Handout zum 1. Vortrag

2.2 Energie von Abbildungen
Definition (Energie einer Funktion): Seien M und N zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten
mit Riemannschen Metriken g und g ′ , die sich in lokalen Koordinaten schreiben lassen als g =
g ij dx i ⊗ dx j und g ′ = g ′ αβ dxα ⊗ dx β . f : M → N sei eine Funktion zwischen den beiden
Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Dann definieren wir die Energie von f als
E(f) := 1 2
∫
M
g αβ
′ ∂f α ∂f β
∂x i ∂x j gij ∗ (1).
Lemma: Die Euler-Lagrange-Gleichung für E(f) ist ein System von nicht linearen partiellen
Differentialgleichungen vom elliptischen Typ
△f α + Γ ′α ∂f β ∂f γ
βγ
∂x i ∂x j gij = 0,
wobei △ der Laplace-Beltrami-Operator auf M und Γ ′α βγ die Christoffel-Symbole auf M ′ sind.
Definition (Energie-Dichte): Seien M, N und f wie in obiger Definition der Energie einer
Abbildung.. Die Energie-Dichte von f definieren wir als
In lokalen Koordinaten ergibt sich
e p (f) := 1 2
〈
g p , ( f ∗ g ′) 〉
.
p
e(f)(x) = 1 2 g′αβ (x)g ij (x)(f(x)) ∂f i (x) ∂f j (x)
∂x α ∂x β .
Hierbei sind (x 1 , . . . , x m ) lokale Koordinaten in M und (f 1 , . . . , f n ) lokale Koordinaten in N.
Satz: Die Voraussetzungen seien wie in Definition der Energie einer Abbildung. Dann gilt:
∫
E(f) = e(f) ∗ (1).
3 Harmonische Abbildungen
M
Satz: Die Euler-Lagrange-Gleichung für E ist
( )
1 ∂ √yg ′αβ ∂f
i
√ y ∂x α ∂x β + g ′αβ Γ i ∂f
j
∂f k
jk (f(x))
∂x α = 0. (1)
∂xβ Definition (Harmonische Abbildung): Die Lösung der Gleichung (1) nennen wir eine
harmonische Abbildung. Die harmonischen Abbildungen sind also die kritischen Punkte des
Energie-Funktionals.
Die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung können wir auch schreiben als
τ(f) := spur∇df = 0 (2)
Definition (Spannungsfeld): τ nennen wir das Spannungsfeld von f.
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