Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(16) Zum Themengebiet
Exponential- und
Logarithmusfunktionen
(erstellt in Zusammenarbeit mit der
Albert-Schweitzer-Schule in Kassel)
Vorschlag Nr. 16.1: Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus.............3
Das auf den englischen Philosophen Malthus zurückgehende Modell wird nachvollzogen und die
Übertragbarkeit auf die aktuelle Bevölkerungsentwicklung diskutiert
Vorschlag Nr. 16.2: Aufgabensammlung – Exponentielle Prozesse..................5
Sammlung verschiedener Aufgaben zu exponentiellen Prozessen
Vorschlag Nr. 16.3: Das Superballexperiment..................................................9
Die Entwicklung der Sprunghöhen eines Balles ermöglicht einen einfachen und
handlungsbezogenen Einstieg in das Thema exponentielle Prozesse
Vorschlag Nr. 16.4: Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern ..10
Die Bevölkerungszahlen verschiedener Länder werden auf den „Wachstumsfaktor“ untersucht
und dessen Gültigkeit für Prognosen diskutiert
Vorschlag Nr. 16.5: Internetadressen zu Exponentialfunktionen...................11
Verschiedene Internetadressen zum Thema Exponentialfunktion
Vorschlag Nr. 16.6: Ein Federexperiment ......................................................12
Die Länge einer Feder nach Anhängen verschiedener Gewichtstücke ermöglicht eine
Untersuchung zu exponentiellen Prozessen
Vorschlag Nr. 16.7: Erdbevölkerung ..............................................................13
Verschiedene Aufgaben zum Thema Erdbevölkerung
Vorschlag Nr. 16.8: Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen –
Dosierung von Medikamenten........................................................................14
Ein Auszug aus einem medizinischen Fachbuch zeigt die Bedeutung der Halbwertzeit und
ermöglicht interessante Variationen
Vorschlag Nr. 16.9: Alkoholkontrolle .............................................................16
Am Beispiel des Alkoholabbaus im menschlichen Körper werden das lineare und das
exponentielle Modell gegenübergestellt und verglichen
Vorschlag Nr. 16.10: Logarithmengesetze ......................................................17
Gruppenpuzzle zur Logarithmenrechnung, das Gesetze, Funktionsgraphen, Anwendungen und
Umkehrfunktion verbindet

