Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich - Fachgebiet ...

Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich 

Auftreten elektromagnetischer Beeinflussungen 

z.B. als 

• periodische Signale diskreter Frequenz 

• Rauschen 

• Einzel- oder Mehrfachimpulse 

• transiente Schaltvorgänge 

Zunächst naheliegend: 

Darstellung im … 

… Frequenzbereich 

… Zeitbereich 

Da sich jedoch Übertragungseigenschaften besser im 

Frequenzbereich darstellen lassen, wird für die EMV-Problematik 

generell die Darstellung im Frequenzbereich bevorzugt. 

Übergang Zeitbereich Frequenzbereich: 

Periodische Vorgänge: Fourier-Reihe 

Transiente Vorgänge: Fourier-Integral 

"Fourier-Transformation" 

Fachgebiet 

Hochspannungstechnik 

EMV / Kapitel 3 - 1 -

Periodische Zeitbereichsfunktion Fourier-Reihe 

Rein sinus- bzw. cosinusförmige Störgrößen (harmonische Vorgänge) 

Zeitbereich 

Frequenzbereich 

f f = ω/2π 

Darstellung im Frequenzbereich 

über Kreisfrequenz ω oder die 

technische Frequenz f 





Nichtsinusförmige periodische Störgrößen 

Beispiele: Rechteck-, Sägezahnschwingungen; allgemein oberschwingungshaltige 

periodische Vorgänge 

Darstellung durch unendliche Summe von Sinus- und Cosinus- 

Schwingungen Fourier-Reihe 

Zeitbereich 

Frequenzbereich 

"Diskretes 

Linienspektrum" 





Fourier-Reihe einer beliebigen Zeitfunktion u(t) in Normalform: 

∞ 

∑ 

( ω ω ) 

ut () = U + Acosn t+ 

Bsinn t 

mit 

0 n 1 n 1 

n= 

1 

T 

2 

An 

= ut ()cos( nω 

tdt ) 

T 

∫ 1 

0 

T 

2 

Bn 

= u()sin( t nω 

t) 

dt 

T 

∫ 1 

0 

Amplituden der Teilschwingungen 

U 

0 

T 

1 

= u() 

t dt 

T 

∫ 

0 

arithmetischer Mittelwert der Zeitfunktion (Gleichanteil) 





sin( 90°± ϕ) = cosϕ 

Wegen des Zusammenhangs auch möglich: 

Fourier-Reihe einer beliebigen Zeitfunktion u(t) in Betrags/Phasenform: 

∞ 

∑ 

ut () = U + U cos( nω 

t+ 

ϕ ) 

0 n 

1 

n= 

1 

n 

mit 

2 2 

U = A + B = g ( nω 

) 

n 

n 

n 

n 

1 

Amplituden-Linienspektrum 

B 

ϕ =− arcta n = g ( n ) 

n ϕ 

ω1 

A 

n n 

Spectrum analyser 

Phasen-Linienspektrum, in der EMV-Technik wenig gebräuchlich 





Fourier-Reihe einer beliebigen Zeitfunktion u(t) in komplexer Form: 

Mit den Euler'schen Formeln: 

1 jα 

− jα 

jα 

cosα 

= ( e + e ) 

e = cosα 

+ jsinα 

Durch Addition und Subtraktion 

2 

− jα 

der beiden Gleichungen 

e = cosα 

− jsinα 

1 jα 

− jα 

sinα 

= ( e −e 

) 

2 j 

∞ 

ut () = U + Acosnωt+ 

Bsinnωt 

∑ 

( ) 

0 n 1 n 1 

n= 

1 

∞ 

⎛ 1 1 

= U0 

+ ∑⎜An 

+ + B − 

n= 

1⎝ 

2 2j 

∞ 

∞ 

An − jBn jnω 

t An + jB 

1 n − jnω1t 

= U0 

+ ∑ e + ∑ e 

2 2 

( j nω1t − 

e e j nω1t) ( e j nω1t − 

e 

j nω1t 

n 

) 

n= 1 n= 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

An 

− jBn 

und mit U0 = C0, = C + n , 

2 

jnω 

t − jnω 

t 

( + n 

−n 

) 

ut () = C + C e + C e 

0 

∞ 

∑ 

1 1 

n= 

1 

A 

n 

+ jB 

2 

n 

= 

C − n 






− 

∑( + − ) 

