Grundwissen Mathematik: 5. Klasse - Dalberg Gymnasium

Karl-Theodor-v.-Dalberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik: 10. Jahrgangsstufe 27.07.04
Lerninhalte Definitionen und Gesetze Musterbeispiele
Potenzen -Natürliche Exponenten: für gilt:
-Ganzzahlige Exponenten: für gilt:
Potenzgesetze
- Rationale Exponenten: für und gilt:
- Reelle Exponenten werden mit Hilfe von Intervallschachtelungen rationaler
Exponenten eingeführt.
Gleiche Basis
Gleicher Exponent:
Potenzieren:
Potenzgleichungen Lösungen der reinen Gleichung über .
Gerader Exponent
Ungerader Exponent
Potenzfunktionen Eine Funktion bzw. für heißt
Potenzfunktion. Für positiven Exponent nennt man ihren Graphen Parabel n-ter
Ordnung, für negativen Exponent Hyperbel n-ter Ordnung.
Positiver Exponent
-alle Graphen gehen durch die Punkte
(1;1) und (0;0)
- für sind die Funktionen streng
monoton zunehmend
- Für gerades n ist der Graph
achsensymmetrisch zur y-Achse, für
ungerades n ist der Graph
punktsymmetrisch zum Ursprung.
Negativer Exponent
- alle Graphen gehen durch den Punkt
(1;1)
- für sind die Funktionen streng
monoton abnehmend
- Für gerades n ist der Graph
achsensymmetrisch zur y-Achse, für
ungerades n ist der Graph
punktsymmetrisch zum Ursprung.

Lerninhalte Definitionen und Gesetze Musterbeispiele
Polynome und
Polynomdivision
Ein Term der Form
mit reellen
Koeffizienten heißt Polynom. Eine Funktion mit einem derartigen
Funktionsterm heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.
Ist eine Lösung der Gleichung ,
so gilt mit geeigneten Koeffizienten :
Wurzelfunktion und
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion heißt Wurzelfunktion.
Allgemeines Rezept:
1. Schreibe die Funktionsgleichung der Funktion auf.
2. Vertausche x und y.
3. Löse nach y auf. Es ergibt sich die Gleichung der Umkehrfunktion. (Ggf
Fallunterscheidung berücksichtigen.)
Beachte: Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion liegen bezüglich der
Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten spiegelbildlich.
Exponentialfunktion Eine Funktion heißt Exponentialfunktion.
Eigenschaften:
-
- Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt (0;1).
- Für sind die Exponentialfunktionen streng monoton abnehmend, für
sind sie streng monoton zunehmend.
- Die Graphen der Exponentialfunktionen und liegen bezüglich der y-
Achse spiegelbildlich.

Lerninhalte Definitionen und Gesetze Musterbeispiele
Logarithmus Für und versteht man unter dem Logarithmus (=Exponent) von
c zur Basis a diejenige Zahl x, für die
In Zeichen: .
Umgangssprachlich: Der Logarithmus von c zur Basis a ist diejenige Zahl, die man
als Exponent an die Basis a schreiben muss, um als Ergebnis der so entstandenen
Potenz c zu erhalten.
Rechengesetze
gilt.
Bestimme x!
Vereinfache!
Logarithmusfunktion Die durch für alle positiven reellen Zahlen definierte
Funktion heißt Logarithmusfunktion zur Basis a.
Sie ist die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion .
Eigenschaften:
-
- Alle Graphen gehen durch den Punkt (1;0).
- Für verlaufen ihre Graphen fallend, für hingegen steigend.
- Die Graphen der Funktionen und liegen bezüglich der x-Achse
spiegelbildlich.