Lineare Abhängigkeit, Erzeugendensystem und Basis

Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem,
Basis und Co.
Allgemein gilt:
• Linearkombination: Um zu zeigen, dass sich ein Vektor aus den anderen linear
kombinieren lässt, stellt man diesen Vektor als Linearkombination der anderen dar und
löst die entsprechende Matrix mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Also zum Beispiel:
⎛1
⎞
⎜ ⎟
Stelle nun den Vektor w = 5
als Linearkombination der Vektoren
⎜ −3⎟
⎝ ⎠
⎛3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
v1 = 1 , v2 = 2 , v3
=
2
dar.
⎜ −1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es muss also w = s • v1 + t • v2 + u • v3
mit s, t,
u ∈Q gelöst werden.
⎛1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
5 = s 1 + t 2 + u
2
⎜ −3⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dies kann mit Hilfe einer Überführung in eine Matrix und mit Hilfe des Gauß-Algorithmus
gelöst werden:
⎛ 3 2 1 1 ⎞ ⎛ 3 2 1 1 ⎞ ⎛ 3 2 1 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 2 2 5 ⎟ → ⎜ 0 −4 −5 −14⎟ → ⎜ 0 −4 −5 −14⎟
⎜ −1 2 −1 −3⎟ ⎜ 0 8 −2 −8 ⎟ ⎜ 0 0 −12 −36⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die letzte Zeile liefert − 12u
= −36 ⇔ u = 3 . Damit ergeben sich
1
1 1
−4t
− 5• 3 = −14
⇔ t = − und 3s
+ 2 • ( − ) + 3 = 1 ⇔ s = − .
4
4 2
Also kann der Vektor w wie folgt als Linearkombination der drei anderen Vektoren
dargestellt werden:
⎛3 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1
⎞
1 1 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
w = − • v1 − • v2 + 3• v3
= − • 1 2 3 2
2 4 2 − •
4
+ •
⎜ −1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit
Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn man den Nullvektor mit Hilfe dieser
Vektoren nur mit Hilfe der trivialen Lösung erzeugen kann, sprich:
n
Zu zeigen ist also, dass aus ∑ λivi = 0 folgt, dass λi
= 0 ∀ i = {1,..., n}
.
i=
1
o Vektoren sind immer linear abhängig, wenn wir uns in einem Vektorraum der
Dimension n bewegen und wir n+1 Vektoren auf lineare Abhängigkeit
untersuchen sollen.
Beispiel:
Untersuche zunächst, ob das System von Vektoren linear unabhängig ist. Zu
3
zeigen ist also, dass aus ∑ λivi = 0 folgt, dass λi
= 0 ∀ i = 1,2,3 .
i=
1
1 1 1
λ1 ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ + λ2 ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ + λ ⎛ − ⎞
3 ⎜ ⎟ = 0
⎝ −1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3
⎠
Überführe das homogene lineare Gleichungssystem in eine Matrix und wende
den Gauß-Algorithmus an:
⎛ 1 1 −1⎞ ⎛1 1 −1 ⎞
⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ (*)
⎝ −1 2 3 ⎠ ⎝ 0 3 2 ⎠
Es folgt also aus der letzten Zeile 3λ2 + 2λ2
= 0 . Ich zeige nun, dass man jeden
Vektor aus den beiden anderen linear kombinieren kann. Wenn das der Fall ist,
dann bedeutet das, dass die Vektoren linear abhängig sind.
⎛ 1 ⎞ 1 1
= λ ⎛ ⎞ + λ ⎛ − ⎞
⎝ −1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3
⎠
⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟
⎛ 1 −11 ⎞ ⎛1 −11
⎞
⎜ ⎟ → ⎜ ⎟
⎝ 2 3 −1⎠ ⎝0 5 −3⎠
3
3 2
Also gilt 5λ2 = −3
⇔ λ2
= − und auch λ1 + = 1 ⇔ λ1
= . Man hat damit
5
5 5
gezeigt, dass sich der Vektor aus den anderen linear erzeugen lässt.
Diese Untersuchung brauchen wir dann nicht durchzuführen, sondern können wie
folgt argumentieren: Wir bewegen uns im R ² , also gilt dim R ² = 2 und drei
Vektoren in einem Vektorraum der Dimension 2 sind immer linear abhängig, da
die Basis aus 2 Vektoren besteht und da eine Basis unverlängerbar linear
abhängig ist.
o Weiterhin sind Vektoren immer linear abhängig, wenn sich einer aus den anderen
linear kombinieren (erzeugen) lässt.
o Der Satz „Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear
abhängig“ ist falsch, denn lineare Abhängigkeit bedeutet unter anderem, dass

