alte Aufgabensammlung zur Statistik I - Fakultät für ...

Universität BielefeldAufgaben und MaterialienFakultät für WirtschaftswissenschaftenStatistik IStatistik und Informatik WS 2004/05P. Wolf1 AufgabensammlungVorbemerkung: Diese Aufgabensammlung enthält 99 Aufgaben. Jede besitzt eine Überschrift, in dereine Einordnungshilfe gegeben wird. Oft ist dort auch ein Literaturhinweis oder ähnliches zu finden.In den Tutorien werden ca. die Hälfte dieser Aufgaben besprochen werden. Die übrigen stehen fürselbständige Studien zur Verfügung.WIE SUCHT MAN DIE LÖSUNG?ErstensDu mußt dieAufgabe verstehenVERSTEHEN DER AUFGABEWas ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die Bedingung?Ist es möglich, die Bedingung zu befriedigen? Ist die Bedingung ausreichend,um die Unbekannte zu bestimmen? Oder ist sie unzureichend?Oder überbestimmt? Oder kontradiktorisch?Zeichne eine Figur! Führe eine passende Bezeichnung ein!Trenne die verschiedenen Teile der Bedingung! Kannst Du sie hinschreiben?1

ZweitensSuche denZusammenhangzwischenden Daten und derUnbekanntenDu mußt vielleichtHilfsaufgabenbetrachten, wenn einunmittelbarerZusammenhangnicht gefundenwerden kannDu mußt schließlicheinen Plan derLösung erhaltenAUSDENKEN EINES PLANESHast Du die Aufgabe schon früher gesehen? Oder hast Du dieselbeAufgabe in einer wenig verschiedenen Form gesehen?Kennst Du eine verwandte Aufgabe? Kennst Du einen Lehrsatz, derförderlich sein könnte?Betrachte die Unbekannte! Und versuche, Dich auf eine Dir bekannteAufgabe zu besinnen, die dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat.Hier ist eine Aufgabe, die der Deinen verwandt und schon gelöst ist. KannstDu sie gebrauchen? Kannst Du ihr Resultat verwenden? Kannst Du ihreMethode verwenden? Würdest Du irgend ein Hilfselement einführen,damit Du sie verwenden kannst?Kannst Du die Aufgabe anders ausdrücken? Kannst Du sie auf nochverschiedene Weise ausdrücken? Geh auf die Definition zurück!Wenn Du die vorliegende Aufgabe nicht lösen kannst, so versuche zuersteine verwandte Aufgabe zu lösen. Kannst Du Dir eine zugänglichereverwandte Aufgabe denken? Eine allgemeinere Aufgabe? Einespeziellere Aufgabe? Eine analoge Aufgabe? Kannst Du einen Teil derAufgabe lösen? Behalte nur einen Teil der Bedingung bei und lasse denanderen fort; wie weit ist die Unbekannte dann bestimmt, wie kann ichsie verändern? Kannst Du etwas Förderliches aus den Daten ableiten?Kannst Du Dir andere Daten denken, die geeignet sind, die Unbekanntezu bestimmen? Kannst Du die Unbekannte ändern oder die Datenoder, wenn nötig, beide, so daß die neue Unbekannte und die neuenDaten einander näher sind?Hast Du alle Daten benutzt? Hast Du die ganze Bedingung benutzt?Hast Du alle wesentlichen Begriffe in Rechnung gezogen, die in derAufgabe enthalten sind?DrittensFühre Deinen PlanausAUSFÜHREN DES PLANESWenn Du Deinen Plan der Lösung durchführst, so kontrolliere jedenSchritt. Kannst Du deutlich sehen, daß der Schritt richtig ist? KannstDu beweisen, daß er richtig ist?ViertensPrüfe die erhalteneLösungRÜCKSCHAUKannst Du das Resultat kontrollieren? Kannst Du den Beweis kontrollieren?Kannst Du das Resultat auf verschiedene Weise ableiten? Kannst Du esauf den ersten Blick sehen?Kannst Du das Resultat oder die Methode für irgend eine andere Aufgabegebrauchen?aus: Polya, G., Schule des Denkens, 1949, Bern, 10 QC 273 P 781 (2)2

Aufgabe 1: Was ist Statistik? BibliothekDiese Frage sollten Sie am Ende der beiden Vorlesungen Statistik I und II beantwortenkönnen. Die vielen Autoren von einführenden Büchern zur Statistik pflegen in der Regelin der Einleitung zu ihrem Werk entsprechende Definitionsversuche abzuliefern. Die Universitätsbibliothekhat zahlreiche, einschlägige Bücher in ihren Regalen. Suchen Sie sich einBuch heraus und versuchen Sie, die vom Autor angebotene Antwort zu obiger Frage kurz(3-4 Sätze) zusammenzufassen! Beantwortet das Buch auch die Frage, was eine Statistik ist?Hinweis: Zum Exzerpt gehört natürlich die Quellenangabe.Aufgabe 2: Wofür ist Statistik erforderlich? TageszeitungenSuchen Sie Beiträge aus der Tagespresse heraus, die Ihrer Meinung nach statistische Kenntnisseerfordern.Aufgabe 3: Ein betriebswirtschaftliches Bananen-Problem Praktische Intelligenz!Ein Großhändler möchte im nächsten Jahr pro Woche 2400 Kisten mit Bananen geliefertbekommen. In jeder Kiste sollen sich 40 Pfund Bananen befinden, also netto – ohne Verpackung.40 Pfund bedeutet mindestens 40 Pfund, also nicht 39.95 Pfund. Zu leichte Kistenkönnten zu einer Vertragsbeendigung führen, zu schwere zu einer Gewinneinbuße. Es istzu berücksichtigen, daß Bananen während des Transportes Gewicht verlieren. Die Höhedes Gewichtsverlustes, der auf Reifung und Verdunstung zurückzuführen ist, hängt vomKlima, der Reisezeit und dem Ausgangszustand der Bananen ab. Außerdem sei darauf hingewiesen,daß nicht nur keine halben, viertel usw. Bananen in die Kisten gepackt werdenkönnen, sondern auch einzelne Bananen zu viel Mühe machen würden.Was würden Sie tun, natürlich in dem Wissen, daß der Großhändler stichprobenartige Kontrollenmachen wird?Machen Sie konstruktive Vorschläge und überlegen Sie, an welchen Punkten Ihnen Ihr Studiumweiterhelfen sollte!3

