Eine Übersicht über Themen zur Analysis 1

Analysis I
Was du können musst - eine Übersicht:
• Rekursiv definierte Folgen auf Konvergenz untersuchen
• Vollständige Induktion
• Grenzwerte von Folgen bestimmen (Konvergenz von Folgen)
o Mit den Rechenregeln für Grenzwertsätze
o Mit der ε − n0
- Definition
• Stetigkeit nachweisen (Unterschiede zwischen gleichmäßiger Stetigkeit, punktweiser
Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
• Integrale berechnen
• Taylorentwicklung
• Reihenkonvergenz nachweisen
• Potenzreihen
• Ableitungen und Abschätzen
• Beweisaufgaben
• Wichtige Sätze (Zwischenwertsatz, Mittelwertsatz, …)
• Grenzwerte berechnen (allgemein)
• „Versteckte Aufgaben“ zu Kurvendiskussionen
• Funktionenfolgen (gleichmäßige und punktweise Konvergenz)

Dazu ein paar Notizen:
• Rekursiv definierte Folgen auf Konvergenz untersuchen
Wenn man die Konvergenz von rekursiv definierten Folgen zeigen soll, würde ich immer wie
folgt vorgehen:
1. Man nimmt zuerst an, dass die Folge konvergent wäre und berechnet mit Hilfe von
lim a = lim a = a den möglichen Grenzwert der Funktion.
n→∞ n n→∞ n+
1
2. Durch die Berechnung des möglichen Grenzwertes haben wir jetzt eine mögliche obere
(oder untere) Schranke der rekursiv definierten Folge gefunden und können die
Beschränktheit der Funktion mittels vollständiger Induktion zeigen.
3. Als letztes zeigt man dann noch die entsprechende Monotonie. Wenn die Folge nach oben
beschränkt ist, zeigt man, dass die Folge monoton wachsend ist, wenn sie nach unten
beschränkt ist, zeigt man, dass die Folge monoton fallend ist.
Dann folgt die Konvergenz der Folge mit dem Satz:
Eine monoton wachsende (fallende) Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nach oben
(nach unten) beschränkt ist
• Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion besteht insgesamt aus zwei Teilen, die bei jedem
Induktionsbeweis durchgeführt werden müssen. Es darf kein Teil weggelassen werden. Das
sind zum einen der Induktionsanfang und zum anderen der Induktionsschritt. Am besten
macht man sich dies an einigen Beispielen klar.
• Grenzwerte von Folgen bestimmen (Konvergenz von Folgen)
o Mit den Rechenregeln für Grenzwertsätze
o Mit der ε − n0
- Definition
Um den Grenzwert einer Folge mit Hilfe der Grenzwertsätzen zu bestimmen kann man einige
„Tricks“ anwenden. Zum Beispiel das Erweitern, sodass man die dritte binomische Formel
anwenden kann oder ähnliches. Solche Tricks sind auch bei direkten ε − n0
- Beweisen
ebenfalls anwendbar. Weitere Tricks erschließt man sich am besten aus den
Übungsaufgaben.
• Stetigkeit nachweisen (Unterschiede zwischen gleichmäßiger Stetigkeit, punktweiser
Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
Zunächst einmal die Definition der Stetigkeit einer Funktion im Punkt x0
∈ D :
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D : (| x − x | < δ ⇒| f ( x) − f ( x ) | < ε )
0 0
Und die Negation:
∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃x ∈ D : (| x − x | < δ ⇒| f ( x) − f ( x ) | > ε )
0 0
Es ist also klar, was man machen muss, um Stetigkeit (bzw. Nicht-Stetigkeit) nachzuweisen.
Dazu betrachten wir ein Beispiel:

