E05 Elektrische Schwingungen
E05 Elektrische Schwingungen
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FachHochschule Lausitz <strong>Elektrische</strong> <strong>Schwingungen</strong> Namen:<br />
Matrikel:<br />
Physikalisches Praktikum E 5 Datum:<br />
1 Ziel des Versuches<br />
<strong>Elektrische</strong> <strong>Schwingungen</strong> am Serien- und Parallelschwingkreis werden erzeugt und untersucht.<br />
Dabei sollen Unterschiede zwischen den beiden Schaltungen und Gemeinsamkeiten mit<br />
den mechanischen <strong>Schwingungen</strong> verdeutlicht werden.<br />
2 Grundlagen<br />
2.1 Freie elektrische <strong>Schwingungen</strong><br />
Lädt man einen Kondensator der Kapazität C auf die Spannung U 0 und entlädt ihn über eine<br />
parallel geschaltete Spule der Induktivität L, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen am<br />
Kondensator und an der Spule gleich groß sein:<br />
− L I =<br />
Q<br />
(1)<br />
C<br />
Es ist Q = CU die aktuelle Ladung auf einer Kondensatorplatte. Um Q zu eliminieren, wird<br />
die zeitliche Ableitung von (1) gebildet:<br />
1<br />
LI<br />
+ I = 0<br />
C<br />
(2)<br />
Diese Differentialgleichung hat die gleiche Struktur wie die Schwingungsgleichung für einen<br />
mechanischen, harmonischen Oszillator. Die Stromstärke in der beschriebenen Schaltung<br />
vollführt also eine harmonische Schwingung<br />
~ ω<br />
i t<br />
() t I e<br />
0<br />
I<br />
0<br />
= (3)<br />
(dabei ist nur der Realteil I () t Re I ( t)<br />
~<br />
= physikalisch relevant) mit der Eigenfrequenz<br />
ω = 1<br />
0<br />
LC<br />
. (4)<br />
Gleiches gilt auch für die Spannung. Die Parallelschaltung von Spule und Kondensator wird<br />
deshalb als elektrischer Schwingkreis bezeichnet.<br />
Wie beim mechanischen Oszillator tritt auch beim elektrischen Schwingkreis unvermeidlich<br />
eine Dämpfung auf, hier verursacht durch den Ohmschen Widerstand R der Leitungen. Dieser<br />
wirkt, als ob er in Reihe zu den anderen Bauelementen geschaltet ist. In (1) ist nun zusätzlich<br />
der Spannungsabfall an R zu berücksichtigen und man erhält<br />
− L I =<br />
Q<br />
+ RI<br />
(5)<br />
C<br />
Die zeitliche Ableitung von (5) führt wieder zu einer homogenen Differentialgleichung der<br />
Struktur, die auch im mechanischen Fall auftritt.<br />
1<br />
LI + RI<br />
+ I = 0<br />
(6)<br />
C
2<br />
Der Vergleich mit dem mechanischen Fall ergibt für den Dämpfungsfaktor des elektrischen<br />
Schwingkreises<br />
R<br />
δ =<br />
(7)<br />
2L<br />
Das Verhalten des Schwingkreises hängt wie im mechanischen Fall von der Stärke der Dämpfung<br />
ab. Der Versuch beschränkt sich auf den schwach gedämpften Fall (δ < ω 0 ), in dem die<br />
Lösung von (6) eine harmonische Schwingung mit exponentiell abklingender Amplitude ergibt<br />
t i Dt<br />
I t = I e −δ ⋅e ω<br />
(8)<br />
() 0<br />
mit der nun verringerten Eigenfrequenz<br />
ω<br />
2 2<br />
D<br />
