September - Mec und Nadin

Mittelmeergeometrie
Mec Tschui, Nadin Dziagwa
Inhaltsverzeichnis
1. Lektion
Pythagoras
Entstehung des Satzes
Knotenseil – Seilspanner
Zwei Beweise für den Satz des Pythagoras
2. Lektion
Mathematische Töne
Drei Variationen zu dem Satz des Pythagoras
3. Lektion
Pentagramm
Rationale Näherungswerte für Wurzel 2
Eine Verallgemeinerung
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Mittelmeergeometrie
Mec Tschui, Nadin Dziagwa
Pythagoras
Pythagoras wurde auf der griechischen Insel Samos, um 570 vor Christus geboren. Er war
ein brillanter Mathematiker.
Er lebte in einer halb-religiösen und halb-wissenschaftlichen Gesellschaft. Da es aus seiner
Zeit keine Dokumente gibt und die Gesellschaft damals einen gewissen Grad an
Geheimhaltung pflegte, weiss man nichts Genaues bzw. nur wenig über ihn.
Als zwanzigjähriger war er Schüler des griechischen Philosophen Thales von Milet und des
Naturphilosophen Anaximander von Milet. Seine Studien soll er bei ägyptischen Priestern
fortgesetzt haben. Um seine Ausbildung zu beenden setzte er sich bis nach Babylon durch.
Zirka 530 v. Chr. ging er nach Kroton, dort soll er die Schule der Pytagoreer gegründet
haben. Die Anhänger richteten ihre Aufmerksamkeit auf die innere Reinheit und auf das
ethisch-moralische Verhalten. Pythagoras genoss grosse Anerkennung an der religiösen
Schule. Männer und Frauen galten als gleichberechtigt und es gab eine Art
Gemeinschaftseigentum.
Seine Schüler beschäftigten sich mit Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musikwissenschaft.
Für Pythagoras war die Himmelsordnug begründet durch dir Macht der Zahlen.
Ausserdem entdeckte er die Verbindung zwischen Musik und Mathemathik. Sein Leitsatz
„Alles ist Zahl“ kam durch sein umfassendes Zahlenverständnis. Er beschäftigte sich auch
mit Zahlenmystik, wodurch die Zahl 4, als erste Quadretzahl beispielsweise eine heilige
Bedeutung für ihn bekommen hat.
Auch heute ist Pythgoras durch den nach ihm benannten Satz des Pythagoras noch
bekannt: a² + b² = c²
Der Satz des Pytgagoras soll aber schon bei babylonischen, ägyptischen, chinesischen und
indischen Gelehrten bekannt gewesen sein.
Ausserdem soll Pythagoras sich bemerkenswerte Erkenntinisse in der Astronomie
angeeignet haben.
Auch nach dem Tod von Pythagoras, ca. um 510 vor Christus, blieben die Pytagoreer
kulturgeschichtlich bedeutsam.
Entstehung des Satzes
Es gibt keine genauen Erkenntnisse über die Entstehung des Satzes von Pythagoras. Es
gibt zu diesem Thema viele Entdeckungen aus alten Kulturen. Man kennt die Herkunft nicht
genau und zweifelt daran, dass Pythagoras derjenige war, der diesen Zusammenhang
entdeckt hatte. Trozdem schrieb Euklid die Entdeckung Pythagoras zu.
Knotenseil - Seilspanner
Schon ca. 2300 v. Chr gab es in Ägypten so genannte Seilspanner, welche die Aufgabe
hatten, rechtwinklige Dreiecke zu konstruieren. Sie verwendeten dazu ein Seil, welches
durch Knoten in 12 gleich lange Strecken, sogenannte Längeneinheiten, eingeteilt wurde.
Am Schluss wurde das Seil noch an den Enden zusammengeknüpft. Mit einem solchen Seil
waren die Seilspanner in der Lage, einen rechten Winkel zu formen.
