Teil VII Relativistische Invarianz der Elektrodynamik

⃗p =
m⃗v
√
1 − ⃗v 2 /c 2
definiert, in Einklang mit (18.26). Die Lösung von (18.29) ist natürlich ⃗v = konst..
Relativistische Energie Aus der Mechanik wissen wir, dass für zeitunabhängige Lagrangefunktionen
die verallgemeinerte Energie ∑ α p α ˙q α − L erhalten ist. In unserem Fall
ist die Energie E
E =
3∑
p i ẋ i − L =
i=1
m⃗v
√1 2
√
− ⃗v 2 /c − 2 (−mc2 ) 1 − v 2 /c 2
= m⃗v 2 + (mc 2 )(1 − v 2 /c 2 )
√1 − ⃗v 2 /c 2 ,
also
E =
mc 2
√
1 − ⃗v 2 /c 2 E(⃗v = 0) = mc 2 , (18.30)
mit der „Ruheenergie“ E(⃗v = 0) = mc 2 .
Energie-Impuls-Beziehung Ein Vergleich der relatistischen Energie (18.30) mit der
Definition des 4-er Impulses (18.26) zeigt, dass der 4-er Impuls die Form
( ) E
p µ =
c , ⃗p (18.31)
hat und die Relation (p, p) = E 2 /c 2 − ⃗p 2 = m 2 c 2 , siehe (18.27), somit zu
E =
√
⃗p 2 c 2 + (mc 2 ) 2 (18.32)
wird. Gl. (18.32) ist die berühmte Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie.
Masselose Teilchen Aus (18.32) folgt, dass auch Teilchen ohne Masse, wie z.B. Photonen,
einen Impuls
haben.
p = E/c
18.9 Relativistisches Teilchen in einem elektromagnetischen
Feld
Mit den Definitionen für das skalare Potential Φ(t, ⃗x) und für das Vektorpotential A(t, ⃗ ⃗x)
aus Abschnitt 7.1,
⃗B = ∇ × A, ⃗ E ⃗
∂A
⃗ = − − ∇Φ (18.33)
∂t
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