= ω 0<br />
− δ . (9)<br />
Die Teilspannungen an jedem der Bauelemente führen ebenfalls harmonische <strong>Schwingungen</strong><br />
aus, allerdings mit einer Phasenverschiebung gegenüber dem Strom.<br />
2.2 Erzwungene <strong>Schwingungen</strong> im Serienschwingkreis<br />
R<br />
Eine Möglichkeit zur Erzeugung erzwungener<br />
elektrischer <strong>Schwingungen</strong> ist die in Bild1 dargestellte<br />
RLC-Serienschaltung. Bei einer Erregerspannung<br />
~<br />
e i ω a<br />
U t = U<br />
(10)<br />
( )<br />
t<br />
Bild1: Reihenschaltung von R, L und C<br />
ergibt sich die Stromstärke im eingeschwungenen<br />
Zustand gemäß dem ohmschen Gesetz durch Division mit dem komplexen Widerstand<br />
~ ~ ~<br />
1<br />
Z = R + Z + Z = R + i ω L − :<br />
L<br />
C<br />
~<br />
I<br />
() t<br />
U () t<br />
Die Amplitude des Stroms<br />
L<br />
( )<br />
a<br />
C<br />
U C<br />
() t<br />
ωaC<br />
~<br />
= U () t<br />
R + i<br />
(11)<br />
1<br />
( ω L − )<br />
a ωa C<br />
0<br />
I<br />
0<br />
U<br />
0<br />
= (12)<br />
2<br />
1<br />
R + ( ω ) 2<br />
a<br />
L − ω aC<br />
wird maximal, wenn die Erregerfrequenz ω a gleich ist der Eigenfrequenz ω 0 des ungedämpften<br />
Kreises ist:<br />
1<br />
ω<br />
a, I max<br />
= ω<br />
0<br />
=<br />
(13)<br />
LC<br />
Da der Nenner von (11) in diesem Fall reell ist, fließt der Strom in Phase mit der Erregerspannung.<br />
Die Schaltung lässt also bevorzugt Wechselstromsignale einer bestimmten Frequenz<br />
passieren. Man nennt sie deshalb Siebkette.<br />
Die Spannung am Kondensator der Siebkette ist
~<br />
U<br />
Sie hat die Amplitude<br />
C<br />
~<br />
() t = I () t<br />
1<br />
iω<br />
C<br />
a<br />
~<br />
U<br />
=<br />
iω<br />
RC −<br />
a<br />
3<br />
( t)<br />
2<br />
( ω LC −1)<br />
a<br />
(14)<br />
U<br />
C,0<br />
~<br />
= U<br />
C<br />
=<br />
ω R<br />
2<br />
a<br />
2<br />
C<br />
2<br />
U<br />
+<br />
0<br />
2<br />
( ω LC −1) 2<br />
a<br />
(15)<br />
Um zu bestimmen, für welche Erregerfrequenz die Spannung maximal wird (Spannungsresonanz),<br />
wird die Ableitung des Nenners von (15) gleich 0 gesetzt und es ergibt sich:<br />
ω<br />
R<br />
2L<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
a , U<br />
= ω<br />
0<br />
− = ω<br />
2 0<br />
− 2δ<br />
(16)<br />
max<br />
Die Phasendifferenz α zwischen der Erregerspannung und der Spannung am Kondensator<br />
ergibt sich aus der Darstellung der Teilspannungen in der komplexen Ebene. Es ist<br />
R<br />
tan α = 1<br />
(17)<br />
−ω<br />
L<br />
ωaC<br />
a<br />
Ein wichtiges Maß für die Trennschärfe eines Schwingkreises ist die Halbwertsbreite der<br />
Resonanzkurve. Man versteht darunter den Abstand Δω der beiden Frequenzen, bei denen<br />
die Amplitude auf das 1 2 -fache ihres Maximalwertes abgesunken ist. Der Quotient<br />
Q = ω<br />
(18)<br />
Δω<br />
heißt Güte des Schwingkreises.<br />
