Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer

Basketball: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Mathematische Modellierung einer Sportart
Lösungen:
a) Das Maß des Einfallswinkels nennen wir β. Den Durchmesser
des Balles nennen wir D B . Wir lassen D B zunächst variabel.
d
Nach der nebenstehenden Abbildung gilt dann: sin β = .
45cm
Wegen d D B muss also gelten: sin β ≥ . Nach den
45cm
offiziellen Basketballregeln gilt für den Umfang U B des Balles:
75 cm U B 78 cm. Daraus ergibt sich für D B :
75cm
78cm
D ,
π
≤ ≤ B
π
also
23,8…cm D B 24,8…cm.
Für einen Ball mit dem
kleinstmöglichen Umfang
erhalten wir demnach: β
32,0° (β 90°). Für einen Ball
mit dem größtmöglichen
Umfang ergibt sich: β 33,5°
(β 90°).
b) ÄL (siehe Skizze) ist vom
Einfallswinkel β abhängig. Es
gilt (D K ist der innere
Durchmesser des Korbringes:
FG AE
sin β =
D
= und
2 ⋅ ∆L
K
AE = FG − 2 .
r B
Daraus ergibt sich:
AE FG − 2r B
2 ⋅ ∆L
= =
=
sin β sin β
DK
⋅sin
β − DB
DB
= DK
− ,
sin β
sin β
1 ⎛ DB
⎞
also (1) ∆L = ⎜DK
− ⎟ .
2 ⎝ sin β ⎠
1
Wir argumentieren: Je größer β, desto größer sin β, desto kleiner , desto kleiner
sin β
D
B
D
, desto größer
B
DK
− , also auch desto größer ÄL.
sin β
sin β
ÄL ist am größten, wenn β am größten ist, nämlich wenn β = 90° beträgt. Dann gilt:
1
∆ L = ( DK
− DB
) = rK
− rB
. (Fortsetzung nächste Seite)
2
D B
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