Handout zum 1. Vortrag

Harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten - Einführung (Teil I)
Florian Modler
4. November 2009
1 Einführung und Motivation
Handout
Harmonische Abbildungen existieren in vielen verschiedenen Bereichen und Zusammenhängen:
∙ Ist M = S 1 , so erhalten wir für die Euler-Lagrange-Gleichung des Energiefunktionals
die uns schon bekannte Geodätengleichung. Das wiederum bedeutet aber, dass f eine
geschlossene Geodäte genau dann ist, wenn f harmonisch ist.
∙ Das erste Beispiel zeigt auch: Ist dim M = 1, dann sind die harmonischen Abbildungen
die Geodäten auf N.
∙ Ist N = R, dann sind die harmonischen Abbildungen die harmonischen Abbildungen auf
M.
∙ Ist N = S 1 , so können die harmonischen Abbildungen kanonisch mit den harmonischen
1-Formen mit ganzzahliger Periode identifiziert werden.
∙ Sind M und N Kähler Mannigfaltigkeiten, so sind die holomorphen Abbildungen von M
nach N harmonisch.
∙ Ist M eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit von N mit minimalem Volumen, so ist die
Inklusionsabbildung i : M → N harmonisch.
2 Energie von Kurven und Abbildungen
2.1 Energie von Kurven
Definition (Länge einer Kurve): Wir definieren die Länge einer Kurve γ : [a, b] → M als
L(γ) :=
∫ b
a
∣ ˙γ(t)∣ dt =
∫ b
a
√
g ( ˙γ(t), ˙γ(t))dt =
∫ b
a
√
g ij (x(t)) ˙x i (t) ˙x j (t)dt
Definition (Energie einer Kurve): Die Energie einer Kurve γ : [a, b] → M m ist
E(γ) := 1 2
∫ b
a
∣ ˙γ(t)∣ 2 dt = 1 2
∫ b
a
g ( ˙γ(t), ˙γ(t)) dt = 1 2
∫ b
a
g ij (x(t)) ˙x i (t) ˙x j (t)dt.
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2.2 Energie von Abbildungen
Definition (Energie einer Funktion): Seien M und N zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten
mit Riemannschen Metriken g und g ′ , die sich in lokalen Koordinaten schreiben lassen als g =
g ij dx i ⊗ dx j und g ′ = g ′ αβ dxα ⊗ dx β . f : M → N sei eine Funktion zwischen den beiden
Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Dann definieren wir die Energie von f als
E(f) := 1 2
∫
M
g αβ
′ ∂f α ∂f β
∂x i ∂x j gij ∗ (1).
Lemma: Die Euler-Lagrange-Gleichung für E(f) ist ein System von nicht linearen partiellen
Differentialgleichungen vom elliptischen Typ
△f α + Γ ′α ∂f β ∂f γ
βγ
∂x i ∂x j gij = 0,
wobei △ der Laplace-Beltrami-Operator auf M und Γ ′α βγ die Christoffel-Symbole auf M ′ sind.
Definition (Energie-Dichte): Seien M, N und f wie in obiger Definition der Energie einer
Abbildung.. Die Energie-Dichte von f definieren wir als
In lokalen Koordinaten ergibt sich
e p (f) := 1 2
〈
g p , ( f ∗ g ′) 〉
.
p
e(f)(x) = 1 2 g′αβ (x)g ij (x)(f(x)) ∂f i (x) ∂f j (x)
∂x α ∂x β .
Hierbei sind (x 1 , . . . , x m ) lokale Koordinaten in M und (f 1 , . . . , f n ) lokale Koordinaten in N.
Satz: Die Voraussetzungen seien wie in Definition der Energie einer Abbildung. Dann gilt:
∫
E(f) = e(f) ∗ (1).
3 Harmonische Abbildungen
M
Satz: Die Euler-Lagrange-Gleichung für E ist
( )
1 ∂ √yg ′αβ ∂f
i
√ y ∂x α ∂x β + g ′αβ Γ i ∂f
j
∂f k
jk (f(x))
∂x α = 0. (1)
∂xβ Definition (Harmonische Abbildung): Die Lösung der Gleichung (1) nennen wir eine
harmonische Abbildung. Die harmonischen Abbildungen sind also die kritischen Punkte des
Energie-Funktionals.
Die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung können wir auch schreiben als
τ(f) := spur∇df = 0 (2)
Definition (Spannungsfeld): τ nennen wir das Spannungsfeld von f.
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4 Ausblick
Eine harmonische Abbildung muss nicht immer in einer Homotopie-Klasse existieren und wenn
sie existiert, muss sie keinesfalls eindeutig sein. Besitzt N negative Krümmung, so existiert
eine harmonische Darstellung für jede Homotopie-Klasse, und diese ist sogar eindeutig. Für
(Riemannsche) Flächen sind die harmonischen Abbildungen klassifiziert, und diese sind genau
die holomorphen und anti-holomorphen Funktionen. Nach dem Hodge-Theorem für Flächen
existiert keine nicht-triviale harmonische Abbildung zwischen der Sphäre und dem Torus. Dies
werden wir leider nicht alles zeigen können. Zusammengefasst: Es gibt im Großen und Ganzen
ein zentrales Problem, das im Mittelpunkt der harmonischen Abbildungen stehen soll:
Sei f 0 : M → N eine Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Kann f 0 in eine harmonische Abbildung f : M → N deformiert werden?
Diese Frage wird Gegenstand eines zweiten Vortrags sein.
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