2.3 Erzwungene <strong>Schwingungen</strong> im Parallelschwingkreis<br />
R<br />
U () t<br />
U () t<br />
V<br />
L<br />
Bild2: Schaltung eines Parallelschwingkreises<br />
C<br />
Von Bedeutung für technische Anwendungen ist<br />
noch der Parallelschwingkreis (Bild2). Die Stromstärke<br />
in den Zuleitungen zu dem Schwingkreis ist<br />
abhängig von der Frequenz der Erregerspannung<br />
(10). Für den komplexen Ersatzwiderstand der<br />
Schaltung gilt<br />
1<br />
~ = ~ 1 + ~ 1<br />
Z Z<br />
C<br />
Z<br />
L<br />
+ R<br />
~<br />
mit Z<br />
C<br />
=<br />
i<br />
ω C<br />
a<br />
~<br />
Z<br />
Der Betrag des Ersatzwiderstandes ist:<br />
L<br />
= −iω<br />
L . (19)<br />
a<br />
~<br />
Z<br />
=<br />
ω R<br />
2<br />
a<br />
2<br />
R<br />
C<br />
2<br />
2<br />
+ ω L<br />
+<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
( ω LC −1) 2<br />
a<br />
(20)<br />
Setzt man R
4<br />
ω = ω = 1<br />
a 0<br />
LC<br />
(21)<br />
d.h., wenn die Frequenz der von außen angelegten Spannung gleich der Eigenfrequenz des<br />
ungedämpften Kreises ist. In diesem Fall ist der Strom in den Zuleitungen minimal. Aus diesem<br />
Grund wird der Parallelschwingkreis auch Sperrkreis genannt.<br />
Bei nicht vernachlässigbarem R ist die Resonanzfrequenz wieder zu kleineren Frequenzen<br />
verschoben.<br />
3 Versuch<br />
3.1 Verwendete Geräte<br />
Funktionsgenerator und Zähler in einem Gehäuse, Oszilloskop, Vielfachmessinstrument,<br />
Kondensatoren, Spulen, Widerstände, Aufbauplatte<br />
3.2 Aufgabenstellung<br />
1.Aufgabe: Freie <strong>Schwingungen</strong><br />
Die freie schwach gedämpfte Schwingung eines Schwingkreises soll am Oszilloskop dargestellt<br />
werden. Aus dem Schwingungsverlauf ist bei gegebener Kapazität C die Induktivität L<br />
und der Ohmsche Widerstand R L der Spule zu bestimmen.<br />
2.Aufgabe: Erzwungene <strong>Schwingungen</strong> am Serienschwingkreis<br />
Für verschiedene Dämpfungen soll die Spannungs-Resonanzkurve beim Serienschwingkreis<br />
aufgenommen und die Güte bestimmt werden.<br />
3.Aufgabe: Erzwungene <strong>Schwingungen</strong> am Parallelschwingkreis<br />
Man untersuche die Frequenzabhängigkeit der Stromstärke in den Zuleitungen zu einem Parallelschwingkreis.<br />
3.3 Hinweise zur Versuchsdurchführung<br />
Bedienungsanleitungen für alle benötigten Messgeräte befinden sich am Arbeitsplatz.<br />
Zur 1.Aufgabe:<br />
Y-Eingang<br />
200Hz<br />
68nF<br />
Toleranz 5%<br />
Oszilloskop: Triggerung durch Generator<br />
Generator: max. Amplitude<br />
900Wdg<br />
500Wdg<br />
Kopplung: Spulen nebeneinander aufbauen<br />
Bild3: Versuchsaufbau zur 1.Aufgabe<br />
Bei Aufgabe1 verwendet man zur periodischen Anregung des Schwingkreises einen<br />
Impulsgenerator (Rechteckgenerator, f = 200Hz), der induktiv an die Schwingkreisspule<br />
angekoppelt wird (Bild3). Die Frequenz dieser Anregung muß klein sein gegen die<br />
Eigenfrequenz des Schwingkreises (warum?).
