Isaac Newton (1642-1727) Das Newton-Verfahren Ein Verfahren zur ...

Isaac Newton (1642-1727)
Gegeben: f(x)=x 2 +px+q
Gesucht: x N mit f(x N )=0=x N2 +px N +q
Lösung:
Gegeben:
x N
2
p p
= − ± − q einfach!
1/
2
2 4
f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c
Gesucht: x N mit f(x N )=0
Bernd Hitzmann
Lösung: x N
= ............
Bernd Hitzmann
kompliziert!
Drei Lösungen für x 3 +ax 2 +bx+c=0
Gegeben: f(x)=x+sinx
⎛
( 36 ba− 108 c − 8 a 3 + 12 12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 ⎝
⎜ 1 ⎞ 3 ⎠ ⎟
)
wirklich
kompliziert!!
6
− −
⎛ ⎞
⎜ b a 2
⎛1
⎟
6 ⎜ − ⎟
+ ⎝12 3 129
b 3 ⎠− 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 ⎝
3 ⎠ ⎟
) a
36 ba 108 c 8 a 3 (
−
−
−
12
⎛
( 36 ba− 108 c − 8 a 3 + 12 12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 ⎝
1 ⎞ 3 ⎠ ⎟
3
⎛ ⎞
⎜ b a 2
⎛
⎟
3
⎜ − ⎟
)
⎝ 3 9 ⎠
a 1
⎛1
3 2 I 3 + − −
( 36 ba− 108 c − 8 a 3 + 12 12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac ⎛1
⎝
3 ⎠ ⎟
+ 81 c 2 + 12 ca 3 )
−
12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 ⎝
3 ⎠ ⎟
)
12 ⎜
⎜
⎝
− − +
36 ba 108 c 8 a 12 3 (
⎛
a 2 ⎞
⎜ b ⎟
⎛1
⎝
3 ⎠ ⎟
12
⎛
⎝
1 ⎞ 3 ⎠ ⎟
12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 )
3 ⎜ − ⎟
⎝ 3 9 ⎠
a
+ − +
b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 )
3
− − +
36 ba 108 c 8 a 12 3 (
6
− − +
36 ba 108 c 8 a 12 3 (
⎞
⎛
a 2
9
⎛ 1
⎝
3 ⎠ ⎟
12 b 3 3 b 2 a 2 54 bac 81 c 2 12 ca 3 )
⎞
⎜ b ⎟
6 ⎜ − ⎟
⎝ 3 ⎠
+
36 ba− 108 c − 8 a + 12 − − + +
3 ( ⎛1
12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 ⎝
3 ⎠ ⎟
6
⎟
⎟
) ⎠⎛
⎜ b a 2
⎞
⎞
⎟
− − +
36 ba 108 c 8 a 12 3 ( 6 ⎜ − ⎟
⎝ 3 9 ⎠
+
Bernd Hitzmann
⎛
⎝
1 ⎞ 3 ⎠ ⎟
12 b 3 − 3 b 2 a 2 − 54 bac+ 81 c 2 + 12 ca 3 )
⎟
⎟
⎠
− − +
36 ba 108 c 8 a 12 3 (
⎛
1
2 I 3 ⎜
⎜
⎝
Gesucht: x N mit f(x N )=0
Lösung: analytisch nicht möglich!
Numerisches Verfahren gefordert!
Bernd Hitzmann
Bernd Hitzmann
Das Newton-Verfahren
Ein Verfahren zur numerischen
Berechnung von Nullstellen x N .
f(x Nullstelle )=0
Newton
Taylor
Gegeben: f(x)
Gesucht: x N mit f(x N )=0
Bernd Hitzmann
Taylor: f(x)≈f(x E )+f‘(x E )(x-x E )
Grober Schätzwert für x N vorhanden!
x N ≈x 0 (aber nicht genau)
Taylor
x E =x 0
f(x)≈f(x 0 )+f‘(x 0 )(x-x 0 )
f(x 0 )+f‘(x 0 )(x N-x 0 )=0
x 25 34 N 1 =x 01 42 3 -f(x 14 02 3 )/f‘(x 10 42 3 )
)
x i+1 =x i -f(x i )/f‘(x i )
1

Das Newton-Verfahren
Ein iteratives Verfahren zur Bestimmung
von Nullstellen: x i+1 =x i -f(x i )/f‘(x i )
Das Newton-Verfahren
Ein iteratives Verfahren zur Bestimmung
von Nullstellen: x i+1 =x i -f(x i )/f‘(x i )
Schätzwert x 0
x 1 =x 0 -f(x 0 )/f‘(x 0 )
x 2 =x 1 -f(x 1 )/f‘(x 1 )
x 3 =x 2 -f(x 2 )/f‘(x 2 )
…………………………….
…………………………….
x n =x n-1 -f(x n-1 )/f‘(x n-1 )
Bernd Hitzmann
iterativ
Startwert x 0
Abbruchkriterien
1) |x n+1 -x n |

Gesucht: a = ?
a = x
f ( x)
= x
2
Bernd Hitzmann
− a
2
a = x
0 = x 2 − a
Gesucht ist die Nullstelle von f(x)
2
f ( xi
)
xi
− a
xi+
1
= xi
− xi+
1
= xi
−
f ′(
x )
2x
x
x
x
2
i
i+
1
=
i
− +
i
a
x
2
i
x
a
i
1 ⎛
Funktion
äquivalent
Ableitung
a ⎞
= i
2 + =
2x
⎜ x +
⎟ i
i
2 xi
⎠
⎝
Gesucht: a = ?
f ( x)
= x
2
Bernd Hitzmann
− a
Gesucht ist die Nullstelle von f(x)
Newton-Verfahren
f ( xi
)
1 ⎛ a
xi
1
= xi
−
+ f ′(
xi
)
⎟ ⎞
x =
⎜
i + 1
xi
+
2 ⎝ xi
⎠
zur Berechnung
von Nullstellen!
äquivalent
Heron-Verfahren
zur Berechnung
von Wurzeln!
Newton-Verfahren
zur Berechnung eines Extremwerts:
x
i+
1
= x −
i
f ′(
xi
)
f ′′(
x )
i
Da die Nullstelle der ersten Ableitung
ein Extremwert der Funktion ist!
Bernd Hitzmann
3