Teil VII Relativistische Invarianz der Elektrodynamik

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wobei F µν hier der duale Feldstärketensor ist. Man kann die homogenen Gleichungen auch mit Hilfe des Feldstärketensors F µν schreiben, ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0 . (19.24) Diese Gleichung heißt auch Jacobi-Identität (der Beweis erfolgt einfach durch das Einsetzen der Definition (19.18)). Da aber die Null auf der rechten Seite ganz automatisch allein durch die Definition von F µν herauskommt, sind die homogenen Gleichungen ohne jede weitere Annahme automatisch erfüllt! Mit anderen Worten: Schreibt man (19.18) hin, so sind die homogenen Gleichungen bereits impliziert und damit trivial!. Beispielsweise erhält man für µ = 0, ν = 1 und λ = 2 die z-Komponente der Induktionsgleichung, − 1 ∂ c ∂t B z − ∂ ∂x E y + ∂ [ ] 1 ∂y E ∂ x = − B c ∂t ⃗ + ∇ ⃗ × E ⃗ = 0 . z Für µ = 1, ν = 2, und λ = 3 ergibt sich ∂ ∂x B x + ∂ ∂y B y + ∂ ∂z B z = ∇ · B = 0 . 19.5 Transformation der Felder Es stellt sich die Frage, wie sich elektrische und magnetische Felder bzw. der Feldstärketensor unter Lorentz-Transformationen verhalten. Die universelle Transformationsvorschrift für Tensoren zweiter Stufe lautet (F ′ ) µν = L µ λ Lν ρ F λρ . Das gestrichene System bewege sich mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Richtung. Die zwischen dem Laborsystem Σ und dem bewegten Bezugssystem Σ ′ vermittelnde Transformation ist ein Boost der Form (19.7) und bewirkt, dass im gestrichenen System die Felder die Form E ′ x = E x , B ′ x = B x E ′ y = (E y − βB z )/ √ 1 − β 2 , B ′ y = (B y + βE z )/ √ 1 − β 2 E ′ z = (E z + βB y )/ √ 1 − β 2 , B ′ z = (B z − βE y )/ √ 1 − β 2 (19.25) annehmen. Die Transformationsvorschrift (19.25) vermischt die elektrischen und die magnetischen Komponenten des Feldstärketensors. Der Feldstärketensor F µν , nicht die getrennten Felder E und B, liefert die relativistisch konsequente Beschreibung des elektromagnetischen Feldes. Transformation der Felder Die korrekte Verallgemeinerung von (19.25) für allgemeine Geschwindigkeiten ⃗v lautet 182
B ′ = γ B − γ − 1 ( ) γ ( ) B · v v − v × E v 2 c E ′ = γ E − γ − 1 ( ) γ ( ) E · v v + v × B v 2 c mit γ := 1 √ 1 − β 2 . Die obigen Formeln machen deutlich, dass beispielsweise ein in einem bestimmten Inertialsystem rein magnetisches Feld nicht in allen anderen Inertialsystemen auch rein magnetisch zu sein braucht. Bei der Transformation treten plötzlich elektrische Feldkomponenten auf! Das darf aber nicht zu der Annahme verführen, die Lorentz-Kraft F l = e c v × B erwachse rein aus der Transformation des Magnetfeldes in das Bezugssystem eines bewegten Teilchens. Wie man sich mit Hilfe von (19.25) leicht überzeugt, gilt diese Aussage nur in niedrigster Ordnung in v/c. Transformation der Koordinaten Zu beachten ist, dass zu einer Transformation in ein neues Bezugssystem immer auch eine Transformation der Raumzeit-Koordinaten gehört, denn andere Koordinaten hat der dortige Beobachter ja nicht zur Verfügung. In Σ ′ müssen also die Felder als E ′ = E ′ (x ′ , t ′ ); B ′ = B ′ (x ′ , t ′ ) ausgedrückt werden. In den Formeln (19.25) wird dieses impliziet vorrausgesetzt. 183
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