∞ +∞ 

jnω1t jnω1t jnω1t 

n n ∑ n 

n= 1 

n=−∞ 

ut () = C + C e + C e = C e 

0 

mit 

T 

1 − jnω1t 

jϕn 

jϕn 

n( ω1) = ( )e = n e = 

n 

e 

T 

∫ 

0 

C n u t dt C C 

(n = 0, ±1, ±2, …) 

Die reelle Funktion u(t) (linke Seite der Gleichung) ergibt sich durch 

Berücksichtigung negativer Frequenzen zweiseitiges Spektrum: 

Amplituden- und Phasenspektrum der komplexen Fourier-Reihe 






− 

∑( + − ) 

∞ +∞ 

jnω1t jnω1t jnω1t 

n n ∑ n 

n= 1 

n=−∞ 

ut () = C + C e + C e = C e 

0 

U = C + C 

Physikalisch messbare Größen: 

+ n −n 

In der EMV-Technik: 

U 

n 

= 

C 

0 0 

Statt des zweiseitigen mathematischen Spektrums Cn 

= g( ± nω ) 

meist Verwendung des physikalischen Spektrums 2 C+ n 

= g( + nω ) 

Amplituden des physikalischen Spektrums unterscheiden sich um Faktor 

2 von denen des mathematischen Spektrums und sind direkt messbar. 





Beispiel: Linienspektrum zweier periodischer Rechteckspannungen mit 

unterschiedlichem (2:1) Tastverhältnis τ/T: 

Einhüllende des 

Amplitudenspektrums: 

sin( x) 

x 

-Funktion 

("Spaltfunktion") 

Einhüllende der |si|-Funktion: 

1/f-Funktion 





Kleinste auftretende Frequenz (Grundfrequenz): = Kehrwert der Periodendauer 

∆ f 

= 1 

τ 

f 

1 

1 

= 

T 

Nullstellen der si-Funktion im Abstand = Kehrwert der Impulsdauer 





Fourierdarstellung der Rechteckimpulsfolge: 

∞ 

() $ τ ⎡ 12nπτ ⎛ 2nπτ ⎛ 2nπτ 

⎞ ⎞⎤ 

ut = u sin cosnω 

t cos sinnω 

t 

T 

⎢1+ 2∑ + ⎜ − ⎟ 

n= 

T 

⎜ 

1 

1 

1 

T T 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

⎥ 

⎣ 1 ⎝ 

⎠⎦ 

nπτ 

sin 

$ τ 

mit Spektralamplituden: U 

T 

n 

= 2 u 

(si-Funktion) 

T nπτ 

T 

si 1 

• Erste Nullstelle der si-Funktion: f1 

= 

τ 

• Weitere Nullstellen im Abstand 

nf 

si 

1 

• Für einen Rechteckimpuls mit T ∞: Spektrallinien rücken unendlich 

dicht zusammen Spektrum 1/f einer Sprungfunktion 

1 

= 

τ 

• Der konstante Faktor der si-Funktion ist bei gleicher Periodendauer der 

Impulsfläche û·τ proportional Spektralamplituden der rechten 

Impulsfolge halb so hoch wie die der linken 




Nicht-periodische Zeitbereichsfunktion Fourier-Integral 

Für nicht-periodische Vorgänge nimmt man den Vorgang periodisch an und 

lässt dabei die Periodendauer T gegen unendlich streben 

Grenzwert der Fourier-Reihe 

⎡ 

⎤ 

ut () 

pe r. 

= ∑C e = ∑⎢ ∫ ut ()e dt⎥e 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

+∞ +∞ + T 2 

jnω t 1 

1 − jnω1t jnω1t 

n 

−∞ −∞ T 

−T 

2 

Abstand der Spektrallinien im Linienspektrum der Fourierreihe: 

∆ f 

∆ω 1 1 ∆ω 

= = f1 

= ⇒ = 

2π 

T T 2π 

ut 

⎡ 

ut 

⎤ 

dt 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

+∞ + T 2 

1 

− jnω1t jnω1t 

() 

pe r. 

= ∑ ⎢∆ω 

()e ⎥e 

2π 

∫ 

−∞ −T 

2 





Integraldefinition: 

b 

∫a 

∆ω→0 

k 

f( ω) dω = lim ∑ f( n∆ω) 

∆ω 

n 

n 

i 

inkrementale Größe ∆ω infinitesimale Größe dω 

diskrete Variable n∆ω stetige Variable ω 

Summe Integral 

ut 

⎡ 

ut 

⎤ 

dt 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

+∞ + T 2 

1 

− jnω1t jnω1t 

() 

pe r. 