Vorschlag Nr. 16.11: Wann verdoppelt sich das Geld?...................................22
Die Faustformel zur Berechnung der Verdopplungszeit wird vorgestellt und untersucht
Vorschlag Nr. 16.12: Das Gesetz des Zinses....................................................23
Eine Zeitungsanzeige zum „frühen Sparen“ soll überprüft werden
Vorschlag Nr. 16.13: Schuldentilgung.............................................................24
Zwei verschiedene Modelle zur Schuldentilgung werden untersucht
Vorschlag Nr. 16.14: Hypothekenzinsen.........................................................25
Zu einer Anzeige aus einer Kasseler Tageszeitung werden verschiedene Tilgungspläne
entworfen
Vorschlag Nr. 16.15: Geometrische Figuren...................................................27
Vorgestellt wird eine Folge geometrischer Figuren. Handelt es sich um exponentielles
Wachstum?
Vorschlag Nr. 16.16: Deutung der Koeffizienten der Exponentialfunktion....28
Anhand verschiedener Graphen zu Exponentialfunktionen soll die Bedeutung der Koeffizienten
erarbeitet werden
Vorschlag Nr. 16.17: Taschengeld...................................................................29
Zwei verschiedene Arten der Taschengeld-Zahlung ermöglichen den Vergleich von linearem und
exponentiellem Wachstum
Vorschlag Nr. 16.18: Zerfall radioaktiver Stoffe ............................................30
Verschiedene Aufgaben zum Zerfall radioaktiver Stoffe
Vorschlag Nr. 16.19: Eigenschaften der Exponentialfunktion........................31
Auf einem übersichtlichen Arbeitsblatt sollen einige Eigenschaften der Exponentialfunktion
ergänzt werden
Vorschlag Nr. 16.20: Eigenschaften der Logarithmusfunktion ......................32
Auf einem übersichtlichen Arbeitsblatt sollen einige Eigenschaften der Logarithmusfunktion
ergänzt werden
Vorschlag Nr. 16.21: Flucht aus Heidelberg ...................................................33
Übungen zu Logarithmen, die eine Überprüfung durch einen Lösungssatz ermöglichen
Vorschlag Nr. 16.22: Graph und Termveränderungen...................................34
Es wird untersucht, welchen Einfluss die Veränderung eines Terms auf den Verlauf des Graphen
hat
Vorschlag Nr. 16.23: Funktionsgleichungen bestimmen.................................36
Zu gegebenen Graphen soll die Funktionsgleichung bestimmt werden
Vorschlag Nr. 16.24: Mathe-Quiz selbstgemacht............................................37
Das Mathe-Quiz gibt eine methodische Anregung zur Wiederholung wichtiger Inhalte.
Vorgestellt werden Schülerfragen zum Thema Logarithmus
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung
der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom
Bund und den Ländern gefördert wird.
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Vorschlag 16.1: Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus (1766-1834)
Im Jahre 1798 veröffentlichte der englische Philosoph Thomas
R. Malthus sein „Essay on the Principles of Population“. Er
vermutete, dass die Nahrungsmittelerzeugung dem rasanten
Bevölkerungswachstum im Zuge der industriellen Revolution
nicht würde folgen können, und prognostizierte permanente
Hungersnöte, die wir heute in Entwicklungsländern z.T.
beobachten können. Zur Begründung seiner Thesen
entwickelte er einfache Modelle für das Wachstum von
Populationen: die Bevölkerung wachse exponentiell, die zur
Verfügung stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear.
Mit seiner „Wachstumsfunktion“ N = N 0 1,0302 t gelang es
Malthus, das Bevölkerungswachstum in den USA für die erste Hälfte des 19. Jahrhunderts gut zu
beschreiben:
Jahr 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
N (in Mio.) N 0 =3,9 5,3 7,2 9,6 12,9 17,1 23,2 31,4
a.) Vergleiche die Angaben aus Volkszählungen mit den „theoretischen“ Werten der
Wachstumsfunktion.
b.) Aus späteren Volkszählungen sind folgende Anzahlen bekannt:
Jahr 1880 1900 1930 1970
N (in Mio.) 50,2 76,0 123,2 203,2
Überprüfe, ob die Wachstumsfunktion noch sinnvoll ist. Begründe!
c.) Betrachtet wird eine Bevölkerung, die zu Beginn eines bestimmten Jahres aus 1 Million
Personen besteht und jährlich um 3 % wächst. Zum gleichen Zeitpunkt wären
Nahrungsmittel für 2 Millionen Personen verfügbar, wobei die Produktion der
Nahrungsmittel für jährlich 100000 Personen gesteigert werden könnte. Untersuche diese
Entwicklung (mithilfe einer Tabellenkalkulation). In welchem Jahr übersteigt die Anzahl der
Personen die zur Verfügung stehenden Mittel?
Quelle: Abakus 10, hrsg. von J. Engelhardt u.a., Schöningh Verlag Paderborn 1995, S. 57
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Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus (1766-1834): Anregungen
für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Modellbildung für Wachstumsprozesse
• Historischer Kontext
(Mögliche) Lösungen:
• a) 3,9 5,3 7,1 9,5 12,8 17,3 23,2 31,3
• b) 56,8 102,9 251,2 825,9
Gründe für die schlechte Passung: Weltkriege und Rezessionen führen zu einem veränderten
Fortpflanzungsverhalten
• c)
t
f ( t)
= 1 . 000.
000⋅1,
03 und g ( t)
= 100 . 000t
+ 2.
000.
000
t 0 1 2 3 4 5 ... 75 76 77 78
f(t) in Mio 1 1,03 1,06 1,09 1,13 1,16 9,2 9,5 9,7 10,0
g(t) in Mio 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 9,5 9,6 9,7 9,8
Tabellarische Darstellung ist auch im Sinne einer systematischen Einschachtelung möglich.
t
t
Ansatzweise Termumformung: 1 . 000.
000⋅103
, = 2.
000.
000 + 100.
000t
⇔ 103 , − 01 , t = 2
Hier ist der Tippaufwand geringer als oben und die Lösung schneller erreichbar: 76 < t < 77.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner - bzw. Gruppenarbeit
• Projektarbeit: Leben und Werk von Th.R. Malthus; Internetrecherche
• Fächerübergreifender Unterricht (Sozialkunde, Biologie)
• Computergestützter Unterricht
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Vorschlag 16.2: Aufgabensammlung - Exponentielle Prozesse
Am Eröffnungstag eines Streichelzoos befanden sich 93 Meerschweinchen in einem
Gehege. Ein Jahr später waren es bereits 115 Meerschweinchen.
a.) Wie viele Meerschweinchen werden es am Tag des 10-jährigen Jubiläums sein,
wenn man annimmt, dass der Bestand linear wächst?
b.) Wie viele Meerschweinchen werden es an diesem Tag sein, wenn man ein
exponentielles Wachstum annimmt?
c.) Welches „Modell“ ist sinnvoller, d.h. lässt sich die Vermehrung der
Meerschweinchen eher mit dem linearen oder dem exponentiellen Modell erklären?
Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse zu testen, wird ein bestimmter Farbstoff in sie
eingespritzt und dessen Ausscheiden gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse
scheidet pro Minute 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffs aus.
Bei einer Untersuchung wird einem Patienten 0,2 Gramm des Farbstoffes injiziert. Nach
30 Minuten sind noch 0,09 Gramm des Farbstoffes in seiner Bauchspeicheldrüse
vorhanden.
Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal?
Ein Ball fällt aus 2m Höhe auf eine feste Unterlage und
springt nach jedem Aufprall jeweils auf 80% der Höhe
zurück, aus welcher er gefallen ist.
Stelle den Funktionsterm auf, der angibt, welche Höhe
der Ball nach dem n-ten Aufprall erreicht. Wie hoch
springt der Ball nach dem 5. Aufprall?
Ein Bakterienstamm kann durch Erhitzung vernichtet
werden. Die Abnahme der Individuen folgt
näherungsweise dem Gesetz N(t) = N(0) ⋅ 0,8 t .
Wie viele Bakterien lagen zu Beginn der Beobachtung
vor, wenn es nach 2 Stunden noch 960 sind?
Wann ist der Bakterienstamm abgestorben (d.h.
weniger als ein Bakterium vorhanden)?
Wann wird bei Annahme gleich bleibender
Wachstumsrate
• die Bevölkerung von Afrika die von Asien
und Ozeanien übertroffen haben?
Asien und
• die Bevölkerung von Lateinamerika die
von Asien und Ozeanien übertroffen
haben?
Ozeanien
• Stelle das Bevölkerungswachstum graphisch dar.
Bevölkerung
1991
Afrika 631.000.000 2,9%
3.073.000.000 1,9%
Jährliche
Wachstumsrate
Lateinamerika 497.000.000 2,7%
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In einem Forschungslabor wird ein neues Medikament gegen eine Infektionskrankheit
entwickelt. Dazu wird unter anderem das Wachstum einer
bestimmten Bakterienart experimentell untersucht. Das
dargestellte Messprotokoll gibt die Anzahl N der Bakterien in
Abhängigkeit von der Zeit t an.
t in min 30 40 50 60 70 80 90
N in 100 17 24 34 48 68 96 136
a.) Wie viele Bakterien kann man nach 2h, 3h, 4h und 5h
erwarten, wenn man die gleiche Verdopplungszeit annimmt? Stelle den Sachverhalt
in einem Koordinatensystem dar.
b.) Auch vor Beginn der Beobachtung verdoppelte sich die Anzahl der Bakterien jeweils
in der gleichen Zeit. Wie viele Bakterien befanden sich zu Versuchsbeginn (t = 0) in
der Glasschale? Ermittle die Anzahl der Bakterien 10 min, 30 min und 1h vor
Versuchsbeginn.
Abbau von Koffein im Blut
Eistee kann einen Koffeingehalt von 50 Milligramm pro 0,33 l Dose
haben. Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung des Koffeins nach
ca. 1 Stunde ein. Der Koffeingehalt im Blut nimmt dann exponentiell
mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden ab. Eine Büchse Eistee enthält
50 mg Koffein.
Wann sind nur noch 0,01 mg Koffein im Blut vorhanden, wenn der
Abbau ca. 1 Stunde nach dem Verzehr beginnt?
Aus Unachtsamkeit wird einem Patienten die 2,5-fache Menge eines Medikamentes
gespritzt. Er soll daher so lange unter medizinischer Kontrolle bleiben, bis sich im
Körper nur noch die ursprünglich vorgesehene Dosis von 2 ml befindet. Es wird davon
ausgegangen, dass pro Stunde etwa 4% des im Körper befindlichen Medikaments
abgebaut und ausgeschieden werden.
• Nach wie vielen Stunden ist im Körper des Patienten nur noch die Normaldosis –
2 ml – enthalten?
• Veranschauliche den Abnahmeprozess in einem Graphen.
• Bestimme die „biologische Halbwertzeit“ des Medikamentes sowohl am Graphen
als auch rechnerisch.
Es gibt verschiedene Schlafmittel auf dem Markt, die zu einer
besseren nächtlichen Schlafeinleitung führen sollen. Ihre
Wirkung sollte jedoch spätestens am nächsten Morgen
weitgehend abgebaut sein. Die Messung ergab, dass von 2
mg des Wirkstoffes Triazolam nach 3 Stunden 1,18 mg noch
nicht abgebaut sind.
Was ist von diesem Schlafmittel zu halten?
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Anwendungen der Exponentialfunktion (2)
1990 betrug die Einwohnerzahl einer Großstadt ca. 200000; ein Jahr später waren es
2000 weniger.
a) Gib unterschiedliche Funktionsgleichungen an, mit deren Hilfe sich der
Abnahmeprozess beschreiben lässt.
b) Wie lautet die Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl in den Jahren 2000
und 2010 in den unterschiedlichen Vorhersagemodellen?
c) In welchem Zeitraum hätte sich die Bevölkerungszahl bei den unterschiedlichen
Vorhersagemodellen halbiert?
Eine einzelne Krebszelle wird einer Maus injiziert. Am Tag darauf sind durch Zellteilung
bereits 5 Zellen vorhanden, wiederum einen Tag später bereits 25 Zellen.
a) Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen Exponentialfunktion, die die Menge
vorhandener Krebszellen in Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen
in Tagen) beschreibt.
b) Ein hochwirksames Gegenmittel steht zur Verfügung. Wann muss es spätestens
eingesetzt werden, um die Maus am Leben zu erhalten? Hinweis: Man nimmt an,
dass 1 Mio. Krebszellen tödlich sind. Berechne den Zeitpunkt für den Einsatz des
Gegenmittels auf 2 Dezimalen genau.
c) Das eben erwähnte Gegenmittel tötet 91 % aller Krebszellen. Angenommen, das
Mittel wurde gespritzt, als die Anzahl der Krebszellen 900000 betrug. Wann muss
erneut gespritzt werden? Beachte den Hinweis zu Teil b). Berechne den Zeitpunkt
auf 1 Dezimale genau.
In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der
Schaumsäule verringert sich alle 15 Sekunden um 9%.
a) Um wie viel Prozent verringert sich die Hohe der Schaumsäule
in 1 Minute?
b) Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Schaumhöhe 10 cm.
Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen Exponentialfunktion,
die die Schaumhöhe (gemessen in cm) in
Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in
Minuten !) beschreibt. Runde dabei auf 4 Dezimalen.
c) Zeichne den Graphen aus Teil b) im Bereich [0;8].
d) Man spricht von "sehr guter Bierschaumhaltbarkeit", wenn die
Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als 2 Minuten beträgt. Beschreibe, wie man
am Graphen (!) überprüfen kann, ob im vorliegenden Fall sehr gute Bierschaumhaltbarkeit
vorliegt. Liegt sie vor?
Jedermann weiß, dass der Wertverlust eines Neuwagens im ersten Jahr am größten ist
und in den Folgejahren zunehmend geringer wird.
a) Der Autohandel geht (bei einem bestimmten Kfz-Typ und einer durchschnittlichen
Fahrleistung) davon aus, dass der jährliche Wertverlust 15 % des letztjährigen Werts
beträgt. Bestimme die Funktionsgleichung, die den jeweils noch vorhandenen
Restwert (gemessen in DM) eines 34000 DM teuren Neuwagens in Abhängigkeit
von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in Jahren) beschreibt.
b) Wie viel DM ist das in Teil a) beschriebene Auto nach 10 Jahren noch wert? Runde
das Ergebnis auf volle DM.
c) Nach wie vielen Jahren ist das in Teil a) beschriebene Auto noch die Hälfte seines
Neupreises wert? Runde das Ergebnis auf 1 Dezimale.
d) Ein Händler kalkuliert nach der Faustregel, dass sich der Wert eines Autos in 3
Jahren halbiert. Von welcher prozentualen jährlichen Wertminderung geht er aus?
e) Nach wie vielen Jahren hätte ein 40000 DM teures Auto nach der Faustregel aus
Teil d) nur noch Schrottwert (= 700 DM)? Runde auf eine Dezimale.
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Quellen: Elemente 11; Abakus 10; Mathematik 11 Hessen; Mathematik 12.1 Grundkurs Hessen
Aufgabensammlung - Exponentielle Prozesse: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Aufstellen von Wachstums- und Zerfallsfunktionen
• Bedeutung der Wachstums- und Zerfallsfaktors
Variationen der Aufgabe:
• vor allem in den Lösungswegen: graphisch / tabellarisch / rechnerisch via Terme
(Mögliche) Lösungen:
• (1): a) 313; b) 777
• (2): Nein, da nur noch 0,06 g vorhanden sein dürfen.
• (3): 0,66m
• (4): 1500; 33h
• (5): ≈ 162 Jahre; ≈ 232 Jahre (etwas länger zum „Übertreffen“)
• (6): a) 384 / 3072 / 24576 / 196608 b) 6 / 4,25 / 2,125 / 0,75
• (7): Zwischen 36 und 37 h nach Zerfallsbeginn (37 bzw. 38 h nach Einnahme ≈ 37,86)
• (8): Lösung: 23 h; 17h
• (9): Nach ca. 13 h ist die Konzentration auf ca. 10% abgesunken. N( t)
= N(0)
⋅ 0, 84 ;
3 1, 18
a = ⇔ a = 0,84
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Wenn „weitgehend abgebaut“ als Restmenge 10% angesehen wird, sind ca. 13,09 h richtig.
Konsequenz: Vom Mittel ist abzuraten, da es zu lange wirkt. Was aber, wenn jemand mit
größeren Prozentzahlen operiert? Ein schönes Beispiel für offeneres Herangehen, da die
Voraussetzungen zum Lösen individuell variieren können und damit auch die
Einschätzungen.
t
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Vorschlag 16.3: Das Superballexperiment
Ein Experiment
Man lässt einen Superball (Flummi) aus 2 m Höhe senkrecht nach unten fallen. Er prallt
auf den Boden und steigt ein erstes Mal nach oben, wobei er eine Sprunghöhe erreicht,
die knapp unter 2 m liegt. Er beginnt erneut zu fallen, prallt ein zweites Mal auf und
steigt ein zweites Mal nach oben usw. Die Sprunghöhe wird von Mal zu Mal kleiner. Mit
einem senkrecht gehaltenen Zollstock lässt sie sich relativ gut messen.
• Überprüfe in einem Versuch, ob ein exponentieller Prozess vorliegt.
Mathematik 11 Hessen, hrsg. von A. Bigalke, N. Köhler, Cornelsen Berlin, 2001, S. 96
Das Superballexperiment: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Experimentelle Überprüfung und Mathematisierung eines exponentiellen Prozesses
Variationen der Aufgabe:
• Welche Sprunghöhe erreicht der Ball nach dem 1. Aufprall, wenn die anfängliche Höhe 1,7 m
beträgt? Überprüfe dein rechnerisches Ergebnis experimentell.
• Konkreter Hinweis auf die Datensammlung: „Sammle die Daten zur Sprunghöhe des Balls in
einer Tabelle, die jeder Sprungnummer die zugehörige Gipfelhöhe zuordnet.“
Bemerkung:
• Dieser Prozess wird genau genommen durch eine geometrische Folge beschrieben bei der
Zwischenwerte keinen Sinn machen. Diese Prozesse sollten von geometrischen Folgen als
diskrete Beschreibungen reeller Exponentialfunktionen unterschieden werden.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Das Experiment verursacht nur geringen Aufwand und funktioniert sehr gut. Zeitbedarf ca.
15 Minuten
• Partnerarbeit
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Vorschlag 16.4 Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern
Die Tabelle enthält die Bevölkerungszahlen
(in Tausend) von 1990 und
1999 für verschiedene Länder und
eine Prognose für das Jahr 2020.
Nimm an, dass zwischen 1990 und
1999 exponentielles Wachstum
zugrunde liegt.
a.) Welches Land hat den größten (den kleinsten) prozentualen Zuwachs
pro Jahr?
b.) Überprüfe, ob bei der Prognose für das Jahr 2020 in den Ländern das
exponentielle Wachstum beibehalten wurde.
Jahr 1990 1999 2020
Brasilien 149042 161191 197950
Deutschland 79479 81378 73523
Indien 846191 931044 1328565
Mexiko 84486 91290 137717
USA 249975 260479 329337
Quelle: Elemente der Mathematik 11, Einführung in die Analysis, hrsg. von H. Griesel u.a., Hannover 2001,
Schroedel Verlag, S. 84
Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Aufstellen von Wachstumsfunktionen
• Problematisierung der Bedeutung des Wachstumsfaktors
Variationen der Aufgabe:
• Vergleichsdaten anderer Länder vorlegen oder recherchieren lassen
• Graphische Darstellungen im Vergleich (WIN Funktion)
(Mögliche) Lösungen:
• (a) Brasilien 0,87%; Deutschland 0,26%; Indien 1,07%; Mexiko 0,86%; USA 0,46%
• (b) Deutschland nein, sogar Abnahme; Brasilien 193530 (ja); Indien 1163610 (?); Mexiko
109373 (?); USA 286737 (?). Tabellenwerte liegen über dem errechneten Wert; das Wachstum
wird sich also beschleunigen, aber ob exponentiell, das lässt sich eigentlich nicht beantworten.
Prozentualer Zuwachs pro Jahr ab 1999: Indien 1,71%; Mexiko 1,71%; USA 1,98%.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partnerarbeit
• „Hausarbeit“ am PC Expertenvo rtrag
• Binnendifferenzierung
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Vorschlag 16.5: Internetadressen zu Exponentialfunktionen
1. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/mathei/exfunktionen/index.html
2. http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/logarith.htm
3. http://home.t-online.de/home/rudolf/Link/mathe.htm
4. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Pot-
Log/15210%20Aufg%20Wachstum.pdf
5. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Pot-Log/15213%20LOG-
Wachs-KA.pdf
6. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Startseite-Hauptframe.htm
7. http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/cgi-
bin/abselect.exe/formget?verz=anwd_olg/anwd_olg.tex&ueber=Wachstums-
%20und%20Abklingvorgänge&pfad=/smart/j10/explog/
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Vorschlag 16.6: Ein Federexperiment
Eine (feste) Schraubfeder wird durch Anhängen von
Gewichtstücken von je 1 N ausgedehnt. Nach dem
Anhängen jedes Gewichtstücks wird die Gesamtlänge der
Feder gemessen. Führe das Experiment für 10
Gewichtstücke durch.
• Stelle die gesammelten Daten in einem
Koordinatensystem graphisch dar.
• Liegt eine exponentielle Zunahme vor?
Quelle: Mathematik 11 Hessen, hrsg. von A. Bigalke, N. Köhler, Cornelsen Berlin, 2001, S. 97
Ein Federexperiment: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Experimentelle Überprüfung und Mathematisierung eines linearen Prozesses zur Abgrenzung
Variationen der Aufgabe:
• Wiederhole das gesamte Experiment mit einem dünnen Gummiband anstelle der Feder
• Zusammenstellung verschiedener Schülerexperimente zu exponentiellen und linearen
Prozessen (vgl. Superball, Bierschaum, Papierfalten, usw.)
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Man sollte eine Feder mit einer Federkonstanten von ca. 1 cm/N wählen
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
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Vorschlag 16.7: Erdbevölkerung
Es gibt optimistische Schätzungen, die davon ausgehen, dass die Erde mehr als 100 Milliarden
Menschen ernähren kann. Die meisten Schätzungen gehen aber davon aus, dass die Obergrenze
zwischen 8 und 12 Milliarden liegt.
1999 betrug die Erdbevölkerung 6,0 Mrd. Bewohner. Die beiden Tabellen geben einige
Wachstumsraten aus dem Jahre 1998 an.
• Berechne die Verdopplungszeit der Bevölkerung von Gaza.
• Wann hat sich die Bevölkerung Lettlands halbiert? Wann ist die Bevölkerungszahl
Lettlands auf 10% gegenüber dem heutigen Stand geschrumpft?
• Berechne die Bevölkerungszahl von Deutschland für die Jahre 2010, 2030 und 2050.
Quelle: Analysis. Grundkurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig 2000, S.217
Erdbevölkerung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Bedeutung des Wachstumsfaktors
Variationen der Aufgabe:
• Mit WIN Funktion o.a. Programmen lassen sich die Wachstumsprozesse graphisch
veranschaulichen
• Vergleich der Tabellenwerte mit den Graphen (s.u.)
(Mögliche) Lösungen:
• Gaza: ≈ 15,41 Jahre; Lettland: ≈ 98,67 Jahre bzw. ≈ 327,79 Jahre; BRD:
Eignung, (mögliche) Methoden:
• erweiterte Hausaufgabe „Expertenvortrag“
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
N ⋅ 0
0, 999
t
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Vorschlag 16.8: Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen /
Dosierung von Medikamenten
aus: Allgemeine und spezielle Pharmakologie
und Toxikologie, hrsg. von W. Forth, D.
Henschler, W. Rummel, Wissenschaftsverlag
Mannheim/Wien/Zürich 5 1987, S. 61, 65f.
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Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen / Dosierung von
Medikamenten: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Aufgabe:
• Acetylsalicylsäure hat eine Halbwertzeit von 4 Stunden. Gib eine begründete
Dosierungsanleitung an, wenn mindestens 30% des Wirkstoffs vorhanden sein müssen
Ziel:
• Anwendungsbeispiel aus der Medizin und Pharmazie
• Bedeutung des Wachstumsfaktors
• Vernetzung verschiedener Disziplinen und Anwendungsfragen
Variationen der Aufgabe:
• Überlegungen zum Dosierungsintervall:
Bestätige durch Rechnung oder graphisch folgende Zusammenfassung aus dem o.g.
Fachbuch: „Für die Erhaltung einer gleichmäßig hohen Konzentration im Blut ist die Wahl
des richtigen Dosierungsintervalls ausschlaggebend. Dieses richtet sich nach der Halbwertzeit
des Pharmakons. Bei kurzer Halbwertzeit muss das Dosierungsintervall klein sein, um eine
gleichmäßige therapeutische Konzentration zu erreichen. Bei langer Halbwertzeit muss
dagegen das Dosierungsintervall groß genug sein, um die Gefahr einer Kumulation zu
vermeiden.“
• Die Verabreichung von Medikamenten möchte eine gleichmäßig hohe Konzentration im Blut
erhalten. Ermittle sinnvolle Dosierungsintervalle für Medikamente mit kurzer und langer
Halbwertzeit (2 Stunden/ 4 Stunden/ 8 Stunden). Lässt sich eine allgemeine Aussage treffen?
• Es wird angenommen, dass 1 Stunde nach der Verabreichung des Pharmakons
Acetylsalicylsäure die volle Wirkung erreicht ist und mit diesem Zeitpunkt die Konzentration
exponentiell abnimmt.
(Mögliche) Lösungen:
t
4
• (1) 0, 3 > ( 2 ) 1 ⇔ t > 6 , 95. Also: Erste Einnahme nach 7 Stunden. Dann 130% des
Wirkstoffs. Zweite und spätere Einnahmen nach 8½ Stunden.
• Halbwertzeit 2 (8) Stunden: Erste Einnahme nach 3½ (14) Stunden. Zweite und spätere
Einnahmen nach 4 (17) Stunden
• Je größer die Halbwertzeit, desto größer das Dosierungsintervall bzw. Verdopplung der
Halbwertzeit bedeutet Verdopplung der Dosierungsintervalle.
• Wenn die volle Wirkung erst nach 1 h einsetzt, muss die Erste Einnahme erst nach 8 h, die
zweite und alle späteren erst nach 9½ h erfolgen.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
• Projektarbeit
• fachübergreifender Unterricht (Biologie/Chemie)
• Besuch in einer Apotheke: Expertenbefragung
• erweiterte Hausaufgabe Vortrag der Ergebnisse
• vereinfachte Version: siehe Aufgabe Schlafmittel (Vorschlag 16.2)
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Vorschlag 16.9: Alkoholkontrolle
Bei einer Verkehrskontrolle wird bei einem
Verkehrsteilnehmer ein Alkoholgehalt im Blut
von 0,8‰ festgestellt. Nach einer Stunde
ergibt die Blutanalyse einen Alkoholgehalt
von 0,6‰. Es ist eine Funktion gesucht, die
den Abbau des Alkohols im Blut beschreibt.
a) Berechne den Blutalkoholgehalt unter
der Annahme, dass der Körper in jeder
Stunde gleich viel Alkohol abbaut.
b) Gehe davon aus, dass die stündliche
Abbaumenge proportional zum vorhandenen
Bestand ist.
c) Vergleiche die beiden Ansätze und
stelle die Entwicklung graphisch dar.
d) Welche Schlüsse kann man auf den Alkoholgehalt im Blut des
Verkehrsteilnehmers eine Stunde (zwei Stunden) vor der Kontrolle
ziehen?
Alkoholkontrolle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Gegenüberstellung von linearen und exponentiellen Abnahmeprozessen
(Mögliche) Lösungen:
• Wir setzen t = 0 als den Zeitpunkt der Kontrolle und gehen davon aus, dass in der
Abbauphase kein Alkohol konsumiert wurde.
a) g ( t)
= −0 , 2t
+ 0,
8
b) Nach Voraussetzung gilt: f ( t)
− f ( t + 1 ) = c ⋅ f ( t)
. Also gilt auch: f ( t + 1 ) = ( 1−
c)
⋅ f ( t)
t
⎛ 3 ⎞
und allgemeiner f ( t)
= ( 1−
c) ⋅ f ( 0)
. Demnach hier: f ( t)
= ⎜ ⎟ ⋅0,
8
⎝ 4 ⎠
c) Nach allem was wir über den Abbau von Blutalkohol wissen, ist ein lineares Modell
angemessener. Entscheidungskriterium hier in erster Linie Fachkenntnisse.
d) Vor einer Stunde: Pegel ca. 1 Promille in beiden Modellen.
Vor zwei Stunden: Lineares Modell: Pegel 1,2.
Exponentielles Modell: Pegel ca. 1,4.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
t
16