Zahlenmäßige Festlegungen an sich sind nicht Statistik (aber sie können zu Statistikenverarbeitet werden). Das Messen der Körpertemperatur ist nicht Statistik. Eine Barometerkurveist nicht Statistik. Das Zählen von Geld ist nicht Statistik. Buchhaltung istnicht Statistik. Man hat dies behauptet. Massenbeobachtung allein . . . oder das Beschreibeneines Kollektivganzen ist demnach noch nicht Statistik. Wenn aber das Beschreibeneines Kollektivganzen nach einer bestimmten – eben der statistischen Methode erfolgt?Dann läuft die Definition der Statistik darauf hinaus, daß Statistik Statistik sei. Was alsoist Statistik? Auf diese Rätselfrage gibt es mehr Antworten als es Statistiker gibt, dennsie nehmen ihre widersprechenden Ansichten ins Grab, ohne zu bemerken, wie einig sieeigentlich sind.A. Schwarz (1952)Aufgabe 4: Gefährliche Schlüsse Skript 1.1Nehmen Sie Stellung zur folgenden Zeitungsnotiz:Die Polizei hatte die öffentliche Vorführung des Films Studentinnen-Report 9. Teilwegen Gefährdung der Moral untersagt. In einem Filmklub zeigte man den Filmin einer geschlossenen Anstalt Veranstaltung. Wie ein Sprecher des Klubs mitteilte,sprachen sich bei einer Befragung weniger als 1% der Klubmitglieder fürein Aufführungsverbot aus. Das zeige deutlich, daß die Ansichten der Polizeihierin nicht mit der Meinung der überwältigenden Mehrheit der Bevölkerungübereinstimmen.Der stille Dienst, Mutter zu sein, ohne den in diesem Saal niemand existieren könnte, iststatistisch nicht meßbar.Helmut Kohl, BundeskanzlerAufgabe 5: Statistische Konzepte Skript 1.3Die folgenden Merkmale wurden bei verschiedenen, empirischen Untersuchungen erhoben.Nennen Sie den Merkmalsbereich und die Metrik. Überlegen Sie, welche dieser Merkmalebei einer Untersuchung über Studientauglichkeit von Bedeutung sein könnten!Monatliches EinkommenFamilienstandTauglichkeit bei der MusterungBücheranzahlBrustumfangReligionszugehörigkeitSchulbildungPersonenanzahl im HaushaltGeschlechtausgeübter Beruftägliche Wegstrecke zur ArbeitsstätteEinwohnerzahl der Heimatgemeinde4

Aufgabe 6: Statistische Konzepte Skript 1.3Im Jahr 1981 sollte eine Volks- und Berufszählung in der Bundesrepublik durchgeführt werden.Die folgende Übersicht listet die zu erhebenden Merkmale (Erhebungstatbestände) auf.Geben Sie für jedes Merkmal die Metrik (andere Bezeichnungen: Meßniveau, Meßskala, Skala)an und skizzieren Sie, wo eventuell besondere Probleme bei der Festlegung der Merkmalsausprägungenbestehen.Quelle: Jacob: Das Konzept der Volks-, Berufs- und Arbeitsstättenzählung 1981, AllgemeinesStatistisches Archiv 1978, S. 1f.Bevölkerung:Unterhaltsquellen:GeburtsdatumGeschlechtFamilienstandStellung innerhalb des HaushaltsReligionszugehörigkeitDeutsche/AusländerWeitere WohnungBei Anstalten: Personal/Insasse; eigener Haushalt oder nichtÜberwiegender LebensunterhaltErwerbstätigkeit:Ausbildung:Pendelwanderung:Beteiligung am ErwerbslebenStellung im BerufGeschäftszweigAusgeübte Tätigkeit/Beruf(einschl. stichwortartige Beschreibung)Weitere TätigkeitHöchster Schulabschluß an allgemeinbildenden SchulenPraktische Berufsausbildung(inkl. erlernter Beruf und Dauer der Ausbildung)Höchster Schulabschluß an berufsbildenen SchulenHauptfachrichtung des letzten AbschlussesSchüler/StudentAnschrift der Arbeitsstätte bzw. Schule/HochschuleVerkehrsmittelZeitaufwandAufgabe 7: Metriken Skript 1.3Das Merkmal ’Gewicht‘ ist offensichtlich in einer kardinalen Metrik meßbar. BeschreibenSie je eine Situation, in der man auf diese Eigenschaft nicht verzichten kann, in der man5

mit einer ’ordinalen Metrik für Gewicht‘ bzw. ’nominalen Metrik für Gewicht‘ auskommenwürde.Aufgabe 8: Metriken Skript 1.3Die Verkehrsbetriebe einer Großstandt wollen herausfinden, wie groß die Bereitschaft derAutofahrer ist, vom PKW auf ein öffentliches Verkehrsmittel umzusteigen. (Lieber im Staustehen als in der U-Bahn.) Entwerfen Sie einen geeigneten Fragebogen und geben Sie für jedeVariable an, ob sie stetig oder diskret ist!Aufgabe 9: Was, wann, wo, an wen? Skript 1.1, 1.3Die Tabelle ’Erhebung von Straßenverkehrsunfällen‘ (siehe Seite 46) ist einem Bericht vonH. Hertlein ’Probleme der Statistik der Verkehrsdelikte und der Verkehrsunfälle auf denStraßen‘ entnommen. Der Bericht ist im Tagungsband der 68. Jahrestagung des VerbandesDeutscher Städtestatistiker enthalten.Diskutieren Sie die in der Tabelle zum Ausdruck kommende Problematik.Aufgabe 10: Datenanalyse Arbeitsmaterial, Skript 4.1Führen Sie für die im Arbeitsmaterial ’Acid precipitation in Norway‘ für das Jahr 1976 angegebeneSO 4 -Konzentration im See die bekannten Aufbereitungs- und Analysetechnikender deskriptiven Statistik durch.Aufgabe 11: Datenanalyse ArbeitsmaterialFühren Sie die Untersuchung, die Sie in Aufgabe 10 an den SO 4 -Daten des Seewassers fürdas Jahr 1976 durchgeführt haben, nun für die entsprechenden Daten der Jahre 1977 und1978 durch.Fassen Sie die jeweiligen ’schematic plots‘ zu einer Zeichnung zusammen.Aufgabe 12: Datenanalyse ArbeitsmaterialStellen Sie für die SO 4 -Werte der Norwegischen Seen jeweils für die Jahre 1976 und 1977 einLetter-Value-Display auf.Aufgabe 13: Vergleichende Analyse ArbeitsmaterialDer Kuckuck macht sich nach der Meinung vieler das Leben leicht, da er andere Vögel mitdem Ausbrüten und Aufziehen seiner Nachkommen ’beauftragt ’.Die folgenden Daten entstammen einer Untersuchung von O.H. Latter (Biometrika 1, 1901).6