5<br />
Am Oszilloskop ist zunächst die Schwingungsdauer T des Schwingkreises unter<br />
Verwendung der kalibrierten Zeitbasiseinstellung abzulesen (zur Bestimmung von f D und ω D ).<br />
Die auftretende Abweichung ist abzuschätzen.<br />
Danach ist die Amplitude in Abhängigkeit von t = t/T zu bestimmen. Dazu sind die<br />
Spannungswerte Spitze-Spitze (U SS ) entsprechend der Eingangseinstellung des Oszilloskops<br />
für die ersten 15-20 Perioden abzulesen.<br />
Diese Abhängigkeit ist auf halblogarithmischen Papier als Funktion U SS = f (n) darzustellen<br />
(U SS logarithmisch).<br />
Aus dem Anstieg der Kurve ist die Dämpfungskonstante δ zu berechnen. Die Gleichung dazu<br />
(mit z.B. n = 1 und n = 20) lautet (Diese Gleichung ist aus (8) herleitbar):<br />
U 20 −δ<br />
19 T<br />
U<br />
1<br />
= e<br />
(22)<br />
Unter Verwendung von (9), (7) und (4) sind ω 0 (Abweichung ω 0 zu ω D in % ebenfalls<br />
angeben), L und R L zu berechnen.<br />
Die jeweiligen maximalen Messunsicherheiten sind unter Verwendung festzulegender Fehlerbalken<br />
in der Darstellung U SS = f (n) abzuschätzen.<br />
Zur 2.Aufgabe:<br />
1...8kHz<br />
TTL<br />
Zähler ~<br />
500Wdg<br />
R<br />
0 bzw. 56Ω<br />
Generator: max. Amplitude<br />
Bild4: Versuchsaufbau zu Aufgabe 2<br />
die Resonanzfrequenz so genau wie möglich zu messen.<br />
L<br />
900Wdg<br />
C<br />
100nF<br />
V<br />
U eff<br />
Bei den Messungen zu den<br />
erzwungenen <strong>Schwingungen</strong><br />
wird eine sinusförmige<br />
gerspannung mit konstanter<br />
Amplitude verwendet.<br />
Die Frequenz wird mit dem<br />
Digitalzähler gemessen und<br />
ist in Schritten von 1kHz im<br />
vorgegebenen Bereich zu variieren.<br />
In der Nähe der Resonanz<br />
ist die Schrittweite auf<br />
500Hz zu verringern und auch<br />
Die sich ergebende Resonanzkurve für U eff (t) (gemessen mit einem Multimeter) sind für<br />
R = 0Ω und R = 56Ω aufzunehmen und mit Angabe von Resonanzfrequenz und Halbwertsbreite<br />
grafisch darzustellen. Die sich ergebende Güte (18) der Schwingkreise ist zu berechnen.<br />
Die Ergebnisse, insbesondere die gemessenen Resonanzfrequenzen, sind in ihren Abhängigkeiten<br />
zu diskutieren.<br />
Zur 3.Aufgabe:<br />
Um eine Rückwirkung des Schwingkreises auf die Ausgangsamplitude und auf die Wellenform<br />
des Funktionsgenerators weitgehend zu verhindern, wird hier zur Strombegrenzung der<br />
Widerstand R V verwendet (Aufbau siehe Bild5).
6<br />
Zähler<br />
Generator:<br />
max. Amplitude<br />
3...6kHz<br />
~<br />
R V<br />
Bild 5: Versuchsaufbau zu Aufgabe 3<br />
L<br />
900Wdg<br />
3,3kΩ<br />
C<br />
V<br />
100nF<br />
U RV<br />
Die Resonanzkurve ist ebenfalls grafisch darzustellen (<br />
4 Ergänzungen<br />
Der Strom in den Zuleitungen zum<br />
rallelschwingkreis kann über den Spannungsabfall<br />
an R V bestimmt werden<br />
(Vielfachmessinstrument verwenden).<br />
Die Frequenz ist im angegebenen Bereich<br />
zu variieren: 3,0kHz, 3,5kHz,<br />
4,0kHz, in 100Hz-Schritten bis 5,0kHz,<br />
5,5kHz, 6,0kHz.<br />
Die Resonanzfrequenz ist gesondert zu<br />
bestimmen.<br />
U<br />
V<br />
( f )<br />
R<br />
= f ) und zu diskutieren.<br />
Welche Zustände eines Parallelschwingkreises entsprechen den verschiedenen Zuständen<br />
eines schwingenden Faden- oder Federpendels mit äußerer Anregung?<br />
Man leite aus Gl.(15) ab, dass die Spannungsüberhöhung im Resonanzfall<br />
U C ,0 ω<br />
0<br />
=<br />
U 2δ<br />
0<br />
(23)<br />
ist und sich bei kleinen Dämpfungsfaktoren die Halbwertsbreite der Resonanzkurve zu<br />
Δω<br />
≈ 2δ<br />
(24)<br />
ergibt.