= ∑ ⎢∆ω 

()e ⎥e 

2π 

∫ 

−∞ −T 

2 

Fourier-Transformierte X(ω) 

⎛ 

⎞ 

ut ut ut dt dω 

+∞ +∞ 

1 

− jωt 

jωt 

() 

nichtpe r. = lim () 

pe r. 

= ()e e 

T →∞ 

⎜ ⎟ 

2π 

∫ ∫ 

∆ f → 

−∞⎝−∞ 

⎠ 

0 





+∞ 

− jωt 

X ( ) ut ( )e dt 

ω 

X ( ω) 

= ∫ 

−∞ 

• Fourier-Transformierte von u(t) 

• Spektralfunktion von u(t) 

• Spektraldichte von u(t) 

• Amplitudendichte 

Fourierdarstellung einer nicht-periodischen Funktion mit der Fourier- 

Transformierten: 

+∞ 

1 

j 

ut () X( )e ωt 

d 

= 2π 

∫ 

−∞ 

ω 

ω 





Herkunft des Begriffs "Spektraldichte" 

Die Spektralfunktion X(ω) ist mit dem auf den Frequenzabstand ∆f 

bezogenen Linienspektrum Cn identisch: 

+ T 2 

− jnω1t 

Cn 

∆ f u()e 

t dt 

= ∫ 

−T 

2 

[C n ] = V (im Falle von Spannungen) 

+∞ 

C n 

− jωt 

lim = ut ( )e dt X( ω) 

T →∞ 

∆ f 

∫ = 

∆ f →0 

−∞ 

[X(ω)] = V/Hz oder Vs 

Da sich bei einmaligen Vorgängen die in einem Impuls enthaltene endliche Energie auf 

unendlich viele Frequenzen verteilt, würden die Amplituden der einzelnen Frequenzlinien 

unendlich klein werden. Durch den Bezug auf ∆f mit ∆f 0 umgeht man dieses Problem. 





Analog zum Amplitudenspektrum bei periodischen Vorgängen trägt man für 

nicht-periodische Vorgänge das Amplitudendichtespektrum (= Betrag der 

Spektraldichte über der Frequenz) auf. 

Beispiel für einen Rechteckimpuls: 

Üblich: Abszisse logarithmisch geteilt 





Herleitung des Amplitudendichtspektrums für den Rechteckimpuls: 

⎧ u$ für 0 < t < τ 

⎪ 

ut () = ⎨0 

fürτ 

≤t≤+∞ 

⎪ 

⎩ 

0für 

−∞≤t 

≤0 

+∞ 

τ 

$ $ $ − j 

( ) 

−jωt $ −jωt u −jωt 

τ u −jωτ 2u 

ωτ 

X( ω) = ∫ u( t)e dt = u∫e dt =− ⎡e ⎤ = − e = sin e 

jω ⎣ ⎦ 1 

0 

jω ω 2 

−∞ 

2u$ 

ωτ τ 2 

X ( ω) = sin ⋅ 

ω 2 τ 2 

0 

ωτ 

2 

$ 1 ωτ 

X( ) u sin u$ 

ωτ 

ω = τ = τ ⋅si 

ωτ 2 2 2 

mathematische 

Amplitudendichte 

$ τ ( π τ) 

U( f ) = 2u 

⋅si 

f 

physikalische (messbare) einseitige Amplitudendichte 





• Amplitudendichte = Spaltfunktion (si-Funktion) 

• Nullstellen identisch mit dem Kehrwert der Impulsdauer (1/τ) 

• Anfangswert identisch mit der doppelten Impulsfläche (2ûτ) 




Signaldarstellung Zeit-/Frequenzbereich - Zusammenfassung 

nach [H] 




Nicht-periodische Zeitbereichsfunktion – EMV-Tafel 

Transiente Störungen …. 