! ©*&+©(#&§ "© ! !§© $ § $!© ! ! ! ,.-§/0§21©341©5¨Sie geben die Länge [mm] von Kuckuckseiern in den Nestern dreier verschiedener Vogelartenan:¦§ © ! ! "¡£¢¥¤§¦©¨©¢¥¤§# %$ !&(') "§© "!§©*&§ § 6!§© !§©7&&§*&+© &§ Kann man aus diesen Daten wenigstens zur Ehrenrettung des Kuckucks ablesen, daß ergewisse Anstrengung auf das Tarnen und Täuschen verwendet?-§¨©;*< &2 © "§*&& # § &§ !§© !& !§©89¤§¦©¨©:§ © ! "!& Prognosen sind insbesondere dann schwierig, wenn sie sich auf die Zukunft beziehen!Aufgabe 14: Feintuning eines Werkzeuges Skript 4.1, 4.2Es wurden 500 Stück 1-kg-Zuckertüten auf ihr Gewicht geprüft. Alle Beobachtungen lagenzwischen 970 g und 1030 g. Aus der Urliste wurden zwei Häufigkeitstabellen erstellt, indemder oben erwähnte Bereich einmal in sechs und ein anderes Mal in zehn Klassen eingeteiltwurde.=?>§@BA2C7C*AED=F>@GA5C*C*AHMN A5OPQC4>§R¥R0A5O STO©UL>V©C IJWK M§N A5O©PXC4>§R¥RA2OIJLKSTOU2>VCK \©]0A5O Y M O^@©[4R.\©OQ]0A J = K \]¥A5O=Y M OZ@©[4R.\©OQ]¥A Jb _§ca D2d _Q`%a b _X`%e e_X`%ab _§_a ef _Q`%e b _c H D5d_c§ab D a§aa D _ H _§c H b _c§c f§f__§aaa§a b D a D a D e d _§c§c b __ d _§aDa D a b D a H a g§c _§_ d b D aa§a DWH eDa H a b D a§fa _ D a§aa b D aa§e DDLHDa§ae b D a DLH ` dDa DWH b D a D c f§aDa D c b D a H%d D aDa Hd b D af§a gDa) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilungen beider Tabellen in demselben Koordinatensystemgraphisch dar.b) Stellen Sie in einem zweiten Koordinatensystem beide empirischen Verteilungsfunktionendar.According to statistics the main cause of divorce is marriage.7

Aufgabe 15: Werkzeug und Ideen Skript 4.1, 4.2a) Stellen Sie für die folgenden Daten die Häufigkeitstabelle auf. Es handelt sich umHärte von Stahl, gemessen in Rockwell-Einheiten:58 49 58 57 50 60 64 65 64 5965 65 45 54 52 59 65 57 63 5465 60 61 47 60 52 63 61 54 6362 56 56 65 56 64 65 55 59 6564 49 65 50 65 61 64 61 59 6358 57 65 60 55 64 65 59 62 6564 54 56 58 40 85 53 61 56 6558 58 55 52 65 60 65 63 64 6360 61 61 65 56 62 65 54 64 6357 64 62 58 60 52 53 62 56 65Die 100 Stichprobenelemente wurden in der Reihenfolge ihrer Entnahme aufgelistet(von links nach rechts, zeilenweise).b) Geben Sie eine graphische Darstellung des Inhalts der Häufigkeitstabelle.c) Geben Sie die empirische Verteilungsfunktion tabellarisch und graphisch an.d) Lassen die Daten irgendwelche Schlüsse auf die ’Genauigkeit‘ des ermittelnden Laborszu?e) Wozu könnte man die Daten noch verwenden?Aufgabe 16: quasi formales Einüben von Werkzeugen Skript 5.1, 5.2Berechnen Sie für die Daten aus Aufgabe 13a) das arithmetische Mittelb) die mittlere quadratische Abweichungc) die Stichprobenvarianzd) die Standardabweichunge) den Medianf) den dichtesten Wert.8

Aufgabe 17: Robust oder nicht – das ist hier die Frage Skript 5.1Berechnen Sie für den nachstehenden Datensatz das arithmetische Mittel und den Median:4 1 18 3 4Es stellt sich heraus, daß in obigem Datensatz keine 18, sondern eine 8 stehen sollte. KorrigierenSie den Fehler und bestimmen Sie jetzt das arithmetische Mittel und den Median! Wielauten arithmetisches Mittel und Median, wenn Sie die 18 aus dem Datensatz herauslassen?Aufgabe 18: Techniken verstehen Klausur WS 91/92In einem Lebensmittelladen wird die Anzahl der an einer Kasse wartenden Kunden an 6aufeinanderfolgenden Tagen um 12 Uhr bestimmt. Es ergaben sich folgende Werte:11 5 6 9 3 8a) Erstellen Sie einen Boxplot der Beobachtungen, wobei Sie das arithmetische Mittel inder Zeichnung berücksichtigen sollten!b) Deutet der Boxplot auf eine symmetrische oder eine schiefe Verteilung hin? Eine kurzeBegründung ist erwünscht!Gegeben sei folgender Boxplot eines Datensatzes:h i j k l m n o p h2qc) Beschreiben Sie, was mit dem Boxplot passiert, wenn Sie zu jeder Beobachtung in derzugrundeliegenden Stichprobe den Wert 1 addieren!d) Beschreiben Sie, was mit dem Boxplot passiert, wenn Sie jede Beobachtung in der zugrundeliegendenStichprobe mit r 1 multiplizieren!Aufgabe 19: Statistik zum Anfassen Skript S. 175 ffStellen Sie in der Tutorengruppe die Körperlänge der Anwesenden fest, bilden Sie eineHäufigkeitstabelle, in der die verschiedenen Ausprägungen geeignet in Klassen zusammengefaßtsind. Bilden Sie nun ein ’lebendes Histogramm‘! Hierzu müssen sich die Kandidateneiner Gruppe hintereinander und die Gruppen selbst nebeneinander aufstellen. Diskutieren9

Sie, ob das Histogramm durch eine Veränderung der Klasseneinteilung an Ausdruckskraftgewinnt!Aufgabe 20: Datenanalyse Techniken der deskriptiven StatistikDie folgenden Zahlen stellen fünfzig Ausspielungen des Lottospiels 6 aus 49 dar.45 33 31 11 34 5 45 24 43 29 13 4 42 9 34 30 40 1325 48 17 38 2 3 12 36 23 39 15 48 46 6 14 36 1 2713 47 46 35 26 33 33 16 39 34 3 23 45 26 37 36 40 4923 15 9 5 38 20 8 13 26 3 15 42 48 38 13 30 44 4117 41 31 33 38 1 15 10 40 16 48 14 7 34 24 43 21 4837 48 11 35 26 30 10 20 33 18 19 42 46 4 31 6 1 2926 22 7 32 10 36 43 11 18 26 39 45 25 30 36 18 7 113 49 31 18 47 27 33 10 6 29 23 16 47 39 48 11 35 3844 48 32 6 43 25 9 15 35 34 47 11 36 33 40 7 43 1313 25 39 11 22 7 44 9 34 26 24 47 7 48 23 4 18 528 5 3 17 13 29 48 39 34 38 28 29 22 12 17 39 3 1410 11 46 19 16 45 28 49 15 39 41 24 43 21 4 1 47 530 38 34 17 6 42 14 7 11 12 36 15 22 2 13 43 15 1644 25 33 10 18 21 13 4 45 37 8 49 16 46 5 10 2 42 18 11 1 33 9 17 15 7 22 49 14 23 12 26 44 18 619 26 41 24 23 21 32 33 3 24 26 28 21 9 29 44 20 1749 45 22 19 36 33 37 15 26 1 32 21a) Betrachten Sie alle Zahlen als eine Urliste. Bereiten Sie diese auf.b) Angenommen, Sie würden vor jeder Ausspielung die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ankreuzen.Bereiten Sie Ihre Gewinnhäufigkeit auf.c) Wiederholen Sie b), indem Sie nun unterstellen, daß die Zahlen 5, 8, 15, 23, 38 und 45Ihre Glückszahlen sind. Welche Unterschiede ergeben sich?Aufgabe 21: Diskrete Techniken Skript 4.Der Verkauf eines bestimmten Artikels ergab in den 25 Filialen eines Unternehmens im letztenMonat folgende Stückzahlen:10 8 14 22 7 10 11 14 15 9 20 12 1911 16 10 17 8 24 15 11 22 11 14 19a) Stellen Sie die Rangwertreihe auf!b) Berechnen Sie die absoluten, relativen und kumulierten Häufigkeiten der Stückzahlenund stellen Sie diese in einer Häufigkeitstabelle dar.10

