Phase and Group Delay, Dispersion (Phasen- und Gruppenlaufzeit ...

Phase and Group Delay, Dispersion
(Phasen- und Gruppenlaufzeit, Dispersion)
Frage: Wie verändert sich ein Signal auf einer Leitung?
• Ein Beispiel wurde behandelt:
Impulsverzerrung auf der Skineffekt behafteten Leitung:
Frequenzabhängige Dämpfung und Laufzeit bewirken eine
Impulsverzerrung.
• Solche (lineare) Verzerrungen können (zu einem gewissen
Grad) rückgängig gemacht werden mit phasenkorrigierenden
Netzwerken und frequenzabhängigen Verstärkungen.
• Die Schrittantwort eines Systems umfasst einen sehr
grossen Frequenzbereich im Basisband (Frequenz 0...xx
MHz/GHz). Zur Bestimmung der Schrittantwort muss
eine Übertragungsstrecke in einem sehr grossen Frequenzbereich
charakterisiert sein.
Signal dispersion in a narrow frequency domain
(Signaldispersion in einem schmalen Frequenzbereich)
In vielen technischen Anwendungen werden Signale (analoge
und digitale) nicht im Basisband, sondern mittels Trägerfrequenz
in einem nach unten und oben begrenzten Frequenzband
übertragen.
Frage: können einfache Aussagen gemacht werden über
die Dispersion für relativ schmalbandige Signale ?
Antwort: Ja, wird in diesem Kapitel behandelt.
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-35

Our Approach:
Unser Vorgehen:
• Darstellung von schmalbandigen Trägerfrequenzsignalen
im Zeitbereich und Frequenzbereich.
• Bedingung für Dispersionsfreiheit, Phasen- und Gruppenlaufzeit.
• Dispersion einer einfachen Signalform: der gaussförmige
Impuls.
Phasengeschwindigkeit vp und Gruppengeschwindigkeit vg
• Phasengeschwindigkeit vp einer in z-Richtung laufenden
Welle
Ein Punkt konstanter Phase bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit
v p
=
ω
β
• Gruppengeschwindigkeit vg = Geschwindigkeit der Signalenveloppe:
dω
v g =
dβ
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-36

Für beliebige amplitudenmodulierte Signale gilt:
• Mit einer Wellenausbreitungskonstanten
γ = j β = j (βο + β' (ω−ωο))
wird ein mit der Frequenz ω o amplitudenmoduliertes
Signal dispersionsfrei übertragen:
• Geschwindigkeit der Enveloppe =
Gruppengeschwindigkeit v g
v g
dω
1
= =
d β β '
• Gruppenlaufzeit: τg = 1/vg
• Geschwindigkeit der Trägerphase
= Phasengeschwindigkeit v p
(constant) (26)
v p
=
ωO
β ( ω )
O
(27)
Therefore, the envelope does not change shape with time, but
the carrier changes its phase w.r.t. it (since in general, v p ≠ v g ).
Recall: AM of a carrier ω C by a modulating signal ω M results
in signal sidebands at (ω C ± ω M ).
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-37

Beispiel: Skineffektbehaftete Leitung
Gl. (10):
Mit den Leitungsdaten von Beispiel auf Seite ZB-29 finden
wir für die Trägerfrequenz ω = ωo = 2π ⋅ 1 MHz:
Die Gruppenlaufzeit erfährt durch den Skineffekt nur eine
kleine Erhöhung gegenüber dem Wert der verlustfreien
Leitung.
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-38

Impulsdispersion von schmalbandigen Signalen:
Dispersion des gaussförmigen Impulses
In den letzten Betrachtungen:
• Bestimmung der Gruppen- und Phasengeschwindigkeiten
von schmalbandigen Signalen
• Erkenntnis:
Bei konstantem Dämpfungsbelag α macht ein von der
Frequenz linear abhängiger Phasenbelag β
β = βo + β’ (ω − ωo)
keine Signaldispersion
• Frage: Kann eine einfache Aussage über die Dispersion
gemacht werden, wenn ein weiterer Term von
β (ω) berücksichtigt wird:
Antwort: Einfache Aussage ist möglich, aber nur für
den Fall des gaussförmigen Impulses.
Gaussförmiger Impuls im Zeitbereich:
(28)
σt: zeitliche Standardabweichung
A: Impulsfläche
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-39

Gaussförmig amplitudenmodulierter Impuls:
(29)
Wir beschränken uns auf den schmalbandigen amplitudenmodulierten
gaussförmigen Impuls:
schmalbandig heisst:
1 2π
σ t >> = f ω
0
0
Die Herleitung ist etwas langwierig, das Resultat aber
äusserst einfach. Wir beschränken uns auf die Interpretation
des Resultates.
(Narrowband: In other words, carrier period

Unter dem Einfluss einer Phasenfunktion 2. Ordnung
(30)
keine Dispersion
bewirkt Dispersion
.... wird die Enveloppenfunktion Go(t) komplex.
Unverzerrter gaussförmiger Impuls:
(31)
β ''
Mit γl
= jl
⎛ ⎜ ω −ω0
⎝ 2
gaussförmigen Impuls
( ) 2
⎞
⎟
⎠
erhält man den verzerrten
(32)
(33)
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-41

Die Wellengruppe mit der komplexen Enveloppe kann als
Wellengruppe mit einer reellen gaussförmigen Enveloppe
dargestellt werden.
Eine Wellenausbreitungskonstante von der Form
verzerrt einen mit der Trägerfrequenz ωo amplitudenmodulier
ten gaussförmigen Impuls so, dass die gaussförmige Kurvenform
erhalten bleibt.
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-42

Nur die Impulshöhe Uo und die zeitliche Standardabweichung
σ t werden verändert:
(34)
(35)
50 % Impulsbreite = FWHM (Full Width Half Maximum)
FWHM ≈ 2.36 σ t
N.B.: Physically, why does the pulse amplitude decrease?
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-43

Anwendung auf verlustbehaftete Leitungen:
• Bei typischen Skin-Effekt behafteten Leitungen ist die
Verzerrung eines gaussförmigen Impulses relativ klein,
d.h. die Leitungslängen werden eher durch die reine
Dämpfung als durch die Signalverzerrung begrenzt.
• Laufzeitverzerrungen sind wichtig bei:
- Filtern (Betrachtung demnächst)
- Optischen Fasern (Lichtwellenleiter).
Faser zeigt sehr kleine Dämpfung ( α ≤ 0.3 dB/km ), aber
relativ grosse Laufzeitverzerrungen, da der Brechungsindex
von Glas wellenlängenabhängig ist.
ETH-IFH C. Bolognesi, 2007 ZB-44