Vorschlag 16.10: Logarithmengesetze
Der folgende Vorschlag wurde der Zeitschrift mathematik lehren Heft 104 entnommen,
die Kopiervorlage 6 stammt aus: Lambacher-Schweizer 10, Klett, S. 63.
Es werden vielfältige Aspekte des Logarithmus abgedeckt.
Dieser Vorschlag eignet sich als „Lernen an Stationen“, um die Eigenschaften des
Logarithmus in der Klasse zu erarbeiten.
Er kann aber auch als „Gruppenpuzzle“ bzw. nach der „Expertenmethode“
eingesetzt werden. Dabei arbeiten die Schülerinnen und Schüler in der 1. Runde als
Experten an einer Aufgabenstellung (siehe die folgenden Kopiervorlagen 1 - 4 und
6; zu jeder Aufgabe gibt es ein Hilfe- und ein Zusatzaufgabenkärtchen).
In der 2. Runde werden dann „Puzzlegruppen“ gebildet. Die Gruppen werden neu
gemischt und zwar so, dass in jeder neuen Gruppe mindestens ein Experte zu
jedem Thema vertreten ist.
Für die 2. Runde bieten sich zwei Varianten an.
1) Durcharbeiten aller Gesetze mit anschließender Präsentation auf Plakaten, die in
der Klasse aufgehängt werden;
2) Durcharbeiten eines Übungsblattes, in dem alle Aspekte der „Experten“
aufgegriffen werden.
Um die Arbeitsblätter auch optisch voneinander unterscheiden zu können, bieten
sich hier verschiedenfarbige Kopien an.
Ziel:
• Selbständige Erarbeitung von inner- und außermathematischen Anwendungen des
Logarithmus
Variationen der Aufgabe:
• Kopiervorlage 6 kann als eigenständiger Beweis behandelt werden. Dann könnte der
Erklärungstext weggelassen werden und die Aufgabe lauten: „Welche Umformungen sind
durchgeführt worden?“.
(Mögliche) Lösungen:
• Lösung zu „Ötzi“:
x
1
= N a ; Einsetzen ergibt:
2
N0
0
x
1 5730
2
a
= , d.h. a = 5730 1 2
≈ 0, 999879.
Also: 0,57⋅ N0 = N0
⋅0,
999879 und damit 0 ,57 = 0,999879 und schließlich
log 0,57
x =
≈ 4647
log 0,999879
(Diskussion über sinnvolle Genauigkeit: Angenommen, das Messgerät hätte 56,9% bzw.
57,1% angezeigt...! Toleranz im Alter notwendig: 4600 – 4700 Jahre
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
x
17