c) Zeichnen Sie das Stabdiagramm ˆf und die empirische Verteilungsfunktion ˆF!d) Wie relativ häufig wurden: höchstens 12, mehr als 10, mindestens 15, weniger als 21bzw. zwischen 11.7 und 17.3 Stückzahlen beobachtet?Aufgabe 22: Datenanalyse Techniken der deskriptiven StatistikDie folgenden Zahlen geben an, wie oft die verschiedenen Zahlen im Lottospiel 6 aus 49 von1955 bis zum 24.2.1990 gezogen wurden.Lottozahl 1 2 3 4 5 6 7Häufigkeit 223 227 225 207 213 224 211Lottozahl 8 9 10 11 12 13 14Häufigkeit 203 229 213 214 216 175 216Lottozahl 15 16 17 18 19 20 21Häufigkeit 213 215 228 211 233 218 248Lottozahl 22 23 24 25 26 27 28Häufigkeit 226 219 195 220 229 226 195Lottozahl 29 30 31 32 33 34 35Häufigkeit 210 214 231 249 234 198 215Lottozahl 36 37 38 39 40 41 42Häufigkeit 224 219 246 223 221 216 228Lottozahl 43 44 45 46 47 48 49Häufigkeit 216 212 218 228 210 238 242Häufigkeiten von Lottozahlen. Quelle: Hör Zu, 23.3.1990, S. 20.a) Bereiten Sie die Daten graphisch auf.b) Bestimmen Sie rechnerisch und zeichnerisch, wie relativ häufig die Zahl 13 gezogenwurde.c) Ermitteln Sie x Mod , ¯x, s 2 sowiesσ 2 .Aufgabe 23: Kontinuierliche Arbeit ist gefragt Skript 4., 5.In der folgenden Liste ist angegeben, wie lange man bei jedem von 25 Fußballspielen wartenmußte, bis das erste Tor fiel (in Minuten):40 65 11 43 34 41 3 1 43 9 21 4 12 41 9 46 14 30 41 7 31 43 25 20 16a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle, wobei Sie folgende Klassen bilden sollten:1. Klasse : 0 bis 15 2. Klasse : 15 bis 303. Klasse : 30 bis 45 4. Klasse : 45 bis 9011

) Zeichnen Sie das Histogramm!c) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion!d) Bestimmen Sie ˆFt 40u !e) Bestimmen Sie mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion den Anteil der Spiele,bei denen man mehr als 30 aber höchstens 60 Minuten auf das erste Tor warten mußte!Aufgabe 24: Einüben und Verstehen von Werkzeugen Skript 4.1-4.3, 5.1In der Landwirtschaftszählung von 1960 wurden alle landwirtschaftlichen Betriebe bezüglichihrer Betriebsfläche erfaßt. Die folgende Tabelle gibt Auskunft über die Anzahl der Betriebe,die jeweils einer bestimmten Größenklasse angehören, und deren Gesamtfläche:w „T…©† ƒ©‡‰ˆ w2z ŠwL} §‹ x¥|Bw5x0z¥{7w2|}~F€§‚ƒ wv£wyx¥z0{*w5|B}~?€‚ƒƒ v£wyx0z¥{*w5|Gw Œ {*… Ž2§ ƒ‘{*…|©{*}T”©…Qx0w5z • –——ZŽL˜§ “•—’ –©’(“|©{*}T”©…Qx0w5z “ š§—Q“›—§ ŽW•—©Ž’ ••|©{*}T”©…Qx0w5z Ž2 š§šQ“œ–Q—§˜ •–Q•—’ •“|©{*}T”©…Qx0w5z • š§Ž –Q˜§š –X•%–š’ šŽL|©{*}T”©…Qx0w5z “ Ž2§–ž“QŸ%— –Q—§š§˜’7Ž•§|©{*}T”©…Qx0w5z Ž2 •§ Q“Ž Ž%ŸXŽ2˜’ “§Ž2 ”©… ˆ^‹ w ƒ z Ÿ “§• •§˜QŸ%—’ ša) Zeichnen Sie das Histogramm! Gehen Sie dabei davon aus, daß ’Randprobleme‘ durchdie Größenordnungen vernachlässigt werden können.b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion!c) Bestimmen Sie graphisch das untere und das obere Quartil!d) Bestimmen Sie x 0.5 rechnerisch. Würden Sie den gefundenen Wert als Median bezeichnen?e) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung!Aufgabe 25: Fingerübungen Skript 5.Gegeben seien die reellen Zahlen x 1 , x 2 , . . . , x n . Für sie sei das arithmetische Mittel definiertdurch:¡1¯x n ∑ n 1 x i. Zeigen Sie die folgenden Beziehungen und versuchen Sie, diese zu interpretieren:i¢a) ∑ n i¢ 1t x i r ¯xu£¡ 012

§b) ∑ n x i¢ 1t i r ¯xu 2∑ n 1 x2 1i ur ¡¤t i¢ n ∑ n 1 x iu2t i¢c) Für beliebige Zahlen a und b ¥ gilt: ¡ ax b ¥ a ¯x b.Überlegen Sie zusätzlich:d) Für welche Zahl a wird die Summe ∑ n x 2 i¢ 1t i minimal?r aue) Versuchen Sie die letzte Frage auch für ∑ n ¦ 1 i¢ x i zu beantworten.a¦ rAufgabe 26: Zugabeteil Vielleicht ’mal in den Mitschriften suchen!Wir betrachten noch einmal den Datensatz und die Klasseneinteilung aus Aufgabe 23.a) Welche Wartezeit bis zum ersten Tor wurde in 25 Prozent der Spiele nicht überschritten?Bestimmen Sie diesen Wert– mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion– aus den Rohdaten!b) Bestimmen Sie aus den Rohdaten– das untere Quartil– das obere Quartil– den Median!c) Zeichnen Sie den Boxplot. Skizzieren Sie über dem Boxplot das zugehörige Histogramm!Wählen Sie die Klassenx¨ 1© , x 0.25ª , t x 0.25 , x 0.5ª , t x 0.5 , x 0.75ª , t x 0.75 , x¨ n© ª .d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel!e) Berücksichtigen Sie das arithmetische Mittel in Ihrem Boxplot!f) Berechnen Sie die Stichprobenvarianz s 2 !Aufgabe 27: Steigt die Lebenserwartung? Einführungsbücher der StatistikVon 13 Personen einer Sippe ist Todesjahr und Alter aufgezeichnet und in folgender Tabellezusammengefaßt worden.Jahr 1827 1884 1895 1908 1914 1918 1924 1928 1936 1941 1964 1965 1977Alter 13 83 34 1 11 16 68 13 77 74 87 65 8313