• beschreibbar im Zeitbereich durch Differential-Gleichungen 

• einfacher: Behandlung im Frequenzbereich (durch Fourier-Transformation) 

• noch einfacher: grafische Realisierung der Fourier-Transformation 

EMV-Tafel 

Das leistet die EMV-Tafel: 

• grafische Bestimmung der Einhüllenden (worst case) der 

Amplitudendichte eines gegebenen Standardstörimpulses: 

grafische Transformation "Zeitbereich Frequenzbereich" 

• Synthese einer störäquivalenten Impulsform aus einem gegebenen 

Störspektrum: 

grafische Rücktransformation "Frequenzbereich Zeitbereich" 

• Berücksichtigung der frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften 

von Kopplungspfaden, Entstörmitteln usw. 





u 

τ r 

τ r 

û 0,5 û τ 

t 

Ein Trapezimpuls deckt einen großen Teil in der Praxis auftretender Störimpulse ab: 

• τ r 

= 0 Rechteckimpuls 

• τ = τ r 

Dreieckimpuls 

Physikalische Amplitudendichte des Trapezimpulses 

(mit Hilfe der Fourier-Transformation): 

$ sin f sin f 

r 

U ( f ) = π τ π τ 

2uτ ⋅ u$ 

τ si( π fτ) si( π fτ 

r 

) 

π fτ 

⋅ π fτ 

= 2 ⋅ ⋅ 

r 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel: Approximation mit 3 Geradenstücken 

u(f) dB 

Steigung 1 

Steigung Steigung 2 

u(f) für f < f u 

f u 

f o 

log f 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel 

a) für niedrige Frequenzen f < f u 

u(f) dB 

Sinusfunktion näherungsweise gleich ihrem Argument: 

$ sin f sin f 

r 

U( f ) = π τ π τ 

2uτ 

⋅ u$ 

τ const. 

π fτ 

⋅ π fτ 

≈ 2 = 

r 

f 

Amplitudendichte hängt ausschließlich von der 

Impulsfläche ab, nicht von Impulsform, Amplitude 

oder jeweiliger Frequenz! 

2u$ 

τ 

u( f ) 

dB 

≈ lg dB 

µVs 

20 1 

log f 

f u 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel b) für mittlere Frequenzen 

1 ≤ f ≤ 

1 

πτ πτr 

• sinπ fτ = 1 (als "worst case") 

u(f) dB 

• Funktion sinπ fτ r näherungsweise gleich ihrem Argument: 

$ 

$ sinπ fτ 

sinπ fτr 

( ) $ 1 2u 

U f = 2uτ 

⋅ ⋅ ≈ 2uτ 

= 

π fτ π fτ π fτ π f 

20 dB/Dekade 

r 

2u$ 

π f 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

1µVs 

Amplitudendichte ist 

proportional 1/f und fällt 

daher geradlinig mit 20 

dB/Dekade ab. 

f u 

f o 

log f 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel 

c) für hohe Frequenzen f ≥ f o 

u(f) dB 

• sinπ fτ = 1 (als "worst case") 

• sinπ fτ r = 1 (als "worst case"): 

$ sinπ fτ 

sinπ fτ 

$ 

r 

( ) $ 1 1 2u 

U f = 2uτ 

⋅ ⋅ ≈2uτ 

⋅ = 

f f f f 2 

f 2 

π τ π τ π τ π τ π τ 

r 

r 

r 

Amplitudendichte ist 

proportional 1/f 2 und 

fällt daher geradlinig mit 

40 dB/Dekade ab. 

40 40 dB/Dekade dB/Dekade 

$ 2 2 

2u 

( π f τr 

) 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

1µVs 

f u 

f o 

log f 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel d) Ermittlung der Eckfrenzen 

Gleichsetzen der Funktionswerte in den 

u(f) dB 

Schnittpunkten der Geradenstücke: 

= : $ 2u$ 

1 

2uτ 

= ⇒ fu 

= 

π f 

u 

πτ 

2 

2u$ 

π f 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB = 3: 

2u$ 2u$ 

1 

= ⇒ fo 

= 

2 2 

1µVs 

π fo π foτr πτr 

1 

2u$ 

τ 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

3 

u$ 

2 2 

1 µVs 

2 ( π f τr 

) 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

1µVs 

20 dB/Dekade 

40 dB/Dekade 

f u 

f o 

log f 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel: Zusammenfassung 1 

u(f) dB 

20 dB/Dekade 

2u$ 

π f 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

1µVs 

2u$ 

τ 

u( f ) 

dB 

≈ lg dB 

µVs 

$ 2 2 

2u 

( π f τr 

) 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

1µVs 

20 1 

u 

40 dB/Dekade 

f 

= 1 fo 

= 1 

πτ 

πτ 

r 

log f 





Zur Konstruktion der EMV-Tafel: Zusammenfassung 2 

Möglichkeit der Darstellung beliebiger Trapez-, Rechteckund 

Dreieckimpulse 

• Rechteck: τ r


Rückkehr vom Frequenz- in den Zeitbereich 

u(f) dB 

Aus einem aufgenommenen 

Amplitudendichtespektrum 

können die Kenngrößen 

• Impulsfläche ûτ 

• Impulsamplitude û 

• Flankensteilheit û/τ r 

• Impulsdauer τ 

• Anstiegszeit τ r 

eines äquivalenten Impulses 

ermittelt werden. 