KOPIERVORLAGE 6
Umformung von Logarithmen von der Basis a zur Basis 10:
Es gilt: log ( x)
( x)
lg
a = (x > 0 ; a > 0; a ≠ 1)
lg( a)
Beweis:
Setze: 1) y = log ( x)
Dies wird gleichwertig umgeformt: 2) a y = x
Auf beiden Seiten wird der Logarithmus zur
Basis 10 gebildet:
lg a y =
a
3) ( ) lg ( x)
Mit dem Logarithmengesetz wird umgeformt: 4) y lg ( a) = lg( x)
mit 1) folgt: 5) log ( x)
⋅ also:
a =
( x)
lg
lg( a)
( x)
lg
y =
lg( a)
Aufgabe:
Die obige Umformung gilt nicht nur für die Basen a und 10, sondern auch für beliebige Basen.
Zeige, dass gilt: log ( x)
b =
log
b
( x)
1
log ( b )
b
2
2
1
Hilfe
• Überlegt, was in der Gleichung für a
und 10 eingesetzt wurde.
• Die linke Seite der Gleichung wird y
gesetzt.
• Wie kann umgeformt werden?
• Zu welcher Basis muss hier
logarithmiert werden?
Zusatzaufgabe
Löse die „Exponentialgleichungen“:
x
a) 4 = 12
x+
c) 6 1 = 108
x
b) 2 ⋅3
= 1, 4
x−
d) 7 1 = 3⋅5
x
21