Quelle: P. Sprent (1989): Applied nonparametric statistical methods, Chapman and Hall, Bristol.a) Erstellen Sie einen Scatterplot!b) Berechnen Sie Ihnen bekannte Korrelationsmaße!c) Sehen Sie einen Zusammenhang?Aufgabe 28: Abhängigkeit und Unabhängigkeit Gesunder MenschenverstandFolgende Tabelle zeigt das Ergebnis einer Untersuchung zur Steuerkriminalität. X steht fürBetriebsart‘ mit den Ausprägungen: 1= Handelsbetrieb, 2= freie Berufe und ähnliche Leistungsbetriebe,3= Fertigungs- und sonstige Betriebe. Y steht für hinterzogene Steuerart‘’’mit den Ausprägungen: 1= Lohnsteuer durch Arbeitgeber, 2= Einkommensteuer, 3= Umsatzsteuer,4= Sonstiges.Y 1 2 3 4 SummeX1 2 13 9 9 332 26 11 15 9 613 7 6 5 3 21Summe 35 30 29 21 115Diskutieren Sie die gegebene Information. Bestehen zwischen den Merkmalen X und Y Abhängigkeiten?Literaturhinweis: Dieser Datensatz ist zu finden in R. Schlittgen, Einführung in die Statistik,1990, München; dort wird wiederum auf Mönch, Steuerkriminalität und Sanktionswahrscheinlichkeit,1978, Frankfurt/M., verwiesen.Any figure that looks interesting is probably wrong.Sir Claus Moser, Presidential Address to the British Royal Statistical SocietyAufgabe 29: Statistisches Warten! Skript 4.4Die Zahl X der Würfe, die man braucht, um mit einem Würfel zum erstenmal eine ungeradeZahl zu werfen, gehorcht einer Verteilung, deren Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:Pt X ¡ xuž¡ pt 1 r pu x« 1x ¡ 1, 2, 3, . . .p ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß bei einem Wurf eine ungerade Zahl erscheint.Nehmen Sie an, der Würfel ist unverfälscht.a) Welche sachliche Bedeutung haben Ft Xu und 1 r Ft Xu ?14

c) Bestimmen Sie: α) Pt X ¬ 5u β) Pt X ­ 4u γ) Pt 5 ¬ X ¬ 6ub) Berechnen Sie den Prozentpunkt X 0.8 . Welche sachliche Bedeutung hat er?Aufgabe 30: Eine rein theoretische Frage Skript 4.4Ein Experiment weist zwei mögliche Ausgänge auf. Der erste hat die Wahrscheinlichkeit p,der zweite p 2 . Bestimmen Sie p!Aufgabe 31: Zusammenhänge sehen lernen deskriptive TechnikenIn folgendem Datensatz sind Leistung in PS und Schadenshäufigkeit (SH) von Kleinwagengegenübergestellt.NR PS SH1 40 412 45 523 41 564 45 675 45 726 60 697 55 738 48 739 60 65NR PS SH10 50 7811 75 6512 60 7213 53 7814 75 7315 75 7016 50 7017 55 8118 60 82NR PS SH19 50 8220 55 7321 53 8722 72 9123 60 9424 64 9225 75 8626 64 8627 75 88NR PS SH28 60 8829 88 8830 68 9431 75 11332 105 9633 75 11034 102 10935 120 130Quelle: ADAC-Motorwelt 10/93.a) Fertigen Sie einen Scatterplot an!b) Was läßt sich über den Zusammenhang der Merkmale sagen?c) Konstruieren Sie aus den Daten eine Kontingenztabelle derart, daß die Ränder einerGleichverteilung nahekommen!d) Was sagen Sie nun zu der Frage nach dem Zusammenhang?Wer nicht Unerwartetes erwartet, wird das Unerwartete nicht finden, weil es schweraufspürbar und unzugänglich ist.HeraklitAufgabe 32: Zulässige und unzulässige Schlüsse Nüchterner Menschenverstand’ Die Anzahl der Verkehrsunfälle unter Alkoholeinfluß bei 0.4 bis 0.7 0 /00 liegt weit höher alsdie bei 1.5 oder 1.9 0 /00. Daraus kann geschlossen werden, daß bei einem kleinen Schwipsder Kraftfahrer enthemmter sei als nach stärkerem Alkoholeinfluß.‘Diskutieren Sie diese Aussage !15

Ð Í2ÕÏ5²¸»±³4¹ ÐÓÖTrau keiner Statistik, die Du nicht selbst gefälscht hast!Aufgabe 33: Aktive Statistik ¯φBegutachten Sie Graphiken, die Ihnen über den Weg laufen, und geben Sie eine Kopie vonderjenigen bei Ihrem Tutor ab, die am stärksten in die Irre führt.Aufgabe 34: Daten und ein Modell Skript 4.4Auf einem Bahnhof wurde beobachtet, wieviel Personen pro einer festgelegten Zeitspannean die Fahrkartenschalter herantraten, um eine Fahrkarte zu kaufen. Aus der Beobachtungergab sich folgende Tabelle:®T¯°2±²³µ´·5¸¹º¯©5¯®»¯©°2±§²©³F¼G2½¿¾¹À±§¯©¯©2¯‰ÁÀ©¸¥ºZ¼G5½7¾¥¹0À±¯¯©½*¯^©5¯©2¯Ã±§¹.ÄŸ¥5½*Ƨ¯½*¹Ç©È Ç©ÈɱÊË̾¥¸¥±¾½Î ÏÐÍÍ Í2ÒQÓÑÑ Í5ÔÎÒÒ ÕÐÔÔ ÔÕÐBerechnen Sie die empirische Verteilungsfunktion ˆF.Vergleichen Sie die erhaltenen Werte zum einen mit der Poisson-Verteilung mit dem Parameterλ ¡ 1, zum anderen mit der Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ ¡ 2.Welche Poisson-Verteilung scheint den Beobachtungsbefund besser wiederzugeben?Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß pro Zeiteinheita) nicht mehr als zwei Personenb) mehr als drei Personeneine Fahrkarte kaufen wollen?Aufgabe 35: Binomischer Lehrsatz GrundwissenWieso summieren sich die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung zu 1?Ein Statistiker ist einer, der auf der Bühne steht, und keiner lacht.Ausruf eines Statistikers16

