Teil VII Relativistische Invarianz der Elektrodynamik

ergibt, vergl. auch (18.10). Diese Beziehung gilt für alle x σ und wir finden daher mit
g σρ = g µν Λ µ σΛ ν ρ; δ λ ρ = g λσ g σρ = g λσ g µν Λ µ σ
} {{ }
=: (Λ −1 ) λ ν
einen Ausdruck für die inverse Lorentz-Transformation Λ −1 .
Wellengleichung Die Viererdivergenz
( )
∂ µ A µ = ∂ µ A µ := ∂A0 ∂A
1
∂x + 0 ∂x + ∂A2
1 ∂x + ∂A3
2 ∂x 3
= 1 c
Λ ν ρ
∂A 0
∂t
= (Λ −1 ) λ ν Λν ρ
+ ∇ · A (19.5)
führt via
□ := ∂ µ ∂ µ = ∂2
∂x 02 − ∆ = 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 − ∆ .
zur Wellengleichung, welche per Definition Lorentz-invariant ist und damit ein Skalar.
Rotationen Einfache Rotationen des Koordinatensystems lassen die Minkowski-Metrik
invariant und gehhören also auch zur Gruppe der Lorentz-Transformationen.
L µ ν =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0
0 R
0
Die Untermatrix R beschreibt dabei eine Rotation, also eine orthogonale Transformation
im euklidischen 3d-Unterraum, mit
{
detL = detR = 1
detL = −1
}
:
⎞
⎟
⎠
{
eigentlichen
uneigentlichen
}
Rotationen.
Boosts Lorentz Transformationen welche (ohne eine zusätzliche Rotation des Koordinatensystems)
auf ein Bezugssystem transformieren, welche sich mit der Relativgeschwindigkeit
v zum Laborsystem bewegt, nennt mann Boosts. Für v = (v, 0, 0) und β = v/c
gilt
x ′0 = x0 − βx
√ 1
, 1 − β
2 x′1 = x1 − βx
√ 0
, 1 − β
2 x′2 = x 2 , x ′3 = x 3 , (19.6)
also
(L µ ν) =
⎛
⎜
⎝
√ 1
1−β 2
√ −β
1−β 2 1
−β
√1−β
0 0
2
√1−β 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Für kovariante Ortsvektoren lautet das Transformationsgesetz
⎞
⎟
⎠
. (19.7)
x ′ µ
= L ν
µ x ν , mit L ν
µ = g µρ L ρ λ gλν ,
178