Wir wollen noch einige wichtige Sätze im Zusammenhang mit der Stetigkeit aufzeigen (aber
natürlich nicht beweisen, dieses wurde in der Vorlesung gemacht).
• Jede stetige Funktion ist auf einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig.
• Jede gleichmäßig stetige Funktion ist auch punktweise stetig (Die Umkehrung gilt im
Allgemeinen nicht, siehe zum Beispiel f ( x) = x²
)
• Aus Lipschitz-Stetigkeit folgt gleichmäßige Stetigkeit, es gilt also:
Lipschitz-stetig gleichmäßig stetig punktweise stetig
• Beim Nachweis von gleichmäßiger Stetigkeit hilft oft der Mittelwertsatz
• Beim Nachweis der Lipschitz-Stetigkeit kann man sehr oft sehr einfach zeigen, dass
der Differenzenquotienten (sprich erste Ableitung) beschränkt ist.
Aber Achtung: Natürlich muss die Funktion differenzierbar sein.
• Lipschitz-Stetigkeit ist ein Sonderfall von Alpha-Hölder-Stetigkeit mit α = 1 .
• Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist auch Lipschitz-stetig. Siehe zum Beispiel
f ( x)
= x . Diese ist gleichmäßig stetig, aber 1 − Hölder-stetig und damit nicht
2
Lipschitz-stetig.
• Integrale berechnen
Bei Integralen gibt es erstmal drei verschiedene Verfahren, mit denen man Integrale lösen
kann.
• Partielle Integration uv ' = uv − u ' v
∫ ∫
• Substitution
• Partialbruchzerlegung
Ansätze:
1 1 A B
• Einfache reelle Nullstelle: ∫
⇒ = + = ...
( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) x − 2 x + 3
• Doppelte reelle Nullstelle:
1 1 A B A( x − 2) + B
∫ ⇒ = + = = ...
( x − 2)² ( x − 2)² x − 2 ( x − 2)² ( x − 2)²
1 1 Ax + B
• Nicht reelle Nullstelle: ∫ ⇒ = = ...
x² + 1 x² + 1 x² + 1
f '( x)
• Logarithmische Integration: Ist eine Funktion der Art gegeben, so ist eine
f ( x)
Stammfunktion ln | x | .
Bei der Substitution muss man oft geschickt substituieren. Oft ist in der Aufgabe aber auch
schon eine Hilfestellung gegeben. Man beachte die Integrale der Übungsaufgaben.
Nun zu wichtigen Regeln, mit denen man immer sehr gut substituieren kann.
Es gilt:
sin ² x + cos ² x = 1
sin ² x = 1− cos ² x cos ² x = 1−
sin ² x
sin x = 1− cos ² x cos x = 1−
sin ² x

Weiterhin sind auch die Hyperbelfunktionen zur Substitution sehr gut geeignet. Wir
beschränken und hier auf Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus.
Hier gilt:
cosh ² x − sinh ² x = 1
cosh ² x = 1+ sinh ² x sinh ² x = − 1+
cosh ² x
cosh x = 1+ sinh ² x sinh x = 1−
cosh ² x
Außerdem sollte bekannt sein, dass sinh' = cosh und cosh' = sinh .
1
Wenn wir also Integrale wie ∫ 1 − x² dx oder ∫ 1
1 + x² dx behandeln wollen, dann bietet
sich eine Substitution mittels dieser trigonometrischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen
ja regelrecht an.
• Taylorentwicklung
In diesem Zusammenhang sollte man auf jeden Fall die Formel für die Taylorentwicklung und
das Restglied nach Lagrange kennen.
Taylorentwicklung:
Restglied nach Lagrange:
f ( x )
f x x x R x
n ( k )
0
k
( ) = ∑ ( −
0) +
n( )
k = 0 k !
( n+
1)
f ( ξ )
Rn
( x) = ( x − x )
( n + 1)!
n+
1
0
Die Taylorentwicklung einer Funktion selbst zu bestimmen, ist sehr leicht, wie auch die
Übungsaufgaben zeigen werden. Was schon etwas schwerer, aber auf jeden Fall auch
machbar ist, sind die Abschätzungen. Dazu sollte man wissen, dass man bei der Abschätzung
versucht, das Restglied nach Lagrange zu verwenden (was eigentlich immer klappen sollte)
und dann muss man weiterhin bedenken, dass x ≤ ξ ≤ x0
gilt.
Bei der Abschätzung versucht man dieses ξ dann durch obige Abschätzung zu eliminieren.
Siehe dazu die entsprechenden Übungsaufgaben.
• Reihenkonvergenz nachweisen
Reihen möchten des Öfteren auf Konvergenz untersucht werden. Dazu haben wir einige
Konvergenzkriterien:
• Trivialkriterium (Folge bildet eine Nullfolge)
• Quotientenkriterium
• Wurzelkriterium
• Leibnizkriterium
• Majoranten- und Minorantenkriterium
• Integralvergleichskriterium