Aufgabe 36: Statistik über Kino Skript 5.1, 5.2In zwei Städten wurden je 60 Personen nach der Anzahl ihrer Kinobesuche in den letzten 6Monaten gefragt. Man erhielt die folgenden Daten:Kinobesuche/6 Monate 0 1 2 3 4 5 6Zahl der Personen in A 6 8 8 11 14 11 2Zahl der Personen in B 5 7 12 12 12 7 5a) Berechnen Sie für jede Stadt die mittlere Anzahl der Kinobesuche der befragten 60Personen.b) Berechnen Sie für jede Stadt die mittlere quadratische Abweichung der Anzahl derKinobesuche.c) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilungen und empirischen Verteilungsfunktionen in jeeiner Graphik dar.d) Jemand schlägt vor, die Daten der beiden Untersuchungen zusammenzufassen. FolgenSie dem Vorschlag und lösen Sie für den neuen Datensatz die Frage a) bis c).Hinweis: Sie studieren Ökonomie; Sie sollten also effizient an die Aufgabe herangehen!Statistik ist, wenn im Kino ein Mann, der größer als 1.90 m ist, vor mir sitzt und eineFlasche Sekt trinkt, während in NewYork alle 1/2 Stunde ein Mann überfahren wird.Harald JuhnkeAufgabe 37: Fortsetzung von Aufgabe 34 Skript 5.1, 5.2a) Berechnen Sie aus den Angaben der Aufgabe 34 die mittlere Personenzahl, die proZeitspanne an die Schalter herantrat. Dafür ist die Angabemehr als 5 Personen kam 7 mal vor zu ersetzen durch:genau 6 Personen kam 5 mal vorgenau 7 Personen kam 1 mal vorgenau 8 Personen kam 0 mal vorgenau 9 Personen kam 1 mal vormehr als 10 Personen kam 0 mal vorb) Berechnen Sie für die gleichen Daten die Streuungsmaße.c) Ermitteln Sie die entsprechenden theoretischen Werte, Et Xu d.h. Ett und r Et Xu§u X 2ufür die von Ihnen ausgewählte Poisson- Verteilung.17

ln m k ¡ ln N r λ ¥ k ln λ r lnt k!uAufgabe 38: Abkürzungen AufzeichnungenErklären Sie, wieso Aufgabe 25 bei der Berechnung von Stichprobenvarianzen bzw. vonStichprobenstandardabweichungen Hilfstellung leistet!Aufgabe 39: Ein Mittel, um Poisson-Verteilungen zu erkennen Skript 4.4Bekanntlich ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung gegeben durchλ x e λp x ¡« ¡ X ¡ x 0, 1, 2, . . . × λ Pt 0¡ xux!Liegt eine Stichprobe vom Umfang N vor, so sind die erwarteten Häufigkeiten m k bestimmtdurchm k ¡ Np k ¡ N λk e « λGeht man zum Logarithmus über, so erhält mank!Man erkennt, daß ein Plot von ln m k lnt k!u gegen k eine gerade Linie mit dem Achsenabschnittln r N λ und der Steigung ln λ ergibt.¥Damit öffnet sich eine Möglichkeit, Daten graphisch auf eine Poisson-Verteilung hin zuüberprüfen. Dazu ersetzt man die theoretischen Häufigkeiten durch die beobachteten Häufigkeitenn k . Man betrachtet hierbei nur solche Häufigkeiten, die größer als 0 sind.a) Führen Sie dies mit den folgenden Daten durch, die einem Zufallsexperiment entstammen.Es wurden an einem Szintillationsschirm in 1/8-Minutenintervallen die Szintillationenbeim radioaktiven Zerfall von Polonium gezählt.k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14n k 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 4 0 1 1b) Schlagen Sie einen Wert für λ vor.c) Kann man das Verfahren auch auf den Fall anwenden, daß der Wert Null nicht auftretenkann? Oder allgemeiner: Kann das Verfahren eine abgeschnittene Poisson-Verteilungerkennen?Literatur: D.C. Hoaglin, A Poissonness Plot, The American Statistician, Vol.34, p.146f.Lieber ein buddhistisches Standesamt als ein Statistisches Bundesamt.Ein ordentlicher Professor18

Aufgabe 40: Ein Mittel, um geometrische Verteilungen zu erkennen Skript 4.4Überlegen Sie sich in Anlehnung an Aufgabe 39 ein entsprechendes Verfahren für die geometrischeVerteilung.Nichts ist furchtbarer als handelnde UnwissenheitGoetheAufgabe 41: Man sollte aus der Geschichte lernen und Kriege vermeiden. Skript 4.4.2In den 432 Jahren von 1500 bis 1931 brach 299 mal ein Krieg aus. Dabei wird eine militärischeAktion Krieg genannt, wenn sie entweder offiziell erklärt wurde und mindestens 50000 Mann daran beteiligt waren oder sie zu bedeutenden Grenzverschiebungen führte.Die folgende Tabelle gibt die Anzahl der Jahre wieder, in denen 0,1,2,3 oder 4 Kriege ausbrachen:x 1 n 10 2231 1422 483 154 4a) Stellen Sie dieser empirischen Häufigkeitsverteilung die Stabdiagramme der Poissonverteilungmit den Parametern λ ¡ 0.6, λ ¡ 0.7 bzw. λ ¡ 8.0 gegenüber! Welche dieserPoissonverteilungen paßt sich dem Beobachtungsmaterial besser an?Gehen Sie im folgenden von der Poissonverteilung aus, die sich in a) dem Beobachtungsbefundbesser anpaßt.b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einem Jahr höchstens ein Krieg ausbrichtc) ..., daß mehr als 2 Kriege in einem Jahr ausbrechen?d) Welche Anzahl von ausgebrochenen Kriegen würden Sie in einem Jahr erwarten? VergleichenSie diesen Wert mit dem arithmetischen Mittel!Die Stärke der Millionen beruht auf den Nullen19

