Musterlösung Kolloquium 08 - Institut für Baustatik und Konstruktion
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Prof. Dr. Peter Marti<br />
<strong>Institut</strong> <strong>für</strong> <strong>Baustatik</strong> <strong>und</strong> <strong>Konstruktion</strong><br />
D-BAUG, Studiengang Bauingenieurwissenschaften<br />
Frühjahrssemester<br />
BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 8, Lösung<br />
(101-0114)<br />
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
Thema: Traglastverfahren: Oberer Grenzwertsatz, Plastizitätskontrolle<br />
Aufgabe 1<br />
Gegeben:<br />
System <strong>und</strong> Belastungen Q<br />
Querschnittswiderstände: Riegel:<br />
Stütze:<br />
<br />
Mu Mu Mu<br />
<br />
Mu /5 Mu /5 Mu<br />
/5<br />
<br />
Mu Mu Mu<br />
Gesucht:<br />
a) Traglast mit dem oberen Grenzwertsatz<br />
b) Plastizitätskontrolle <strong>für</strong> denjenigen Mechanismus aus a), der die beste Näherung <strong>für</strong> die<br />
Traglast ergibt.<br />
a) Oberer Grenzwertsatz (kinematische Methode)<br />
Ermittlung eines kinematisch verträglichen Mechanismus<br />
Die aus der Gleichsetzung der äusseren Arbeit <strong>und</strong> der Dissipationsarbeit ermittelte Traglast ist grösser oder<br />
gleich der tatsächlichen Traglast.<br />
n 3 → Versagen des Systems bei n 1 4 Gelenken (Ausnahme: Balkenmechanismus)<br />
Abzählkriterium zur Ermittlung der Anzahl unabhängiger Gr<strong>und</strong>mechanismen:<br />
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
PM <strong>Kolloquium</strong> 8, <strong>Musterlösung</strong> Seite 1/6<br />
SSch/<strong>08</strong>.09.2011
Anzahl möglicher plastischer Gelenke: nk<br />
6<br />
Grad der statischen Unbestimmtheit: n 3<br />
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<strong>Institut</strong> <strong>für</strong> <strong>Baustatik</strong> <strong>und</strong> <strong>Konstruktion</strong><br />
D-BAUG, Studiengang Bauingenieurwissenschaften<br />
Frühjahrssemester<br />
Anzahl unabhängiger Gr<strong>und</strong>mechanismen: n n n 3 2 Balkenmechanismen<br />
Gr<strong>und</strong>mechanismen:<br />
F<br />
k<br />
1 Knotenmechanismus<br />
- Balkenmechanismus 1:<br />
W Q1<br />
2 4 2<br />
8M<br />
D M<br />
u<br />
u <br />
<br />
l l l<br />
<br />
l<br />
8M<br />
W D Q u<br />
k <br />
l<br />
<br />
8M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
- Balkenmechanismus 2:<br />
W Q1<br />
2 4 2 Mu<br />
4 44M<br />
D M<br />
u<br />
u <br />
<br />
l l l<br />
<br />
5 l 5l<br />
44M<br />
W D Q u<br />
k <br />
5l<br />
<br />
44M<br />
Q u<br />
u <br />
5l<br />
- Knotenmechanismus:<br />
Knotenmechanismus bei 3 <strong>und</strong> mehr Stäben:<br />
(Wird nur <strong>für</strong> Kombination verwendet; bei diesem<br />
Beispiel nicht möglich)<br />
Merke:<br />
Von allen möglichen kinematisch verträglichen Mechanismen ist der kleinste ermittelte Wert von Q u <strong>für</strong> die<br />
Traglast massgebend <br />
8M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
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PM <strong>Kolloquium</strong> 8, <strong>Musterlösung</strong> Seite 2/6<br />
SSch/<strong>08</strong>.09.2011
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Frühjahrssemester<br />
b) Plastizitätskontrolle <strong>für</strong> den Balkenmechanismus 1:<br />
- Variante 1 <strong>für</strong> möglichen Verlauf der M-Linien:<br />
<br />
MA MB Mu<br />
, M(2)<br />
Mu<br />
8M<br />
Q u<br />
k <br />
l<br />
Das System ist 3-fach statisch unbestimmt.<br />
Für die Traglast sind i.a. 4 Gelenke notwendig.<br />
Ausnahme: Balkenmechanismus<br />
(3 Gelenke auf einer Geraden = lokaler Mechanismus)<br />
Der Rest des Systems bleibt statisch unbestimmt<br />
(unbekannte horizontale Reaktion in der Einspannung).<br />