Vorschlag 16.11: Wann verdoppelt sich das Geld?
Geldanlage:
Wann verdoppelt sich das Geld?
Das ist leicht auszurechnen, wie die Gesellschaft für Bankpublizität mitteilt.
Dafür müssen Sie lediglich die Zahl 70 durch die Rendite der Kapitalanlage
teilen. Das bedeutet beispielsweise, bei einem Zinssatz von sieben Prozent
sind aus angelegten 20.000 Euro in 10 Jahren bereits 40.000 Euro geworden
(70:7=10).
Beträgt die Rendite fünf Prozent, dauert es entsprechend länger, nämlich 14
Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt.
Voraussetzung, damit die Rechnung aufgeht, ist allerdings, dass Sie die
fälligen Zinsen zu gleichen Bedingungen regelmäßig wieder anlegen und so
den Zinseszins-Effekt nutzen.
Was meinst du dazu?
Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung
Wann verdoppelt sich das Geld?: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Variationen der Aufgabe:
• Unterschied graphisch darstellen
(Mögliche) Lösungen:
Diese „Faustformel“ liefert in dem „üblichen“ Zinsbereich sehr brauchbare Werte: Die
d
p ⎞
Verdopplungszeit berechnet man mit: 2K
K ⎜
⎛ +
0 =
0
1 ⎟ umgeformt ergibt sich:
⎝ 100 ⎠
p
0,
3
lg 2 = d ⋅lg( 1+
), d.h. d ≈ .
100
lg
p
1+
( )
100
p
Hintergrund-Info für Lehrer: Es gilt: 2 = d ⋅ln( 1+
)
ln , wegen ( 1+ x) ≈ x
100
ln (für kleine x )
p
folgt: d ⋅ ≈ ln 2 ≈ 0,
6931 ≈ 0,
7 , d.h. d ⋅ p ≈ 70.
100
Für sehr kleine p wäre also eigentlich 69 noch besser als 70 – aber 70 lässt sich natürlich leichter
merken, und für die „üblichen“ Zinssätze liefert die 70 tatsächlich bessere Werte.
p% 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15
t exakt 17,7 14,2 11,9 10,2 9,0 8,0 7,3 6,6 6,1 5,7 5,0
t Artikel 17,5 14 11,7 10 8,75 7,8 7 6,4 5,8 5,4 4,7
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Die Aufgabe eignet sich besonders dann, wenn die Verdopplungszeit mit Hilfe von
Logarithmen berechnet werden kann.
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
22

Vorschlag 16.12: Das Gesetz des Zinses
Stimmt diese Anzeige?
Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung
Das Gesetz des Zinses: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Variationen der Aufgabe:
n
n q −1
• Verwende die Sparkassenformel: Kn = K0
⋅ q + R ⋅ dabei ist: K0
das
q −1
p
Anfangskapital; q = 1+
und R ist die
100
Jahresrate, die das 1. Mal am Ende des 1.
Jahres gezahlt wird.
(Mögliche) Lösungen:
Die neben stehende Tabelle gibt das Kapital an
bei Zinssätzen von 4%, 6%, 8% und 10% nach
zwei bis 30 Jahren (alle 2 Jahre). Das
Anfangskapital sei dabei 1000 Euro, die
jährliche Rate jeweils 500 Euro.
Dass bei langen Zeiten (ab ca. 20 Jahren) der
Zinssatz der entscheidende Faktor ist, wird auch
aus unterschiedlichen Graphen sichtbar.
Fazit: Anzeige stimmt prinzipiell, aber
Überschrift muss diskutiert werden.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
4% 6% 8% 10%
2 2101.60 2153.60 2206.40 2260.00
4 3293.09 3449.79 3613.55 3784.60
6 4581.81 4906.18 5254.84 5629.37
8 5975.68 6542.58 7169.24 7861.53
10 7483.30 8381.25 9402.21 10562.46
12 9113.93 10447.17 12006.73 13830.57
14 10877.63 12768.44 15044.65 17784.99
16 12785.25 15376.62 18588.08 22569.84
18 14848.52 18307.17 22721.14 28359.50
20 17080.16 21599.93 27541.94 35365.00
22 19493.90 25299.68 33164.92 43841.65
24 22104.61 29456.72 39723.56 54098.40
26 24928.34 34127.57 47373.56 66509.06
28 27982.50 39375.74 56296.52 81525.96
30 31285.87 45272.59 66704.26 99696.41
23

