Ab-initio-Untersuchungen der Aminosäuren Glycin, Alanin und Cystein

42 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
• leichte Handhabbarkeit, da alle Überlappungsintegrale analytisch ausführbar sind; alle anderen
auftretenden Integrale sind auf deren Fourier-Transformierte zurückführbar
• einfache Lösbarkeit der Schrödinger-ähnlichen Kohn-Sham-Gleichung, die so in ein lineares
Gleichungssystem überführt und damit für Standardlösungsmethoden zugänglich wird
• sie erfüllen die Vollständigkeitsrelation und Orthonormiertheit
∑
∫
χ k,G (r)χ ∗ k,G (r′ ) = δ(r − r ′ ) und d 3 r χ ∗ k,G (r)χ k ′ ,G ′(r) = δ kk ′δ GG ′, (2.201)
k,G
so dass sichergestellt ist, dass eine Vergrößerung der in der Praxis verwendeten Basis auch
zu einer ,,exakteren” Beschreibung der Lösung führt – bei der Verwendung von lokalisierten
Basisfunktionen ist dies nicht zwingend der Fall
• bei der Beschränkung auf eine endliche Zahl von Basisfunktionen erlaubt die dennoch
gute Erfüllung der Vollständigkeitsrelation im Falle ebener Wellen eine auskonvergierte
Berechnung von Matrixelementen
• in Hinblick auf deren Anwendung in translationssymmetrischen Systemen mit einem effektiven
Einteilchenpotential
V eff (r + R) = V eff (r) (2.202)
gilt: ebene Wellen erfüllen in natürlicher Weise das Bloch-Theorem
χ nk (r) = 1 √
V
u nk e ikr (2.203)
bzw. χ nk (r + R) = e ikR χ nk (r) und χ nk+G (r) = χ nk (r), (2.204)
wobei u nk die gitterperiodischen Bloch-Faktoren bezeichnen; n ist hier der Bandindex, der
aufgrund der Reduktion auf die erste Brillouin-Zone (BZ) eingeführt wurde
Dem gegenüber stehen die Nachteile:
• im Falle lokalisierter Systeme, wie Atome und Moleküle, ist oft eine deutlich größere Zahl
von Basisfunktionen nötig, um auskonvergierte Größen zu erhalten, als bei der Verwendung
problemangepasster, lokalisierter Basisfunktionen
• die Visualisierung ist weniger intuitiv als bei der Verwendung lokalisierter Basisfunktionen
im Ortraum – damit ist hier stets Post-processing notwendig
Die Vollständigkeitsrelation (2.201) wird in der Praxis mit einer endlichen Zahl von ebenen
Wellen näherungsweise erfüllt. Ein Kriterium für die Güte der Näherung stellt die kinetische
Energie dar, die diagonal in ebenen Wellen ist:
∫
V
d 3 rχ ∗ kG (r) {
− 2
2m
}
∆ r χ kG (r)(r) = 2
2m (k + G)2 (2.205)
annimmt. Durch die Einführung einer maximal erlaubten kinetischen Energie E cut wird effektiv
die Anzahl der zur Entwicklung der Lösung verwendeten ebenen Wellen begrenzt. Aus (2.205)
geht hervor, dass somit gleichzeitig festgelegt ist, bis zu welchem G die Entwicklung ausgedehnt
wird. Da die für auskonvergierte Größen benötigte Cutoff-Energie umgekehrt mit dem Cutoff-
Radius r c aus Abschnitt (2.4) korreliert, ist für III-V-Halbleiter eine Maximalenergie von 15 Ry