∞
1
Wichtig ist auch, dass man weiß, dass die harmonische Reihe ∑ divergiert. Man kann
k = 1 k
diese beim Minorantenkriterium oft als divergente Minorante gebrauchen.
∞
n+
1
k 1−
x
Außerdem sollte man die geometrische Reihe ∑ x = kennen und außerdem sollte
k = 1 1−
x
∞
k 1
bekannt sein, dass sie für | x | < 1 konvergiert und zwar gilt dann ∑ x = .
1 − x
• Potenzreihen
Um den Konvergenzradius von Potenzreihen zu berechnen, gibt es eigentlich zwei Formeln:
1
• Formel von Cauchy-Hadamard: r =
limsup
n
| a |
an
• Formel von Euler: r = lim
n→∞
| |
a
n+
1
Je nach Potenzreihe muss man entscheiden, welche Formel am schnellsten und effektivsten
zum Ziel führt. Wir hoffen, dass dies an den Beispielen deutlich wird.
Noch kurz etwas über Potenzreihen. Eine Potenzreihe hat allgemein die Form a (
0) k
k
x − x
, wobei x
0
der Entwicklungspunkt ist.
Die Potenzreihe konvergiert für | x − x0|
< r .
Sie divergiert für | x − x0|
> r .
Wenn | x − x0|
= r , kann man keine Aussage über Konvergenz bzw. Divergenz machen. Es gibt
dann welche, in denen sie konvergiert und Fälle, in denen sie divergiert.
Das Konvergenzintervall berechnen wir durch ( x0 − r, x0
+ r)
.
Es gibt auch Aufgaben, bei denen man eine geschlossene Darstellung einer Potenzreihe
angeben soll. Wie geht man hier ran? Betrachten wir zunächst ein Beispiel.
∞ n
3 n
Zunächst berechnen wir den Konvergenzradius der Reihe f ( x) : = ∑ x .
n=
1 n
• Formel von Cauchy-Hadamard
1 1 1 1
r = = = =
n n n n
3 3 3 3
limsup n | | limsup n
n→∞ n→∞ limsupn→∞
n
n n n
n→∞
• Formel von Euler
n
3
n
3 ( 1) 1 1 1 1 1
lim | n
n + n +
r =
n→∞ | = lim | | lim lim (1 )
n 1 n→∞ =
n 1
n→∞ =
n→∞
+ =
+ +
3 3 • n 3 n 3 n 3
n + 1
n
k = 1
∞
∑
k = 1

Nun aber zur eigentlichen Aufgabe. Um eine geschlossene Darstellung einer Potenzreihe
anzugeben, differenzieren wir gliedweise. In der Vorlesung wurde bewiesen, dass dies
erlaubt ist, dass wir hier also hier gewisse Grenzprozesse vertauschen dürfen.
Wir setzen so an:
3 3 3
f x = ∑ x = ∑ x = ∑ n x = ∑ x = ∑ x
n n n
∞ n ∞ n ∞ n
∞ ∞
n n n−1 n n−1
n n
'( ) ( )' ( )' 3 3 3
n= 1 n= 1 n= 1 n= 1 n=
0
∞
n 1
= 3 ∑(3 x) = 3 1 − 3 x
n=
0
geometrische
Reihe
3
Zusammenfassend gilt also f '( x)
= 1 − 3x
.
Integration liefert nun die gewünschte geschlossene Darstellung f ( x) = − ln |1− 3 x | .
1 1
Man muss natürlich bedenken, dass das Differenzieren nur im Konvergenzintervall ( − , )
3 3
möglich ist.
∞ n
3 n
1
Die dargestellte Funktion ist f ( x) = ∑ x = −ln(1 − 3 x)
für | x | < .
n=
1 n
3
1
Betragsstriche sind hier unerheblich, da 1− 3x
> 0 für | x | < .
3
Vorgehensweise:
1. Gliedweises Ableiten der Potenzreihe
2. Eventuelle Indexverschiebung
3. Anwendung bekannter Reihe (z.B. geometrische Reihe)
4. Ist das Summenzeichen verschwunden, leitet man die Ableitung wieder auf und bekommt
so die gewünschte Darstellung
Wichtig ist, dass das Ganze natürlich nur im Konvergenzintervall möglich ist.
Dazu sollte man also immer den Konvergenzradius dazu berechnen.
• Ableitungen und Abschätzen
Differenzieren sollte man auch beherrschen. Es gibt ein paar Regeln dazu:
• Summenregel: ( f + g) ' = f ' + g '
• Faktorregel: ( λ f )' = λ f '
• Produktregel: ( f • g)' = f ' g + fg '
• Kettenregel: ( f ( g( x))' = f '( g( x)) • g '( x) [Äußere mal innere Ableitung]
f f ' g − fg '
• Quotientenregel: ( ) ' =
g g²
• Beweisaufgaben
Hierzu kann man leider nicht allzu viel sagen. Es gibt leider kein Patentrezept, wie man an
Beweisaufgaben dran geht. Dennoch sollte man sich immer klar machen, welche
Voraussetzung gegeben sind und was man eigentlich zeigen soll. Ab und zu können Sätze wie
der Zwischenwertsatz oder ähnliches nützlich sein.