f u 

f o 

log f 






u(f) dB 

Impulsfläche ûτ 

u( f ) dB 

$ 1 

20 

uτ = ⋅ 10 

2 

µVs 

2u$ 

τ 

u( f ) 

dB 

≈ lg dB 

µVs 

Abstand der Parallelen 

zur Abszisse 

20 1 

f u f o 

log f 






u(f) dB 

2u$ 

π fu 

u( fu) dB≈ 

20 lg dB 

1µVs 

Pegel bei der unteren 

Eckfrequenz 

Impulsamplitude û 

2u$ 

π f 

u 

= 10 

u( fu) 

20 

$ π f 

u 

u = ⋅10 

2 

dB 

u( fu) 

20 

dB 

µV 

µV 

f u 

f o 

log f 






u(f) dB 

Flankensteilheit û/τ r 

$ 

u( fo) 

dB 

2u 

20 

= 10 µV/s 

2 2 

π f τ 

u$ 

τ 

r 

o 

r 

π f 

2 

2 2 

o 

= ⋅ 

10 

u( f ) 

20 

o dB 

µV/s 

$ 2 2 

2u 

( π f τr 

) 

u( f ) 

dB 

≈ 20 lg dB 

1µVs 

Pegel bei der oberen 

Eckfrequenz 

f u 

f o 

log f 






u(f) dB 

f u 

Impulsdauer τ 

τ = 1 

π f 

u 

= 1 

πτ 

f o 

log f 






u(f) dB 

Anstiegszeit τ r 

τ 

r 

= 1 

π 

f o 

f u 

f 

o 

= 1 

πτ 

r 

log f 





Rückkehr vom Frequenz- in den Zeitbereich: Zahlenbeispiel [Sch] 

• Gemessene Werte eines Dreieckimpulses im angepassten Betrieb 

es handelt sich um das physikalische Spektrum 2 |X(ω)| geteilt durch 2 

entspricht dem mathematischen Spektrum |X(ω)| 

• Verwendung von doppelt logarithmischem Koordinatenpapier mit 

eingezeichneten 20-dB- und 40-dB-Parallelenscharen 











Impulsfläche 

u( f ) dB 

$ 1 

uτ = ⋅ 10 

20 

µVs 

2 

60 

1 

20 

= ⋅ 10 µVs 

2 

= 500 µVs 






Impulsamplitude u$ 

u( fu) 

dB 

π f 

u 20 

= ⋅10 

µV 

2 

6 60 

π ⋅10 = ⋅ 10 

20 

µV 

2 

6 

= 1571⋅10 µV = 1571V 






Flankensteilheit 

$ 2 2 u( fo) 

dB 

u 

τ 

r 

π f 

2 

o 

= ⋅ 

10 

20 

µV/s 

2 6 2 60 

π ( 10 ) 

20 

= ⋅10 

µV/s 

2 

15 

= 49310 , ⋅ µV/s = 493 , V/ns 






Impulsdauer 

τ = 1 

π f 

= 1 

π 

= 318 

6 

10 

u 

ns 






Anstiegszeit 

(0 auf 100%) 

τ 

r 

= 1 

π f 

= 1 

π 

= 318 

6 

10 

o 

ns 










Berücksichtigung des Übertragungsweges 

Allgemein: die Fourier-Transformierte der Ausgangsgröße eines Systems 

ergibt sich durch Multiplikation der Fourier-Transformierten der 

Eingangsgröße mit der Systemfunktion: F (j ω) = F(j ω) A(j ω) 

2 1 

Störquelle 

F Q (jω) 

Kopplungsmechanismus 

A K (jω) 

Störempfänger 

A E (jω) 

F E (jω) 

Störende Amplitudendichte am Empfängerausgang: 

F (j ω) = F (j ω) A (j ω) A (j ω) 

E Q K E 

In der Pegeldarstellung entspricht dem eine Addition der Terme.

Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich - Fachgebiet ...

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