sich ein bestimmter Vektor aus den anderen linear kombinieren lässt, und nicht,
dass sich alle paarweise von einander linear erzeugen lassen. Es kann also in
einem System von linear abhängigen Vektoren durchaus zwei (o.ä.) geben, die
linear unabhängig sind.
• Erzeugnis
Das Erzeugnis ist die Menge aller Linearkombinationen. Also
< v1, v2,..., vn > : = { ∑ λivi | λi ∈ K, vi
∈V}
.
i∈I
Zum Beispiel ist < v > die Menge aller skalaren Vielfachen des Vektors v.
Ein weiteres Beispiel ist das folgende: Das Erzeugnis der Vektoren (1, 0, 0) und (1, 1, 1)
von R ³ ist < (1,0,0),(1,1,1) >= { x • (1,0,0) + y • (1,1,1) | x, y ∈ R} = {( x + y, y, y) | x, y ∈ R } .
• Erzeugendensystem
Ein Erzeugendensystem ist die Menge aller Linearkombinationen, das den gesamten
Vektorraum aufspannt. Es gilt also < v1 , v2,..., vn
>= V .Um zu zeigen, dass Vektoren ein
Erzeugendensystem bilden, muss man einen beliebigen Vektor aus den anderen
Vektoren linear kombinieren können. Mit anderen Worten: Ist V ein Erzeugendensystem
eines Vektorraums, so ist jeder Vektor durch mindestens eine Linearkombination der
Vektoren aus V darstellbar.
1. Beispiel:
Dazu wähle ich mir den beliebigen Vektor ( a, b, c) ∈Q ³ und überprüfe, ob sich dieser
durch die drei Vektoren v1 = (0,2,1), v2 = (1, 2,0), v3
= (2,0,1) linear kombinieren lässt.
Dazu muss folgendes lineare Gleichungssystem, genauer folgende Matrix mit Hilfe des
Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden:
( a, b, c) = λ (0,2,1) + λ (1, 2,0) + λ (2,0,1)
1 2 3
⎛ 0 1 2 a ⎞ ⎛1 0 1 a ⎞ ⎛1 0 1 a ⎞ ⎛1 0 1 a ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 2 0 b ⎟ → ⎜ 2 2 0 b ⎟ → ⎜0 2 −2 − 2a + b⎟ → ⎜0 2 −2 − 2a + b ⎟
⎜ 1 0 1 c ⎟ ⎜ 0 1 2 c ⎟ ⎜0 1 2 c ⎟ ⎜0 0 −4 − 2a + b − 2c
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die letzte Zeile liefert − 4λ3
= − 2a + b − 2c
. Also lassen sich λ1 , λ2,
λ
3
für jeden beliebigen
Vektor ( a, b, c) ∈Q ³ eindeutig angeben.
Es liegt also ein Erzeugendensystem vor.
Es gibt aber oftmals Vereinfachungen, sodass man diese Untersuchung nicht extra
durchzuführen braucht:
Bei unserem obigen Beispiel können wir z.B. schreiben: Da wir uns im Q ³ bewegen und
dim Q ³ = 3 gilt, erzeugen drei linear unabhängige Vektoren schon einen Vektorraum. Wir
brauchen also nicht extra zu untersuchen, ob ein Erzeugendensystem vorliegt.

2. Beispiel:
Auch ein Gegenbeispiel kann angegeben werden:
Prüfe nun, ob sich ein beliebiger Vektor aus den anderen linear erzeugen lässt. Ist das der
Fall, liegt ein Erzeugendensystem vor. Wenn das nicht der Fall ist, reicht es, ein
Gegenbeispiel anzugeben und man hat gezeigt, dass sich eben nicht jeder beliebige
Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt, und folglich würde kein
Erzeugendensystem vor liegen. Wähle dazu den Vektor (1, 1, 1, 1):
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 1 1 2 1
λ ⎜ ⎟
1
+ λ ⎜ ⎟
2
+ λ ⎜ ⎟
3
+ λ ⎜ ⎟
4
= ⎜ ⎟ Überführung in Matrix und Lösen mit
⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠
Gauß-Vefahren:
⎛1 1 0 2 1⎞
⎛1 1 0 2 1 ⎞ ⎛1 1 0 2 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 1 1 2 1⎟ 0 1 1 2 1
→ ⎜ ⎟ 0 1 1 2 1
→ ⎜ ⎟
⎜ 0 1 −1 0 1⎟
⎜ 0 0 −2 −2 0⎟ ⎜0 0 −2 −2 0⎟
⎜
0 0 1 1 1⎟
⎜ ⎝
⎠ 0 0 1 1 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es entsteht die falsche Aussage 0=2. Damit liegt kein Erzeugendensystem vor, da ich
4
einen beliebigen Vektor des Vektorraus V = Q gefunden habe, der sich nicht aus den
anderen Vektoren linear erzeugen lässt.
Hier geht auch folgendes:
Wenn die Vektoren schon linear abhängig sind, und wir uns in einem Vektorraum der
Dimension n bewegen, und dann überprüfen sollen, ob die n Vektoren ein
Erzeugendensystem bilden, kann man gleich sagen, dass dies nicht der Fall ist.
• Basis
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Wenn wir also überprüfen wollen, ob eine Basis vorliegt, müssen wir erstens zeigen, dass
die Vektoren linear unabhängig sind und zweitens, dass die Vektoren ein
Erzeugendensystem bilden.
Wichtig hierbei sind die Sätze, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche
Basis besitzt und dass verschiedene Basis die gleiche Anzahl an Elementen besitzt.
Weiterhin: Ist B eine Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraums V, so ist
jeder Vektor durch genau eine Linearkombination der Vektoren aus B darstellbar (wichtig
hierbei ist also die eindeutige Darstellung)
• Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in der Basis.

Fassen wir die wichtigsten Sätze nochmals zusammen:
• Bewegen wir uns in einem Vektorraum der Dimension n und sind n+1 Vektoren gegeben,
die wir auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit untersuchen sollen, so sind diese
immer linear abhängig.
• Sind Vektoren in einem Vektorraum der Dimension n linear abhängig und wollen wir
überprüfen, ob n Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, dann ist die Antwort immer
„nein“.
• Sind die gegebenen Vektoren in einem Vektorraum der Dimension n linear unabhängig,
so bilden gegebene n Vektoren immer ein Erzeugendensystem, da n linear unabhängige
Vektoren im Vektorraum der Dimension n V immer erzeugen (oder anders ausgedruckt:
da n linear unabhängige Vektoren den gesamten Vektorraum der Dimension n
aufspannen.)