Vorschlag 16.13: Schuldentilgung
Herr Huber möchte sich von seiner Bank 10000 Euro leihen.
Vorschlag A: Das Geld wird mit 8% verzinst, er muss nach 10 Jahren die
Schulden mit Zinseszinsen zurückzahlen.
Vorschlag B: Das Geld wird mit 7% verzinst. Er muss aber jedes Jahr
einen Abtrag von 1000 Euro vornehmen.
Für welchen Rückzahlungsmodus würdest du dich entscheiden?
Schuldentilgung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung zum Thema: fallende Exponentialfunktion;
• auch als Einstiegsaufgabe geeignet
(Mögliche) Lösungen:
10
⎛ 8 ⎞
• Plan A: K 10 = 10000 ⋅ ⎜1
+ ⎟
⎝ 100 ⎠
= 21589, 25
Plan B:
Jahre Abtrag Restschuld Man erkennt, dass zunächst fast nur Zinsen und kaum Tilgung
1 1000 9700,00 geleistet werden.
2 1000 9379,00 Es müssen nur 10000 Euro + 5855,07 Euro = 15855,07 Euro
3 1000 9035,53 gezahlt werden.
4 1000 8668,02
5 1000 8274,78
6 1000 7854,01
7 1000 7403,79
8 1000 6922,06
9 1000 6406,60
10 1000 5855,07
Jahre Einzahlung Kapital 4% Kapital 5%
1 0 0,00 0
2 1000 1040,00 1050,00
3 1000 2121,60 2152,50
4 1000 3246,46 3310,13
5 1000 4416,32 4525,63
6 1000 5632,98 5801,91
7 1000 6898,29 7142,01
8 1000 8214,23 8549,11
9 1000 9582,80 10026,56
10 1000 11006,11 11577,89
Zusatz: Was passiert, wenn man die
1000 Euro jährlich spart, die man bei
Plan A zunächst nicht zu zahlen hat?
In den 10 Jahren könnte Herr Huber nur
ca. 1500 Euro an Zinsen erwirtschaften.
Plan A bleibt trotzdem teurer.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
24

Vorschlag 16.14: Hypothekenzinsen
In der HNA vom 5.9.01 ist die
neben stehende Übersicht
über die aktuellen Hypothekenzinsen
erschienen. Diese
Zinsen muss man beim Bau
oder Kauf einer Immobilie an
die Bank zahlen, wenn man
sich das nötige Bargeld
leihen muss.
Man zahlt dann jedes Jahr
einen konstanten Betrag
zurück, der sich aus dem
Tilgungsteil (in der Regel 1%
der Hypothek) und dem
Zinsanteil des ersten Jahres
(siehe Übersicht) zusammensetzt.
Es werden 100 000 Euro
benötigt.
Wie könnte ein Tilgungsplan
aussehen?
Ist die Abnahme der Schuld
exponentiell?
25

Hypothekenzinsen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
•
Variationen der Aufgabe:
• Durch die vielen Hypothekenangebote und die offene Aufgabenstellung sind vielfältige
Auseinandersetzungen mit der Aufgabe möglich, z.B.:
(1) Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Tilgung nicht monatlich, sondern jährlich
erfolgt. Der teuerste Anbieter ist die Raiffeisenbank Baunatal mit 5,9% Zinsen, der
billigste Anbieter ist die American Express Bank mit 4,91% Zinsen.
(Mögliche) Lösungen:
• (1) Für die ersten 7 Jahre ergeben sich die unten stehenden Werte:
Jahr Zinsen (5,9 %) Zinsen + Tilgung Tilgung neue Schuld
1 5900 6900,00 1000 99000
2 5841 6900,00 1059,00 97941,00
3 5778,52 6900,00 1121,48 96819,52
4 5712,35 6900,00 1187,65 95631,87
5 5642,28 6900,00 1257,72 94374,15
6 5568,07 6900,00 1331,93 93042,23
7 5489,49 6900,00 1410,51 91631,72
Jahr Zinsen (4,91 %) Zinsen + Tilgung Tilgung neue Schuld
1 4910 5910,00 1000 99000
2 4860,90 5910,00 1049,10 97950,90
3 4809,39 5910,00 1100,61 96850,29
4 4755,35 5910,00 1154,65 95695,64
5 4698,66 5910,00 1211,34 94484,29
6 4639,18 5910,00 1270,82 93213,47
7 4576,78 5910,00 1333,22 91880,26
Auch aus nur wenig Werten werden die durch verschiedene Zinssätze hervorgerufenen
Unterschiede deutlich..
Es handelt sich nicht um eine exponentielle Abnahme, sondern um eine Überlagerung eines
exponentiellen Abnahmeprozesses mit einem linearen Anteil (Nachweis z.B. über veränderte
Prozentsätze der Restschuldhöhe.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• längerfristige Gruppenarbeit
• zusätzlicher schriftlicher Leistungsnachweis (das Arbeiten mit Exponentialfunktionen muss
geübt sein)
26

Vorschlag 16.15: Geometrische Figuren
Die Abbildung zeigt den Beginn einer
Folge geometrischer Figuren. Das
Konstruktionsprinzip ist bei jedem Schritt
dasselbe:
Jede Strecke wird gedrittelt. Über dem
mittleren Stück wird ein gleichseitiges
Dreieck aufgesetzt.
Offensichtlich wird die Länge des
Streckenzuges von Schritt zu Schritt
größer.
Berechne die Länge des Streckenzuges
nach 4, 40, 400 und 100000 Schritten.
Handelt es sich um exponentielles Wachstum?
Quelle: Lambacher-Schweizer 10, S. 73.
Geometrische Figuren: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung der Exponentialfunktion
• Übung
Variationen der Aufgabe:
• Konstruktionsprinzip nicht vorgeben
(Mögliche) Lösungen:
• Zur Vereinfachung: Ausgangsstrecke 1 LE.
4
1. Schritt:
3 =1+ 1 3
2. Schritt: 4⋅ 4 9 = 16 9 =1+ 1 3 + 4 9
3. Schritt: 16 ⋅ 4 27 = 64
27 =1+ 1 3 + 4 9 + 16
27
4. Schritt: 64⋅ 4 81 = 256
81 =1+ 1 3 + 4 9 + 16
27 + 64
81
n n
⎛ 4⎞
4 i−1
n. Schritt: ⎜ ⎟ =1+
⎝ 3⎠
∑
3 i
i=1
Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 34
.
n
Länge
4 3,16049
40 99437,3
400 9,45317⋅10 49
100.000
1249
7,
47585⋅10
27

Vorschlag 16.16: Deutungen der Koeffizienten der Exponentialfunktion
Einige Graphen der Funktion f mit
f(x) = c⋅a x sind in der neben
stehenden Abbildung dargestellt:
a) Was fällt auf?
b) Beweise die Vermutung!
c) Jetzt sei a = 2.
Wie ändert sich der Graph,
wenn c verändert wird?
Quelle: Bürger, H.; Malle, G.: Exponentialfunktionen. In: mathematik lehren (1996), H. 75, S. 55-60.
Deutungen der Koeffizienten der Exponentialfunktion: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Deutung der Koeffizienten der allg. Exponentialfunktion
• Erarbeitung der Eigenschaften der Exponentialfunktion
(Mögliche) Lösungen:
• (a) Es lassen sich eine Vielzahl von Eigenschaften angeben, u.a.:
− Spiegelt man den Graph von
x
a an der y-Achse, so erhält man den Graph von
− Für a > 1 steigt der Graph
− Für 0 < a < 1, fällt der Graph
− 1 x =1 ; der Graph ist eine Parallele zur x-Achse
− der Graph schneidet die x-Achse in (0/1) bzw. in (0/c)
− die x-Achse ist Asymptote für Graphen mit a ≠1
(c) f(x) = c ⋅ 2
x
: c > 1 Streckung; 0 < c < 1 Stauchung; < −1
Spiegelung an der x-Achse; 1 < < 0
⎛ 1
a ⎟ ⎞
⎜
⎝ ⎠
c Streckung und
− c Stauchung und Spiegelung an der x-Achse
x
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
28