Die Seilspanner fanden heraus, dass sich ein rechtwinkliges Dreieck bildet, sobald man am
1., 4. und 8. Knoten zieht. (Seitenlängen des Dreiecks entspricht 3, 4, 5)
Sie gingen nicht von dem Satz selbst, sondern zunächst von einer Umkehrung aus:
a² + b² = a*a + b*b = c*c = c² 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
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Mec Tschui, Nadin Dziagwa
Zwei Beweise für den Satz des Pythagoras
Die Babylonier kannten um 1800v. Chr. eine anschauliche Begründung des Lehrsatzes.
Diese galt für den Spezialfall des gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks.
Folgende Figur wurde samt Text bei einer Ausgrabung gefunden.
Die Pythagoreer hatten selbstverständlich auch einen Beweis für den Satz des Pythagoras
gefunden. Ihnen wird ein erster Beweis für den Lehrsatz zugeschrieben. Man vermutet, dass
er durch das vergleichen folgender Figuren zustande gekommen ist.
Mathematische Töne
Die Pythagoreer befassten sich auch mit der Musik bzw. mit der mathematischen
Berechnung des Tonsystems. Sie führten Experimente mit einer schwingenden Saite durch,
indem die Saite in bestimmte Längenverhältnisse unterteilt wurde. So gelangten sie auch
zum sog. Pythagoreischen Komma, welches von Philolaos zum ersten Mal definiert wurde,
und später auch zum Stimmen angewandt wurde. Doch eine solche Stimmung enthält einen
Fehler, welcher hörbar ist und als störend empfunden wird. Rechnerisch erhält man vom
pythagoreischen Komma einen Quotienten von ca. 0.98654, der eigentlich 1 ergeben sollte.
Da es durch diesen Unterschied nicht möglich ist, ein Klavier richtig zu stimmen, versucht
man den Fehler möglichst sinnvoll auf alle Töne zu verteilen.
Drei Variationen zu dem Satz des Pythagoras
Von dem Satz des Pythagoras gibt es einige Variationen, z.B mit Dreiecken, Halbkreisen und
Möndchen.
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Pentagramm
Das Pentagramm war das Erkennungszeichen der Pythagoreer. Unglücklicherweise stiess
man genau durch das eigene Erkennungszeichen auf die Irrationalen Zahlen, welche von
den Pythagoreer bestritten wurde, was später zu weitreichenden Folgen in der Mathematik
geführt hat. Des Weiteren befasste man sich dadurch mehr mit Geometrie und weniger mit
der Lehre der Zahlen.
Eine spezielle Eigenschaft des Pentagramms ist ihre Ästhetik, welche durch den Goldenen
Schnitt zur Geltung kommt. Es lässt sich in einem Pentagramm nämlich zu jeder Strecke und
Teilstrecke einen Partner finden, mit der sie im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht.
Definition des Goldenen Schnittes:
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur
kleineren Strecke verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.
a verhält sich zu b wie a+b zu a.
Rationale Näherungswerte für Wurzel 2
Die Zahlen unter dem Quadrat mit der Diagonale, stellen rationale
Näherungswerte für √2 dar.
Das heisst: Man versuchte mit diesen Brüchen so nahe wie möglich
an den Wert der Diagonale ( √2 ) zu gelangen.
Eine Verallgemeinerung
Man kann ausgehend vom Lehrsatz des Pythagoras zum sogenannten Satz des
Ptoleomaios gelangen. Es ist ein Diagonalsatz für Sehnenvierecke und entsteht durch das
Variieren von Eckpunkten auf dem Umkreis.
Der genaue Satz lautet wie folgt:
In einem konvexen Sehnenviereck ist das Produkt der Längen der Diagonalen gleich der
Summe der Produkte der Längen der beiden Paare von Gegenseiten.
Oder mathematisch ausgedrückt:
ac + bd = ef
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Mittelmeergeometrie 1
Knotenseil – Seilspanner
Bildet 3-er Gruppen und versucht mit den ausgeteilten Seilen ein rechtwinkliges
Dreieck zu bilden. Gibt es mehrere Möglichkeiten? Welche Möglichkeit(en) gibt es?
Beachtet: Das Seil muss gespannt werden!
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Zwei Beweise für den Satz des Pythagoras
Die Babylonier kannten um 1800v. Chr. eine
anschauliche Begründung des Lehrsatzes.
