Musterlösung 3 - Fakultät für Wirtschaftswissenschaften - Universität ...

Universität Bielefeld
Fakultät für Wirtschaftwissenschaften
Lehrstuhl für Statistik - Göran Kauermann
Wintersemester 2009/2010
Statistik I
Lösung 3 - Darstellung und Beschreibung univariater Datensätze
Aufgabe 1 - Histogramme und empirische Verteilungsfunktion
1.
∑
fj
h
j c (j−1) < x ≤ c j h
j
f
j d
j
n j d j
1 8,9 4 0,017 1 0,017 0,017
2 9,10 11 0,048 1 0,048 0,065
3 10,11 27 0,117 1 0,117 0,182
4 11,12 42 0,183 1 0,183 0,365
5 12,13 31 0,135 1 0,135 0,5
6 13,14 42 0,183 1 0,183 0,683
7 14,16 45 0,196 2 0,098 0,879
8 16,17 15 0,065 1 0,065 0,944
9 17,18 4 0,017 1 0,017 0,961
10 18,24 9 0,039 6 0,0065 1,00
1

Abbildung 1: Histogramm
Die Verteilung ist leicht linkssteil, rechtsschief.
2.
∑
fj
h
j c (j−1) < x ≤ c
j
f
j d
j
n j d j
1 1,0;1,3 0,013 0,3 0,0433 0,013
2 1,3;1,6 0,113 0,3 0,3767 0,126
3 1,6;2,1 0,522 0,5 1,044 0,648
4 2,1;2,6 0,278 0,5 0,556 0,926
5 2,6;3,6 0,074 1,0 0,074 1,00
Abbildung 2: empirische Verteilungfunktion
besser als 1,6: 29 Studenten (12,6%)
schlechter als 2,0: ca. 48% (aus der Graphik)
Note,die 80% der besten Studenten erreicht haben: ca 2,4 (aus der Graphik)
2

3.
j c (j−1) < x ≤ c j f j
ˆF
1 800;1000 0,3 0,3
2 1000;1400 0,4 0,7
3 1400;1500 0,2 0,9
4 1500;2000 0,1 1,0
Formel zur rechnerischen Bestimmung: ˆF (x) = ˆF (c(j−1) ) + x−c (j−1)
d j
ˆF (1000) = 0, 3
ˆF (1300) = 0, 3 + 1300−1000 · 0, 4 = 0, 6
400
ˆF (1950) = 0, 99
· f j
Abbildung 3: empirische Verteilungfunktion
4.
j c (j−1) < x ≤ c j h j f j
ˆF
1 100;200 2 0,05 0,05
2 200;300 4 0,1 0,15
3 300;400 12 0,3 0,45
4 400;500 7 0,175 0,625
5 500;600 5 0,125 0,75
6 600;700 2 0,05 0,8
7 700;800 7 0,175 0,975
8 800;900 1 0,025 1,0
3

Abbildung 4: Histogramm
Abbildung 5: empirische Verteilungsfunktion
4

Aufgabe 2 - Empirische Verteilungen
1. (a) Für X wurden vier Merkmalsausprägungen beobachtet,
nämlich X = 1, X = 2, X = 3, X = 4.
(b) Als absolute und relative Häufigkeitsverteilungen von X erhält man:
a j f j h j
1 0,2 20
2 0,3 30
3 0,3 30
4 0,2 20
(c) Die relativen Häufigkeitsverteilung von X nach 10 weiteren Beobachtungen ergibt
sich als:
a j
f j
1 0,18
2 0,27
3 0,27
4 0,27
2. (a) Hier liegt eine korrekte empirische Verteilungsfunktion vor.
(b) Diese Darstellung ist nicht korrekt.
(c) Hier liegt erneut eine korrekte empirische Verteilungsfunktion vor.
(d) Diese Darstelung ist nicht die einer empirischen Verteilungsfunktion.
Aufgabe 3 - Beschreibung von Verteilungen
1. geometrisches Mittel:
b) 1,8% ist die richtige Antwort.
2. Anteil der neuen Bundesländer am BIP: x = 0, 08¯3
3. (a) Modus: 900 Euro
Median: n = ungerade : x n+1 = x 4 = 900 Euro
∑ 2
arithm. Mittel: ¯x = 1 xi = 1029 Euro
n
5

(b) Modus: 900 Euro (bleibt gleich)
Median: n = gerade : 1 · (x n + x n
2 2 2 +1 ) = 1(x 2 4 + x 5 ) = 950 Euro
∑
arithm. Mittel: ¯x = 1 xi = 13400 Euro
n
4. arithm. Mittel: ¯x = ∑ m j · f j = 1.215
Median: x med = c j−1 + d i·(0,5−F (c j−1 ))
f j
= 1200
Unteres Quartil: x 0,25 = 966, 67
Oberes Quartil: x 0,75 = 1425
Abbildung 6: Boxplot
Quartilskoeffizient der Schiefe:
g p = (x 1−p−x med )−(x med −x p)
x 1−p −x p
Für p = 0, 25 : g 0,25 = −0, 018
−0, 018 < 0 ⇒ die Verteilung ist fast symmetrisch, leicht rechtssteil
∑
5. arithm. Mittel: ¯x = 1 xi = 206, 8
n
emp. Standartabweichung: ˜s = + √˜s √
2 = +
Median: n = gerade : x med = 1 2 (x n
2 + x n
2 +1 ) = 206
Interquartilsabstand: d Q = x 0,75 − x 0,25
x 0,75 = 229.5
x 0,25 = 152.5
d Q = 77
∑
1 (xi − ¯x)
n 2 = 72.54309
6

Abbildung 7: Boxplot
Die Verteilung ist linksschief, rechtssteil.
7