Vorschlag 16.17: Taschengeld
Peter startet in wenigen Tagen zu einer zweiwöchigen Klassenfahrt.
Seine Eltern möchten ihm nach folgendem Plan Taschengeld mitgeben:
Für den ersten Tag 3 Euro, dann täglich 2 Euro mehr als am Tag
vorher. Peter überlegt kurz und macht einen „bescheidenen“
Gegenvorschlag: Für den ersten Tag 3 Cent, dann täglich den doppelten Betrag des Vortages.
Taschengeld: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
— Einführungsaufgabe zu Exponentialfunktionen
— Vergleich von linearem und exponentiellem Wachstum
Variationen der Aufgabe:
— Welcher Vorschlag ist günstiger?
— Findet möglichst viele Informationen über die vorliegenden Funktionen!
Lösungsmöglichkeiten:
— Tabellen aufstellen und Werte vergleichen
n
— Summen berechnen und evtl. Summenformel s ( a + a )
n
= für arithmetische Reihen
erarbeiten
— Graphen zeichnen (Wiederholung: lineare Funktionen)
— Funktionsgleichung bestimmen
— Eigenschaften von linearem und exponentiellem Wachstum erkennen
Lösungen:
• Vorschlag 1: Summe: 224 €; allg. f (x) 2x + 1
= für ∈[ 1;14]
x ∈[ 0;13]
Vorschlag 2: Summe: 49 149 Cent = 491,49 €; allg.
x
f ( x)
= 3 ⋅ 2 für x ∈[ 0;13]
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
2
1
n
x bzw. f ( x)
= 2 x + 3 für
f (x)
x−1
= 3 ⋅ 2 für ∈[ 1;14]
x bzw.
29

Vorschlag 16.18: Zerfall radioaktiver Stoffe
Beim radioaktiven Zerfall wandelt sich ein Stoff unter Aussendung von radioaktiver Strahlung
in einen anderen Stoff um. Der ursprüngliche Stoff wird also weniger.
Die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Atome des Stoffes bezeichnet man mit N (0)
, die nach
einer Zeit t noch vorhandene Anzahl mit N (t)
. Dann lautet die Funktionsgleichung für den
t
Zerfall radioaktiver Stoffe N(t)
= N(0) ⋅ a . Dabei ist a die Zerfallskonstante, die für jeden
Stoff einen spezifischen Wert hat.
Meistens wird beim radioaktiven Zerfall die sog. Halbwertszeit angegeben. Das ist die Zeit, in
der die Hälfte der zu Beginn vorhandenen Atome zerfallen ist.
1. Für radioaktives Jod gilt a = 0, 917.
a) Wie viel mg sind von 3 g dieses Jods nach 45 Tagen noch vorhanden?
b) Bestimme die Halbwertszeit von radioaktivem Jod!
2. Das Element Radon zerfällt mit einer Halbwertszeit von 3,8 Tagen.
Nach welcher Zeit ist noch ein Achtel der Ausgangsmenge Radon vorhanden?
3. Thorium zerfällt nach dem Gesetz N(t)
und 15 mg radioaktives Jod.
Nach welcher Zeit sind von beiden Stoffen noch gleiche Mengen vorhanden?
t
= N(0) ⋅ 0,963 . Ein Stoff enthält 10 mg Thorium
Zerfall radioaktiver Stoffe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Bearbeitung von Zerfallsprozessen (Basis der Exponentialfunktion < 1)
Variationen der Aufgabe:
— Aufgreifen des Comics
(Mögliche) Lösungen:
1. a) 60,8 mg 2. 11,4 Tage
b) 8 Tage 3. 8,3 Tage
Hinweis:
Die Ergebnisse der Aufgaben 1b, 2 und 3 können durch gezieltes Probieren gefunden werden.
Eine genaue Berechnung ist erst nach der Behandlung der Logarithmengesetze möglich.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- bzw. Gruppenarbeit
30

Vorschlag 16.19: Eigenschaften der Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form
x
f(x) = b mit x ∈ ---------- und b ∈ ---------- ,
d.h. für den Definitionsbereich gilt: D = ----------.
Œ Die Exponentialfunktion hat nur ------------------------------ Funktionswerte y , d.h. für den
Wertebereich gilt : W = ----------.
Die Graphen der Exponentialfunktionen
Punkte P 1 ( ----- ; ----- ) und P 2 ( ----- ; ----- ).
f(x)
x
= b mit b 0
> gehen alle durch die
Ž Die Graphen der Exponentialfunktionen f(x)
• mit -------------------- sind streng monoton ------------------------------ ;
• mit -------------------- sind streng monoton fallend;
=
b
x
x
Der Graph der Exponentialfunktion f(x) = b mit b > 0 hat die ----- - Achse als
Asymptote, das bedeutet ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .
Die charakteristische Eigenschaft von
exponentiellem Wachstum ist: --------------------
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
‘ Beispiele für exponentielle Prozesse in der
Realität sind: ------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
’ Was ich sonst noch wichtig finde:
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
x
Zeichne hier die Graphen von f( x) = 2 und
⎛ 1
g(
x)
=
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⎜
⎝
⎟
⎠
⎞
x
31

Vorschlag 16.21: Flucht aus Heidelberg
Im Jahr 1855 flüchtete in
Heidelberg ein Student
nach einem Duell mit einer
Legitimationskarte, die er
sich von einem Kommilitonen
ausgeliehen hatte. Als
die Flucht über die Grenze
gelungen war, warf der Student
die Karte fort; sie wurde
als verdächtig an das
Heidelberger Universitätsgericht
eingesandt. In der
folgenden Untersuchung
antwortete der Kommilitone,
dem die Karte gehörte,
mit einem Satz, der sich
zunächst unter den Studenten
schnell verbreitete und
heute als Redewendung allgemein
bekannt ist. Dieser
Satz ist der Lösungsspruch
des Rätsels.
∴ Aufgaben:
a) log 3
27
b) log 3
x = 2 → x =
c) log x
49 = 2 → x =
d) log 3 log 4
3 −
4
3
4
e)
25
5
( log 2 ):
( log )
2 5
5
f)
1
log3 5 + log3
5
2
g) log2 4 + log2
4
h) log216
⋅ log2
4
i)
1
6log3 3 + log3
9
j) 4( log2 88 − log211)
k)
10
2
log (log 2 )
2 2
l)
1
2log2 5 + log3
90 + log2
− log310
25
Lösung
Zuordnung:
Lösung 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Buchstabe H S E V T C N O A W I
Lösung 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Buchstabe B M Q Y L Z G P X R F
Als Lösungssatz ergibt sich eine Redewendung:
j) l) k) g) g) h) j) l) k) d) i) f) h) d) l)
k) e) f) b) l) k) d) d) a) c) g) g) k) e) f) i) d)
Quelle: Altmann, C. In: mathematik lehren (1999), H. 92, S. 60.
33

Vorschlag 16.22: Graph und Termveränderungen
Lass die Graphen folgender Funktionen zeichnen!
Welchen Einfluss hat die Veränderung des Terms auf den Verlauf des Graphen? Formuliere
Regeln!
Œ
f
1(x)
= 2
f (x) −
x
x
2
2
f (x)
=
−
x
b
= ............................................................................................
f = f (x) = b
x + c
x
1(x)
3
x
f (x) = 3 1
............................................................................................
2
+
x
f (x) = 3 2
............................................................................................
3
−
Ž
f
1(x)
= 2
f (x)
x
x + 3
2
2
x − 2
3(x)
2
f
f (x)
=
x + d
b
= ............................................................................................
= ............................................................................................
a)
f =
x
1(x)
3
1 x
2(x)
⋅ 3
2
x
3(x)
4 ⋅ 3
f
f
f (x)
=
a
⋅
x
b
= ............................................................................................
= ............................................................................................
b)
f
1(x)
= 5
f (x) =
x
1 x
2
⋅ 5
3
c)
f
1(x)
= 2
f (x) = 3
x
x
2
⋅ 2
1
d) f (x = ( ) x
f
1
)
2
2(x)
= 3
⋅
1
( ) x
2
Wie geht der Graph der Funktion
x
f (x) = b hervor?
f (x)
=
a
⋅
b
x + d
+
c
aus dem Graphen der Funktion
x + 1
Beispiel: f (x) = 3 ⋅ 2 − 4
34