Diese galt für den Spezialfall des
gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks.
Folgende Figur wurde samt Text bei einer
Ausgrabung gefunden.
Schneidet die ausgeteilten Flächen aus und legt sie dann so hin, dass sie folgende
Bilder ergeben:
Aus diesen beiden Bildern lässt sich ein Beweis für den Satz des Pythagoras
herauslesen.
Aber wieso eigentlich? Fasse deine Erkennungen in eigenen Worten zusammen.
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Mec Tschui, Nadin Dziagwa

Mec Tschui, Nadin Dziagwa
Mittelmeergeometrie 2
Mathematische Töne
Die Pythagoreer befassten sich auch mit der Musik bzw. mit der mathematischen
Berechnung des ………………………… . Sie führten Experimente mit einer
schwingenden Saite durch, indem die Saite in bestimmte ……………………………….
unterteilt wurde. So gelangten sie auch zum sog. ………………………………………. ,
welches von Philolaos zum ersten Mal definiert wurde, und später auch zum
Stimmen angewandt wurde. Doch eine solche Stimmung enthält einen Fehler,
welcher hörbar ist und als störend empfunden wird. Rechnerisch erhält man vom
pythagoreischen Komma einen …………………….. von ca. 0.98654, der eigentlich 1
ergeben sollte. Da es durch diesen Unterschied nicht möglich ist, ein Klavier richtig
zu stimmen, versucht man den Fehler möglichst ………………………………………….
……………………….. .
Drei Variationen zu dem Satz des Pythagoras
Von dem Satz des Pythagoras gibt es Variationen. (Dreiecke, Halbkreise und
Möndchen)
Rechne aus, ob die Flächen a + b immer die Fläche c ergeben. Berechnet zusätzlich
die Fläche des rechtwinkligen Dreieckes. Was stellt ihr fest?
• Geht bei euren Berechnungen von folgendem rechtwinkligen Dreieck aus.
• Ihr könnt dazu euer Fundamentum brauchen.
Sinnvoll wäre es, wenn ihr euch zu jeder Aufgabe folgendes notiert:
Fläche a + Fläche b
= ……………………..
Fläche c (ausser bei c)) = ……………………..
Fläche des r. Dreiecks
= ……………………..
a) b) c)
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Mittelmeergeometrie 3
Pentagramm
Konstruiert mit Zirkel und Lineal ein Pentagramm und notiert euch eure einzelnen
Schritte.
Wie vorhin erwähnt, gibt es in jedem Pentagramm zu jeder Strecke und Teilstrecke
einen Partner, mit der sie im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht.
Findet heraus, welche Strecken das sind, indem ihr die Linien gegenüberstellt.
Markiert diese anschliessend für euch übersichtlich.
Definition des Goldenen Schnittes:
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere
zur kleineren Strecke verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.
a verhält sich zu b wie a+b zu a.
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Rationale Näherungswerte für Wurzel 2
Findet einen einfachen Weg heraus, wie ihr zu den nächsten Brüchen gelangen
könnt. Macht das bis ihr zu dem Bruch gelangt, der dem Wert von Wurzel 2 am
nächsten kommt.
1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, ................................................................................
Tipp: Wenn ihr die Zahlen übereinander schreibt, wie bei einem „normalen“ Bruch,
findet man es womöglich leichter herraus.
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Welcher Bruch kommt dem Wert am nächsten?
………….
Eine Verallgemeinerung
Der Satz des Ptoleomaios sagt folgendes aus:
In einem konvexen Sehnenviereck ist das Produkt der Längen der Diagonalen gleich
der Summe der Produkte der Längen der beiden Paare von Gegenseiten.
Oder mathematisch ausgedrückt: ac + bd = ef
• Konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5.
• Zeichne den Umkreis ein.
• Spiegle das Dreieck über den Mittelpunkt des Umkreises.
• Zeichnet einen zweiten Kreis mit derselben Grösse.
• Legt nun vier Punkte (A, B, C und D) beliebig auf den Umkreis.
• Rechnet aus ob der Satz Ptolemaios bei eurem Sehnenviereck zutrifft.
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