Aufgabe 42: Rund um die Poisson-Verteilung und ? Skript 4.4a) Entwickeln Sie eine Rekursionsbeziehung 1 für die Wahrscheinlichkeitsfunktion derPoisson-Verteilung.b) Ermitteln Sie den dichtesten Wert (Modus) für die Poisson-Verteilung.c) Ein Buch von n Seiten enthält im Mittel λ Druckfehler auf der Seite. Bestimmen Sie dieWahrscheinlichkeit dafür, daß eine beliebige Seite mehr als k Druckfehler enthält unddaß keine Seite mehr als k Druckfehler enthält. Wie groß ist folglich die Wahrscheinlichkeit,da ss mindestens eine Seite des Buches mehr als k Druckfehler enthält?d) Welches Verteilungsmodell würden Sie für die Anzahl der fehlerfreien Seiten einesBuches mit n Seiten vorschlagen?Aufgabe 43: Noch eine Aufgabe zum Zusammenfassen von Daten Skript 5.1, 5.2Zwei Betriebe verkaufen Reis in 2-kg-Packungen. Um einen Überblick über die Genauigkeitder Verpackungsmaschinen zu erhalten, wiegt der Betrieb A 100 und der Betrieb B 200Packungen ab. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle dargestellt:ØÙ5Ú.Û4ÜÝQÞß»à©á2â§Ý©ãµäÙ2åTæ›çè Þ0Ù2àç è Þ0Ù5à ßTàá2âÝãµäÙ5åTæêë§àÃß êë§à^ìÛ7àÃéò óôí2îîïLð9í2îîñíLò ôõí2îîñ%ð9í2îî§ôó§õ ò§ôí2îî§ôWð9í2îî§öñõ óQïí2îî§öWð©ïõõ§õí2õ íLôïõõ§õWð©ïõõïí2õ§õïõõa) Berechnen Sie das arithmetische Mittel für jeden Betrieb.Die folgenden zwei Aufgabenstellungen beziehen sich alle auf die gemeinsame Häufigkeitsverteilungder beiden Betriebe.b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel für beide Betriebe zusammen.1 Rekursion hat das Ziel, ein ’großes‘ Problem auf ein ’strukturgleiches kleineres‘ Problem zurückzuführen.Beispiel:n! ÷ùø÷nú û 1ü ý1 : n 1n ! : n 120

d 2 ¡d 2 F ¥n Mþþd 2 Mª ¥t ¯x F r ¯xu 2¥ n Mþþc) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung der gemeinsamen Verteilung unterfolgender Voraussetzung. Es gilt:1nt r cu ¡ ¡ν¢n∑ x 2 ν 5.5333 für c 19971Welchen Satz haben Sie zu Hilfe genommen?Aufgabe 44: Berechnung von d 2 einfache UmformungsregelnEs wurde die Körpergröße von n F Studentinnen und n M Studenten festgestellt. Für diedurchschnittliche Körpergröße gilt dann, wie man weiß:¯x ¡1n þ ∑ x i ¡n Fn þ1n F∑ x i ¥Frauenn Mn1n M∑ x i ¡Männern Fn þ¯x Frauen ¥n Mn¯x Männermitn ¡ n F ¥ n MGibt es einen entsprechenden ’Rechentrick‘ für d 2 ? Ja!Zeigen Sie, daß die folgende Beziehung gilt und interpretieren Sie diese.1n ∑ i1 §n Fþ n1þ n§n Fþt ¯x M r ¯xu 2 ªwobeit x i r ¯xu 2¡¯x F ¡¯x M ¡d 2 Fd 2 M ¡¡arithmetisches Mittel für die Studentinnenarithmetisches Mittel für die Studentenmittlere quadratische Abweichung für die Studentinnenmittlere quadratische Abweichung für die Studenten38% aller Studentinnen sind weiblich.Aus der BildzeitungAufgabe 45: Formale Fingerübungen Skript 2.2Gegeben seien die Mengen¡ A k, s, v , ¡ ÿ B a, d, s, o, c, k , C ¡ ÿ r, e, f , o, s .¡ ÿa) Ermitteln Sie ¡ A B, ¡ B C, £ t C ¢ Bu A t , ¢ Bu¤£ t A ¢ Cu B £ .¢Die Komplementbildung erfolge bezüglich des gesamten Alphabets U.b) Ermitteln Sie ¢ A B, £ B C, U.21

Als ich noch jünger war, war die Statistik die Wissenschaft von den großen Zahlen. Wiemir scheint, entwickelt sich die Statistik allmählich zu einer Disziplin, die überhauptohne Zahlen auskommt.Oswald GeorgeAufgabe 46: Formale Fingerübungen Skript 2.2Eine Analyse von Unfallursachen bei Verkehrsunfällen macht (über den schuldigen Teil) diefolgenden Angaben:10 Fahrzeuge hatten technische Mängel15 Fahrer standen unter Alkoholeinfluß20 Fahrzeuge fuhren mit überhöhter Geschwindigkeit1 Fahrzeug hatte neben technischen Mängeln auch einen alkoholisierten‘ Fahrer’2 Fahrzeuge hatten sowohl technische Mängel als auch überhöhte Geschwindigkeit12 mal waren gleichzeitig Alkohol und überhöhte Geschwindigkeit im Spiel1 Fall wies alle drei Unfallursachen gleichzeitig auf.Frage: Wie viele Unfälle wurden analysiert?Hinweis zu Aufgabe 45 und 46:Als Literatur kann man z.B. auf das Kapitel II aus:Wetzel u.a., Mathematische Propädeutik für Wirtschaftswissenschaftlerzurückgreifen. Dieses Buch steht in der Bibliothek unter SC 100 M in der LehrbuchsammlungWirtschaftswissenschaften.Aufgabe 47: A oder B oder beides? Skript 2.3Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Student eine Mensamarke vom Typ Eintopf kauft, ist 0.3,und daß er eine vom Typ Essen 1 kauft, ist 0.5. Mindestens einen der beiden Typen kauft ermit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß era) von beiden Typen kauft?b) keines von beiden kauft?c) genau eines von beiden kauft?d) nur Eintopf essen will?Tennis ist ein Sport, der Statistikern sehr viel Freude macht.Eberhard Figgemeyer, Sportreporter.22

Aufgabe 48: Erwartungswert und Varianz Skript 5.1, 5.2Berechnen Sie für die ZufallsvariableX :¡Augensumme zweier Würfelden Erwartungswert und die Varianz. Welche Menge schlagen Sie als Ergebnismenge Ωvor?Aufgabe 49: Ergebnisse und Ereignisse Skript 2.2Aus einer Urne mit vier roten (r), drei schwarzen (s) Kugeln und einer weißen (w) Kugelwerden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen.a) Welche Menge(n) Ω der Ergebnisse ist (sind) richtig?rr,ss,ww,rs,rw,sw ¡ÿrr,ss,rs,rw,sw ¡ ÿrr,ss,rs,sr,rw,wr,sw,ws ¡ÿrr,ss,ww,rs,sr,rw,wr,sw,ws ¡ÿb) Geben Sie die folgenden Ereignisse an:A: mindestens eine weiße KugelB: zwei Kugeln derselben Farbe¢ A Bc) Ist das Ereignis A £ B ein Element des Ereignisfeldes (der σ-Algebra, die A und Benthält)?d) Beantworten Sie die Frage a) - c) für den Fall, daß die erste Kugel gezogen, ihre Farbenotiert, die Kugel in die Urne zurückgelegt, alle Kugeln gut gemischt und dann diezweite Kugel gezogen wird (das nennt man ’Ziehen mit Zurücklegen‘).¢ ¢ ¡Aufgabe 50: Schlag nach – nicht bei Shakespeare – sondern in 2.3 Skript 2.3Für die drei Ereignisse A 1 , A 2 , A 3 gilt:A 1 A 2 A 3 ΩKann es dann zutreffen, daß gilt:A 1 £ A 2 ¡ A 1 £ A 3 ¡ A 2 £ A 3 ¡ ∅ .Pt A 1 už¡ 0.2 Pt A 2 už¡ 0.7 und Pt A 3 už¡ 0.1 ?Aufgabe 51: Was ist eigentlich p? Skript 2.323