Vorschläge 16.19 – 16.22: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Vorschlag 16.19 bzw. 16.20: Eigenschaften der Exponential- bzw. der Logarithmusfunktion
Ziel:
— Selbstständiges Erarbeiten der Eigenschaften beider Funktionstypen
— Ausfüllen der Lücken auf den Arbeitsblättern
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Die Schüler sollten in kleinen Gruppen an einem PC sitzen und sich die Graphen
verschiedener Exponential- bzw. Logarithmusfunktionen mit einem entsprechenden
Programm (z. B. MatheGrafix, Winfkt, MatheAss) darstellen lassen.
Vorschlag 16.21: Flucht aus Heidelberg
Ziel:
• Übungen zu Logarithmen
Lösungen:
• Lösungen der Aufgaben: 3;9;7;1;5;0;6;8;4;12;10;2
• Lösungssatz: MEIN NAME IST HASE ICH WEISS VON NICHTS
Vorschlag 16.22: Graph und Termveränderungen
Ziel:
• Wiederholendes Üben der Termveränderungen bei Spiegelungen, Verschiebungen sowie
Streckungen
• Vernetzung mit anderen Funktionstypen
Methode:
• Gruppenarbeit am Computer
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Vorschlag 16.23: Funktionsgleichungen bestimmen
Bestimme die Funktionsgleichungen zu den abgebildeten Graphen!
Funktionsgleichungen bestimmen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Aus günstigen Punkten wird die Funktionsgleichung ermittelt
• Umkehrung zum Zeichnen der Graphen
(Mögliche) Lösungen:
• Die Funktionsgleichungen werden ungeordnet vorgegeben. Welche Gleichung gehört zu
welchem Graphen?
• Basen in den vorkommenden Funktionen vorgeben
(Mögliche) Methode:
Partner- oder Gruppenarbeit
Lösungen:
a) (x) 3
x
1 x + 2
f = d) f (x) ( )
3
1
b) f (x) = ( ) x
e)
2
x
c) f (x) = 2 − 3
f)
f (x)
f (x)
f (x)
1 1
= oder = ⋅ ( ) x
=
=
3
4
⋅
⋅
x
0,8
x
2
9
3
36

Vorschlag 16.24:
1. Was ist der Unterschied
zwischen absolutem und
relativem Zuwachs?
4. Erkläre den Begriff
Halbwertszeit.
2. Was ist der Unterschied
zwischen dem Wachstumsfaktor
und dem Zerfallsfaktor?
5. Was bedeutet äquidistant?
3. Wie wird der relative
Zuwachs in der Regel
angegeben?
6. Was sind Logarithmen?
7. Wie nennt man die Zahl
y in dem Term x y ?
10. Wie schreibt man kurz
für log 10
x ?
8. Wie nennt man in dem
Ausdruck log a
x die
Zahl x?
11.
x
Schreibe 2 = 16 als
Logarithmengleichung.
9. Nenne je einen anderen
Begriff für die Grundzahl
und für die Hochzahl
einer Potenz.
12. Gib die Formel für relativen
Zuwachs an.
13. Bestimme x in
x = log 64.
2
14. Bestimme x in
log 625 = x .
5
15. Bestimme x in log3
81.
16. Wie berechnet man den
absoluten Zuwachs?
17. Wie bildet man die
Differenz beim
absoluten Zuwachs?
18. Was gibt die Differenz d
beim absoluten Zuwachs
an?
19. Wie bildet man den
Quotienten beim
relativen Zuwachs?
22. Nenne je ein Beispiel
aus der Natur für
relativen und absoluten
Zuwachs.
25. Wie wird eine Potenz
potenziert?
20. Was gibt der Quotient
beim relativen Zuwachs
an?
23. Nenne die Zinseszins-
Formel zur Berechnung
des Endkapitals nach n
Jahren.
26. Nenne drei Eigenschaften
der Logarithmusfunktion.
21. Welcher Zuwachs wird
mit der Formel
d = Wi
− Wi1
−
ausgerechnet?
24. Definiere den Wachstumsfaktor
q
a) bei der Zinsrechnung
b) allgemein bei Wachstumsvorgängen.
27. Nenne drei Eigenschaften
der Exponentialfunktion.
28. Der Graph welcher
Funktion schneidet nie
die x-Achse?
29. Welchen Punkt haben
die Graphen aller
Exponentialfunktionen
gemeinsam?
30. Welchen Punkt haben
die Graphen aller
Logarithmusfunktionen
gemeinsam?
Quelle: Brüdigam, B.: Mathe-Quiz selbstgemacht. In: mathematik lehren (2001) H.106, S.55-57.
37

Mathe-Quiz selbstgemacht: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Wiederholung und Festigung des Lernstoffes
(Mögliche) Methode:
— Die Schüler stellen aus den Fragekärtchen und den (angegebenen) Antworten ein Kartenspiel
her und spielen das vorgegebene Spiel.
— Die Fragen werden als Quiz für die ganze Klasse oder für die in Gruppen eingeteilte Klasse
gestellt und beantwortet.
— Die Schüler entwerfen in Gruppenarbeit Fragen (und Antworten) zu einem bestimmten
Thema (hier: Exponential- und Logarithmusfunktionen). Dabei treten vier Phasen auf.
1. Phase (Entwurf)
Jede Gruppe stellt 12 Fragen, schneidet die Fragekarten aus und erstellt einen Antwortbogen.
Es entstehen 5 – 8 (am besten verschiedenfarbige) Spielsätze.
2. Phase (Testen)
Jede Gruppe spielt mit den Spielsätzen der anderen Gruppen. Die Testergebnisse bzw.
Kommentare werden auf den Fragekarten oder auf den Lösungsbögen notiert.
3. Phase (Auswertung / Überarbeitung)
Jede Gruppe überarbeitet ihren eigenen Spielsatz.
4. Phase (Endfassung)
Jede Gruppe nennt drei oder vier ihrer besten Fragen. Die Klasse entscheidet, welche Fragen
in das endgültige Spiel aufgenommen werden. Als Hausaufgabe stellen die Schüler das
Kartenspiel her.
Birgit Brüdigam hat das abgebildete Spiel von einer 10. Klasse entwickeln lassen.
(Mögliche) Lösungen:
1. Beim absoluten Zuwachs wird die Differenz gebildet, beim relativen Zuwachs der Quotient.
2. Der Wachstumsfaktor q ist größer als 1; für den Zerfallsfaktor gilt: 0 < q < 1
3. In Prozent.
4. Die Halbwertszeit gibt an, in welchem Zeitraum sich bei einem Zerfallsprozess die Substanz
jeweils um die Hälfte verringert.
5. Äquidistant bedeutet den gleichen Abstand habend.
6. Der Logarithmus a einer Grundzahl b ist die Hochzahl k, mit der man b potenzieren muss,
um a zu erhalten.
7. Hochzahl oder Exponent
8. Numerus
9. Grundzahl = Basis; Hochzahl = Exponent
10. lg x
11. log 16 = x
12.
r
=
2
q
13. x = 6
14. x = 4
15. x = 4
−
1
=
Wi
+ 1
Wi
−
1
=
Wi
+ 1 − Wi
Wi
38

16. d = W i
− W
+ 1 i
17. d = W i
− W
+ 1 i
18. Die Differenz d gibt an, um wie viel der neue Wert gegenüber dem vorhergehenden Wert in
der entsprechenden Zeiteinheit gestiegen ist.
Die Differenz d gibt den (regelmäßigen) Zuwachs pro Zeiteinheit an.
19.
q
=
Wi
+ 1
Wi
20. Der Quotient q gibt an, auf welchen Anteil des vorausgegangenen Wertes der neue Wert
angestiegen (bzw. gesunken) ist.
21. Der absolute Zuwachs
22. a) Wachstum einer Bakterienkultur - radioaktiver Zerfall - Abbau eines Pflanzenschutzmittels
- Verwesung eines abgestorbenen Organismus
b) Zinsen ohne Zinseszins - Füllen bei gleichmäßiger Fließgeschwindigkeit
n
p
23. = K ⋅ q = K ⋅ ( 1 + ) n
Kn
100
p
24. a) Zinsfaktor q = 1 + mit Zinssatz p
100
f ( t + h
b) Wachstumsfaktor q: f ( t + h)
= q ⋅ f ( t)
bzw. q =
f ( t)
x
x ⋅ y
25. Indem man die beiden Hochzahlen multipliziert. ( a ) = a
26. Alle Graphen gehen durch (1 / 0) - monoton steigend für a > 1 - monoton fallend für
0 < a < 1 - y-Achse ist Asymptote
+
+
27. Wertebereich ist R für alle a ∈ R - alle Graphen durch (0 / 1) - monoton steigend
für a > 1
28. Der Graph der Exponentialfunktion
29. P(0 / 1)
30. P(1 / 0)
y
)
39