• Wichtige Sätze (Zwischenwertsatz, Mittelwertsatz, …)
Hier nur ein paar Sätze, die wichtig sind. Natürlich haben wir noch mehr kennengelernt.
Zwischenwertsatz:
Sei f :[ a, b]
→ R eine stetige Funktion. Weiterhin sei f ( a ) < 0 und f ( b ) > 0 . Dann existiert
ein ξ ∈ ( a, b)
mit f ( ξ ) = 0 .
Allgemeiner gilt:
Sei f :[ a, b]
→ R eine stetige Funktion. Weiterhin sei f ( a) < f ( b)
. Dann existiert ein
ξ ∈ ( a, b)
und ein c ∈ [ f ( a), f ( b)]
mit f ( ξ ) = c .
Mittelwertsatz:
Sei f :[ a, b]
→ R eine differenzierbare Funktion. Dann existiert ein ξ ∈ ( a, b)
mit
f ( b) − f ( a) = ξ ( b − a)
.
…
• Grenzwerte berechnen (allgemein)
Um Grenzwerte zu berechnen, können ebenfalls Tricks wie „geschicktes Erweitern“ oder die
dritte binomische Formel angewendet werden. Außerdem sollte die Regel von de L’Hospital
0
bekannt sein, die man bei Grenzwerte der Form " "
0 oder " ∞
∞
" angewendet werden.
Man leitet dann salopp gesagt, Zähler und Nenner einfach einmal ab und prüft dann
nochmal den Grenzwert. Es kann natürlich vorkommen, dass die Regel von de L’Hospital
mehr als einmal angewendet werden muss.
• „Versteckte Aufgaben“ zu Kurvendiskussionen
Es gibt einige Aufgaben, bei denen man einfach eine Kurvendiskussion durchführen muss.
Das heißt jetzt aber nicht, dass man die Kurvendiskussion durchführen soll, die man aus der
Schule kennt, sondern dass man nur gewisse Dinge überprüfen muss, z.B. ob die Funktion
monoton steigend oder monoton fallend ist (Zur Erinnerung: Eine Funktion f ist monoton
steigend, wenn f '( x) ≥ 0 ∀x ∈ D bzw. monoton fallend, wenn f '( x) ≤ 0 ∀x ∈ D . Hier steht
D für den entsprechenden Definitionsbereich.)
• Funktionenfolgen (gleichmäßige und punktweise Konvergenz)
Hier muss man zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz unterscheiden.
Hier nochmal die Definitionen:
( fn)
n∈N heißt punktweise Konvergenz gegen f, wenn für jedes x ∈ D die Folge ( fn( x))
n∈N
gegen f ( x ) konvergiert.
Mit Quantoren:
∀ ε > 0 ∀x ∈ D ∃n ∈ N :| f ( x) − f ( x) | < ε ∀n ≥ n
0 n
0
( fn)
heißt gleichmäßige Konvergenz gegen f, wenn das n n∈N 0 in der vorstehenden Definition
nicht von x abhängt, wenn also:
∀ ε > 0 ∃n ∈ N ∀x ∈ D :| f ( x) − f ( x) | < ε ∀n ≥ n
0 n
0
Der Unterschied besteht also darin, dass bei der gleichmäßigen Konvergenz das n 0 nicht von
x abhängt.