Technik - USKA

Technik
Bandbreite, die Berechnung eines
Grossteils von Datenpunkten überflüssig
macht, lohnen sich solche
Filter trotzdem, insbesondere dann
wenn sie intelligent konstruiert sind,
d.h. einen möglichst kurzen Filterkern
aufweisen.
Das Aliasing-Problem
Betrachten wir zunächst einmal
das Aliasing-Problem, d.h. die Vermischung
der Spektraldaten, die
auftritt wenn man einen Datensatz
ohne vorgängige digitale Filterung
dezimiert. Die nachstehende Figur
1 zeigt eine symmetrische Zeitfunktion
(blaue und violette Werte mit
Nullpunkt bei 17), die aus 33 digitalen
Abtastwerten besteht. Die
Fourier-Transformierte dieser Funktion
ist reell und hat Spektralpeaks
der Amplitude 1 bei +/- 3 und +/-10
(siehe blaue Kurve in Figur 1b). Die
Spektrumsgrenzen liegen bei +/-16.
Nimmt man nun bloss jeden zweiten
dieser Abtastwerte (violette Werte
in Figur 1), so läuft das Spektrum
bloss noch über den halben Frequenzbereich
(Spektrumsgrenzen
bei +/-8; rote Kurve mit Amplitude
0.5 in Figur 1). Wie man aber sieht,
enthält die rote Kurve zusätzliche
Spektralpeaks bei +/- 6. Diese Peaks
entstanden durch Hineinfalten der
Spektralpeaks bei +/-10 (Spiegelung
an der neuen Spektrumsgrenze bei
+/-8). Diesem „Aliasing“ kann nur dadurch
begegnet werden, indem die
Frequenzanteile in den Bereichen
+/-(8 bis 16) vor der Dezimierung
aus dem Originaldatensatz herausgefiltert
werden.
Figur 1b
Digitale Tiefpassfilter
Figur 2 illustriert, an einem 32 Punkte
langen Datensatz, die zu einem
Tiefpass-Filter gehörende Zeitfunktion.
Das Tiefpassfilter ist ein symmetrisches
Rechteck-Filter, das die
tiefen Frequenzen durchlässt und
die hohen Frequenzen sperrt. Aus
mathematischen Gründen kann ein
symmetrisches Rechteckfilter auf einem
2 n langen Datensatz nur durch
die Eingabe von zwei Abschlusswerten
der halben Amplitude realisiert
werden, d.h. es handelt sich bei solchen
digitalen Filtern stets um „Trapezfilter“.
Figur 2a zeigt ein Tiefpassfilter, das
den Frequenzbereich halbiert. Die
dazugehörige Zeitfunktion (Figur
2a1) ist gerade und symmetrisch
(Zentrum bei 17) und hat einen
sin(x)/x-ähnlichen Verlauf, mit Nullstellen
bei allen ungeraden Zeitwerten,
ausser im Zentrum 17. Es
ist aber genau genommen keine
sin(x)/x-Funktion (sinc-Funktion),
da es sich dabei nicht die Fourier-
Transformierte eines Rechtecks,
sondern um die eines Trapezes
handelt. Im Grenzfall eines langen
Datensatzes strebt natürlich
diese Fourier-Transformierte gegen
die sinc-Funktion.
Figur 2b zeigt ein engeres Tiefpassfilter,
das einen Viertel des Frequenzbereiches
zurückhält. Seine Fourier-Transformierte
(Figur 2b1) ist
wiederum eine sinc-ähnliche Funktion,
die jetzt aber breiter ist und nur
noch 8 Nullstellen hat. Das Tiefpassfilter
in Figur 2c hält noch 6/32 des
Frequenzbereiches zurück, und hat
eine noch breitere, sinc-ähnliche
Fourier-Transformierte (Figur 2c1),
mit nur noch 6 Nullstellen. Das Tiefpassfilter
in Figur 2d hält noch 1/8
des Frequenzbereiches zurück, und
hat eine noch breitere, sinc-ähnliche
Fourier-Transformierte (Figur 2d1),
mit nur noch 4 Nullstellen. Das Tiefpassfilter
in Figur 2e, schliesslich,
hält noch 1/16 des Frequenzbereiches
zurück, und hat eine noch breitere,
sinc-ähnliche Fourier-Transformierte
(Figur 2e1), mit nur noch 2
Nullstellen an den beiden Enden des
32 Punkte langen Datenfeldes.
Aus der Illustration von Figur 2 wird
ersichtlich dass das Zeitfilter umso
www.amateurfunktechnik.ch
Thomas Hediger
Amateurfunktechnik
5737 Menziken
076/746 31 13
www.amateurfunktechnik.ch
Figur 1a
HBradio 6/2012 37