Automobilherstellers hat
ein neues Modell entwickelt. Für dieses Fahrzeug lässt sich
der Zusammenhang zwischen der Motorleistung P (in Watt)
und der Fahrgeschwindigkeit v (in m/s) durch die Vorschrift
v a P(v) =
2
1 ⋅ v 3 + (50 ⋅ cos α + 2000 ⋅ sin α) ⋅ v
beschreiben, wobei α den Steigungswinkel der Straße
angibt.
a) Wie viele Kilowatt (kW) leistet der Motor bei 100km/h auf ebener Fahrbahn?
b) Bei einem Versuch auf ansteigender Fahrbahn wurden eine Geschwindigkeit
von 10 m/s und eine Motorleistung von 6,2 kW gemessen. Berechne die
Steigung der Fahrbahn.
Hinweis: Ermittle zunächst sin α.
4
Gib zu jedem Graphen einen Funktionsterm der Form x a a ⋅ sin (b⋅x – e) an.
38

Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterricht
Ziel:
• Übung / Anwendung
• Vertikale Vernetzung (u.a. Pythagoras, Strahlensätze)
(Mögliche) Lösungen:
Blatt (1)
• Aufgabe 1: Da es sich anscheinend um eine periodische Funktion handelt, deutet dies auf
einen gleichmäßigen gesunden Herzschlag hin.
1
• Aufgabe 2: b) 4 / c) Periode beträgt 1 .
3
• Aufgabe 4:
Blatt (2)
• Aufgabe 1: a) Höhenunterschied = 91,5m Länge der Anlaufbahn = 145,4m /
b) Höhenunterschied = 88,4m
• Aufgabe 2: Breite des Flusses = 62,5m
• Aufgabe 3: Die Kette muss mindestens 11,7 m lang sein.
• Aufgabe 4: a) c = 5,43 α = 36,5° â = 76° / b) a = 22,4 â = 46,0° ã = 88,9° / c) b = 10,6 α
= 50,5° ã = 33,8° / α = 17,9° â = 100,3° ã = 61,8°
Blatt (3)
• Aufgabe 1: Die Tunnellänge beträgt ca. 2082 m.
• Aufgabe 2: Da die Formel für den Flächeninhalt bekanntermaßen A = 1/2⋅g⋅h lautet und
man die Höhe h durch z.B. a⋅sin â bestimmen kann, ist die Beschriftung von Sabines
Kärtchen richtig.
• Aufgabe 3: Bei einem Erdradius von 6400 km ergibt sich a) ë = 87,65° Horizontkreis =
6394,64 km / b) ë = 16,06 Horizontkreis = 1770,78 km / c) ë = 0,2582 Horizontkreis =
28,84 km
• Aufgabe 4: Der Bug ist ca. 234 m vom Auftreffpunkt der Welle am Ufer entfernt.
• Aufgabe 5: a) 60% Steigung / b) 119% Steigung
Blatt (4)
• Aufgabe 1: Weitwinkel-19,55m / Normal-38,08m / Tele-94,71m
• Aufgabe 2: Der Turm ragt 4,52 m über seine ursprüngliche Standfläche hinaus.
• Aufgabe 3: Die Regentropfen fallen mit einer Geschwindigkeit von 14,15 m/s oder 50,96
km/h.
• Aufgabe 4: a) Volumen = 645577,1m 3 Oberfläche = 52456,1m 2 / b) Volumen = 42157,8m 3
Oberfläche = 9195,9m 2 / c) Volumen = 2736217,5m 3 Oberfläche = 129399,6m 2
Blatt (5)
• Aufgabe 1: a) h(α) = 10⋅sin α + 12 / c) [-15°;15°]
• Aufgabe 2: Durch Streckung oder Stauchung der verwendeten Sinus- bzw.
Cosinusfunktion.
• Aufgabe 3: a) Der Motor leistet 12,1 kW bei 100 km/h auf ebener Fahrbahn. / b) Die
Steigung betrug ca. 15,1°.
• Aufgabe 4: x1,5⋅sin(x) / x0,5⋅sin(6x+π) / x1,5⋅sin(2x-π/2) / x2⋅sin 1/2x+π/2
39