Verlauf der M-Linien so, dass Fliessbedingung im Riegel<br />
gerade nicht verletzt wird.<br />
- Variante 2 <strong>für</strong> möglichen Verlauf der M-Linien:<br />
Verlauf der M-Linien so, dass Fliessbedingung in Stütze<br />
gerade nicht verletzt wird.<br />
- Folgerung:<br />
Die Verläufe der Momentenlinien Variante 1 <strong>und</strong><br />
Variante 2 sowie alle dazwischenliegenden (schraffierter<br />
Bereich) verletzen die Fliessbedingung nirgends.<br />
<br />
<br />
alle M M u<br />
Fliessbedingung nirgends verletzt<br />
vollständige Lösung<br />
c) Vollständige Lösung<br />
8M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
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PM <strong>Kolloquium</strong> 8, <strong>Musterlösung</strong> Seite 3/6<br />
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Frühjahrssemester<br />
Aufgabe 2<br />
Gegeben:<br />
Gesucht:<br />
System (keine horizontale Auflagerkraft in D) <strong>und</strong> Last Q<br />
Querschnittswiderstände gemäss Interaktionsdiagramm<br />
a) Drei verschiedene Bruchmechanismen mit zugehörigen oberen Grenzwerten <strong>für</strong> die<br />
Traglast.<br />
b) Plastizitätskontrolle <strong>für</strong> die drei Mechanismen. Wo wird die Fliessbedingung verletzt?<br />
c) Liefert einer der Mechanismen die vollständige Lösung?<br />
Abzählkriterium zur Ermittlung der Anzahl unabhängiger Gr<strong>und</strong>mechanismen:<br />
Anzahl möglicher plastischer Gelenke: nk<br />
5<br />
Grad der statischen Unbestimmtheit: n 3<br />
Anzahl unabhängiger Gr<strong>und</strong>mechanismen: nF<br />
nk<br />
n 2<br />
a) 3 verschiedene Mechanismen<br />
- Mechanismus 1:<br />
W Q1<br />
1 2 1<br />
4M<br />
D M<br />
u<br />
u <br />
<br />
l l l<br />
<br />
l<br />
4M<br />
W D Q u<br />
k <br />
l<br />
<br />
4M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
PM <strong>Kolloquium</strong> 8, <strong>Musterlösung</strong> Seite 4/6<br />
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Frühjahrssemester<br />
- Mechanismus 2:<br />
1<br />
W Q<br />
2<br />
1 1 1 <br />
D Mu<br />
<br />
Nu<br />
1<br />
2l l 2l<br />
<br />
2Mu 10Mu 12M<br />
1<br />
u<br />
l l l<br />
24M<br />
W D Q u<br />
k <br />
l<br />
<br />
24M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
- Mechanismus 3:<br />
W Q1<br />
1 4 1 2<br />
D Mu<br />
<br />
Nu<br />
l 3l 3l<br />
<br />
3<br />
8Mu 10Mu 2 28M<br />
<br />
u<br />
3l l 3 3l<br />
28M<br />
W D Q<br />
u<br />
k <br />
3l<br />
<br />
Q<br />
u<br />
28M<br />
<br />
3l<br />
u<br />
b) Plastizitätskontrolle<br />
- Mechanismus 1:<br />
<br />
M A Mu , M B Mu , MC<br />
Mu<br />
4M<br />
Q u<br />
k <br />
l<br />
2Mu<br />
3M<br />
M u<br />
u M D Mu<br />
N <br />
l l<br />
alle M Mu<br />
resp. N Nu<br />
Fliessbedingung nirgends verletzt<br />
vollständige Lösung<br />
4M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
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Frühjahrssemester<br />
- Mechanismus 2:<br />
<br />
M A Mu , MC Mu ,<br />
<br />
M D Mu , NCE<br />
Nu<br />
24M<br />
Q u<br />
k <br />
l<br />
13M<br />
A u<br />
l<br />
M<br />
D u<br />
l<br />
13M<br />
M u<br />
B Mu Al Mu l 12Mu Mu<br />
l<br />
<br />
Fliessbedingung im Riegel verletzt<br />
- Mechanismus 3 :<br />
<br />
M A Mu , M B Mu ,<br />
<br />
M D Mu , NCE<br />
Nu<br />
28M<br />
Q u<br />
k <br />
3l<br />
8M<br />
D u<br />
3l<br />
MC<br />
Mu<br />
D 2l<br />
8Mu<br />
19M<br />
M 2 u<br />
u l Mu<br />
3l<br />
3<br />
<br />
Fliessbedingung im Riegel verletzt<br />
c) Vollständige Lösung<br />
4M<br />
Q u<br />
u <br />
l<br />
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PM <strong>Kolloquium</strong> 8, <strong>Musterlösung</strong> Seite 6/6<br />
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