Statik starrer Körper Die Statik ist ein Teilgebiet der ... - TU Wien

Statik starrer Körper
Die Statik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich mit dem Gleichgewicht von Kräften an Körpern
befasst. Sie ist ein wesentliches Fachgebiet des Bauingenieurwesens.
Man unterscheidet die ebene von der räumlichen Statik, je nachdem, ob Kraftsysteme in der Ebene
oder im Raum betrachtet werden.
Starrer Körper: Idealkörper, der keine Verformungen unter dem Einfluss von Kräften erleidet.
Die Abstände zwischen beliebigen Punkten eines starren Körpers bleiben unverändert.
Man kann einen ebenen, starren Körper als eine starre materielle Scheibe ansehen; die darauf
wirkenden Kräfte liegen dann parallel zur Scheibenmittelebene.
Ⅱ
F 2
F 1
Ⅰ
Grundbegriffe der Statik
Einzelkraft:
Eine Einzelkraft stellt die Wirkung der Last dar, die in einem Punkt
des Körpers angreift. Wir können eine Last als Einzelkraft darstellen,
wenn die Fläche, auf welche die Kraft wirkt, im Vergleich zur Gesamtgröße
des Körpers sehr klein ist.
Ein Beispiel dafür ist die Kontaktkraft zwischen einem Rad und dem
Boden.
g
M
m
g
M
mg
m
N=mg
Physik 1 Aufbaukurs, WS11/12
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)

Gleichgewicht:
(zweier Kräfte)
Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie
– auf derselben Wirkungslinie liegen
– entgegengesetzt gerichtet und
– gleich groß sind.
F 1 + F 2 = 0
⇒
F 1 = − F 2
( F 1 , F 2 ) ... Gleichgewichtsgruppe
F 1
F 2
dieselbe Wirkungslinie
starrer Körper
Wechselwirkung:
(Schnittprinzip)
Dies entspricht dem dritten Newtonschen Gesetz und besagt,
dass zu jeder Kraft stets eine Gegenkraft auftritt.
Axiom vom Kräfteparallelogramm:
Beinhaltet die vektorielle Addition von Kräften
(festgestellt auf Grund von Erfahrungstatsachen)
Physik 1 Aufbaukurs, WS11/12
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)

Kräfte und Momente in der Ebene
Die Wirkungslinien der betrachteten Kräfte und die ebenen starren Körper (Scheiben), an denen die
Kräfte angreifen, liegen hier und im folgenden stets in einer Ebene (Zeichenebene, z.B. mit
Kartesischem (x,y)-Koordinatensystem).
Zeichnerische Zusammensetzung zentraler Kräfte:
F 1
F 1 F 2
F 3
F 2
R
F 3
starre Scheibe
(a) Lageplan
(b) Kräfteplan
(mit Kräftemaßstab; z.B.: 1cm 1N)
F 1 + F 2 + F 3 = R
R ... Resultierende
Analytische Zusammensetzung von (3 zentralen) Einzelkräften:
y
F 1
e y
F 2
F 3
0 e x
x
F 1 = F 1x
ex + F 1y
ey
F 2 = F 2x
ex + F 2y
ey
F 3 = F 3x
ex + F 3y
ey
F 1 + F 2 + F 3 = R ,
R = R x
ex + R y
ey
F 1x + F 2x + F 3x = R x
F 1y + F 2y + F 3y = R y
Physik 1 Aufbaukurs, WS11/12
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)

Gleichgewicht zentraler Kräfte:
Zentral wirkende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn
– sie in einer Ebene liegen
– ihre Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden
– das zugehörige Kräftepolygon geschlossen ist.
F 3
starre Scheibe
F 1
F 2
F 3
F 2
F 1
(a) Lageplan
(b) Kräfteplan (mit Kräftemaßstab)
Wirken Einzelkräfte gemäß dem oberen Bild auf einen starren Körper, so bleibt dieser in
Ruhe, d.h. er befindet sich im Gleichgewicht. Man bezeichnet ein System von Kräften,
deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden, als zentrales Kraftsystem.
Die (vektorielle) Gleichgewichtsbeziehung eines zentralen Kraftsystems lautet:
R =
n
∑ F i = 0
i=1
Das Moment einer Einzelkraft:
F = F e = F x
ex + F y
ey F x = F cosα F y = F sinα A(x, y) ... Kraftangriffspunkt
M (0) = (F y x − F x y) e z = r × F =
⎡
⎢
⎢
⎣
⎢
x
y
0
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥
× ⎢
⎦
⎥ ⎢
⎣
F x
F y
0
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
0
F y x − F x y
M (0) ... Moment der Kraft F bezüglich des Bezugspunktes 0
r ... beliebiger Vektor vom Bezugspunkt 0 zur Wirkungslinie der Kraft F
M (0) = (Fl) e z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
l = xsinα − ycosα ... Hebelsarm (Normalabstand)
Ausblick: Gleichgewicht eines allgemeinen Kraftsystems:
R =
n
∑ F i = 0 und
i=1
n
M (0) = ∑ ( r i × F i ) = 0
i=1
Physik 1 Aufbaukurs, WS11/12
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)