Konfidenzintervall und Test auf Anteilswert

Konfidenzintervall und Test auf Anteilswert
Abstimmung über den Klausurtermin
Am 18.12.02 wurde in der Vorlesung eine Abstimmung über den Klausurtermin
durchgeführt: Von 37, die eine Meinung hatten, waren 21 für den neuen Termin
(17.02.03) und 16 für den alten (12.02.03). Da eine Änderung problematisch sein
kann (z.B. weil jemand sie nicht mitbekommt), wird die Klausur nur dann verlegt,
wenn man aus der “Stichprobe” vom Umfang 37 sigifikant schließen kann,
dass der Anteilswert der Befürworter in der Grundgesamtheit (ich habe 80 Klausur-
Kandidaten angenommen) größer als 50% ist. “Signifikant” soll dabei bedeuten: Mit
einer Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 5%
Lösung: Zunächst Identifikation der Größen:
Stichprobenumfang n = 37
Größe der Grundgesamtheit (GG) N = 80
Relative Häufigkeit der Befürworter f = 21/37
Zu testendes Merkmal der GG=Anteilswert θ
Fehlerwahrscheinlichkeit α = 0.05
Hinweis: Da es sich um eine “kleine” Grundgesamtheit handelt (n/N > 0.05), muss
der Korrekturfaktor für endliche Grundgesamtheiten analog wie bei den Konfidenzintervallen
auch bei der Formel für die Testvariable Z mit berücksichtigt werden,
was in der Formelsammlung nicht berücksichtigt wurde. In der Klausur werde ich
aber keine Tests mit endlichen Grundgesamtheiten bringen.
Nullhypothese H 0 : θ 0 ≤ 50% (“im Zweifel für den Angeklagten”, d.h., die Annahme,
dass es keine Mehrheit für die Verlegung gibt, muss signifikant widerlegt
werden!)
Testvariable und deren Realisierung:
Z =
√
f − θ 0 √ N − 1
√ n
θ 0 (1 − θ 0 ) N − n ,
z =
√
21/37 − 0.5√ 79 37
0.5 43 = 1.11
Testentscheidung Es handelt sich um einen einseitigen Test Für die Bedingung
“größer als” findet sich in der Formelsammlung die Entscheidung: H 0 angenommen,
falls z < −z 1−α . Hier haben wir aber H 0 als “Kleiner-als” Bedingung formuliert. Für
1

u = −z ergibt sich dann aber die gewohnte “größer als”-Bedingung und wir erhalten
für die Annahme von H 0 :
u = −z > −z 1−α ⇒ z < +z 1−α = z 0.95
Tabelle
= 1.64
Dies ist der Fall, so dass H 0 angenommen werden muss.
Ergebnis: Mit der vorgegebenen Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% kann H 0 nicht
verworfen werden, es kann also nicht gezeigt werden, dass θ > 0.5. Die Klausur
wird nicht verlegt.
Preissystem der Bahn
Um die Akzeptanz des neuen Fahrpreissystems der Eisenbahn zu überprüfen, werden
per Zufalls-Stichprobe 1000 Fragebögen verteilt und ausgewertet. Das Ergebnis ist:
Nutzerklasse
Bahnbenutzer,
vorwiegend Nahverkehr
Bahnbenutzer,
vorwiegend Fernverkehr
Neues System ist
besser
Neues System ist
schlechter
20 270 10
200 60 40
Mei-
keine
nung
Kfz-Fahrer und Sonstige 100 100 200
(a) Wieviel Prozent der Befragten finden das neue bzw. das alte Preissystem besser?
(b) Geben Sie Konfidenzintervalle (α = 5%) für den Anteil derjenigen an, die das
neue System schlechter finden :
(i) unter allen Befragten,
(ii) unter den Bahnbenutzern, die vorwiegend den Nahverkehr benutzen ,
(iii) unter den Bahnbenutzern, die vorwiegend den Fernverkehr benutzen.
(c) Kann man die Aussage der Bundesbahn: “Höchstens 40% finden das neue System
schlechter” anhand des Umfrageergebnisses mit einem statistischen Test
bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% widerlegen? Wie groß ist die minimale
Fehlerwahrscheinlichkeit (“Grenz-Fehlerwahrscheinlichkeit”), die eine
Widerlegung dieser Aussage erlauben würde?
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(d) Die Bahn will nun eine genauere Zufalls-Stichprobe durchführen, bei der der
Anteil der Gegner des neuen Preissystems bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit
von 5% auf 2% genau bestimmt werden soll. Es werden Anteilswerte von etwa
40% erwartet. Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein?
(e) Können Sie sich eine Stichproben-Methodik vorstellen, welche bei gleichem
Stichprobenumfang und gleicher Fehlerwahrscheinlichkeit ein genaueres Ergebnis
liefert?
(f) Die Bahn will unter ihren Kunden (Kfz-Fahrer und Sonstige werden nicht
berücksichtigt) eine genauere Stichprobe durchführen. Wir nehmen an, dass
das Unternehmen genau weiß, dass 50 ihrer Fahrgäste vorwiegend Nahverkehr
und 50 vorwiegend Fernverkehr benutzen. Es werden ähnliche Anteilswerte wie
oben erwartet.
Wie groß muss der Stichprobenumfang bei einer Quotenstichprobe sein (Quotenmerkmal:
Benutzer von Nahverkehr bzw. Fernverkehr), damit bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit
von 5 der Anteil derer, die das neue System schlechter
finden, auf ±1 bestimmt werden kann?
Hinweis zu (f): Zentraler Grenzwertsatz bzw. Addition zweier unabhängiger
gaußverteilter Zufallsvariablen
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