Der Ergebnisraum ¡ ÿ sei Ω 1, 2, . . . , n . Wie muß man p wählen, wenn man die Wahrscheinlichkeitfür die ¡ Ereignisse i , i ¡ 1, . . . , n durch PtLÿ i ¡ uE¡ ip festlegen will?¡ ÿAufgabe 52: Wahrscheinlich leicht Skript 2.3.3Zeigen Sie für beliebige Ereignisse A, B, C :Pt A ¢ B ¢ Cuž¡ Pt Au»¥ Pt Bu ¥ Pt Cur Pt A £ Bu r Pt A £ Cur Pt B £ CuT¥ Pt A £ B £ Cu .Aufgabe 53: Und wieder ereignet sich eine Aufgabe. Skript 2.2A, B und C seien drei beliebige Ereignisse. Geben Sie Ausdrücke für das Ereignis an, daßvon den Ereignissen A, B und Ca) nur A eintritt.b) mindestens zwei eintreten.c) höchstens zwei eintreten.d) zwei und nicht mehr eintreten.e) sowohl A als auch B eintreten, aber nicht C eintritt.f) mindestens eines eintritt.g) nicht mehr als eines eintritt.h) genau eines eintritt.i) keines eintritt.j) alle drei eintreten.Aufgabe 54: Casino-Statistik Skript 4.4, 5.1, 5.2Zocker Ede ist begeisterter Hütchenspieler. Bei diesem Spiel wird eine Kugel unter eines vondrei Hütchen gelegt. Die Hütchen werden dann von dem Spielleiter so lange vertauscht,bis nicht mehr erkennbar ist, unter welchem Hütchen sich die Kugel befindet. Ede setzt aufein zufällig ausgewähltes Hütchen 100 DM. Befindet sich die Kugel unter dem Hütchen,auf das Ede gesetzt hat, bekommt er 250 DM zurück, ansonsten verliert er den Einsatz. Edespielt zweimal bei dem Spiel mit. Die Zufallsvariable X gebe den Gewinn bzw. Verlust beizweimaligem Spiel an.a) Leiten Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X her!b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X!24

Aufgabe 55: Eine einfache Verteilung Skript 2.3Der Ergebnisraum Ω besteht aus n ­Bestimmen Sie α!PtLÿ ω i¡2 Elementen ω i , und es giltuž¡α, i ¡ 1, . . . , n.n r 1Aufgabe 56: Unwahrscheinlich wahrscheinlich oder umgekehrt Skript 2.3Ein Zufallsexperiment hat 10 verschiedene Ergebnisse: 1,2,. . . ,10. Aus inhaltlichen Überlegungenweiß man, daß Ereignis ÿ 2 ¡ gerade doppelt so wahrscheinlich ist wie ÿ 1 ¡ , das Ereignisÿ 3 ¡ dreimal so wahrscheinlich wie ÿ 1 ¡ usw.a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ÿ 1 ¡ ?b) Wie groß ist sie bei Fortsetzung dieser Regel, wenn es N Ergebnisse gibt?Aufgabe 57: Nicht ROT sehen, bitte! Skript 4.4, 5.1, 5.2Eine automatisch gesteuerte Ampelanlage zeigt 10 Sekunden lang grün, 40 Sekunden langrot, 10 Sekunden lang grün usw. (Ein Zyklus dauert also 50 Sekunden, da Fußgängerampelnkein gelbes Licht haben).Johnnie Walker muß diesen Übergang täglich benutzen. Seine Ankunftszeiten am Fußgängerüberwegsind rein zufällig verteilt. Er geht also bis zum Straßenrand, schaut dann erst, obdie Ampel rot oder grün zeigt und verhält sich als braver Verkehrsteilnehmer entsprechendder jeweiligen Anzeige. Gestern mußte Johnnie Walker zehnmal über diesen Übergang gehen.Sei X die Anzahl der Fälle, in denen Johnnie Walker die Ampel ohne Verzögerungüberqueren konnte.a) Wie ist X verteilt?b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X!c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er genau fünfmal ohne Verzögerung weitergehenkonnte?d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er jedesmal warten mußte?e) Die Ampelphase wurde so geändert, daß 20 Sekunden lang grün, 30 Sekunden langrot usw. angezeigt wird. Beantworten Sie die Fragen a) – d) für diesen Fall.25

Aufgabe 58: Endlich ein Problem aus dem täglichen Leben Skript 2.2, 2.3a) Drei befreundete Ehepaare treffen sich zu einem Fondueessen. Bevor sie an dem rundenTisch Platz nehmen, werden die Sitzplätze ausgelost, und zwar so, daß weder zweiHerren noch zwei Damen nebeneinandersitzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,daß alle drei Ehefrauen neben ihrem Ehemann sitzen dürfen (müssen)?b) Nach dem Essen spielen drei Personen Skat, während drei in der Küche den Abwaschmachen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß es die drei Frauen sind? (Wenn Siediese Frage ernst nehmen, dann geben Sie bitte nicht die Antwort, die sich im täglichenLeben findet.) Herr Müller behauptet, die Wahrscheinlichkeit, kein As in denihm zugeteilten Karten vorzufinden, sei gleich der Wahrscheinlichkeit, alle vier Assevorzufinden. Herr Meier meint, daß die Wahrscheinlichkeit, kein As oder vier Asse zubekommen, immer noch kleiner ist als die, höchstens drei Asse zu erhalten. Wer hatrecht?c) Anschließend wird eine Mixed-Meisterschaft im Pfeilwurf ausgetragen. Hierzu werdendie Partner für die drei Ehefrauen ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,daß mindestens ein Ehepaar als Mannschaft auftritt?Aufgabe 59: Die 11. ägyptische Plage: Mäuse und Statistik Skript 2.2-2.5a) Ein Institut für Genetik hält zu Untersuchungszwecken in Käfigen Mäuse. In der Populationvon n Mäusen sind n 1 vom Genotyp AA, n 2 vom Genotyp aa und der Restvom Genotyp Aa. Es gelingt einer Maus zu entfliehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,daß sie vom Charakter des dominanten Merkmals A war?b) Durch ein Mißgeschick werden nach einer Fütterung die Käfigenicht ordnungsgemäßgeschlossen, und es kommt zu Zufallspaarungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeitfür eine Paarung ¥ AA aa? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine aufgrundvon Zufallspaarungen gezeugte Maus vom Genotyp AA ist und die Eltern beide TypAa besitzen.Aufgabe 60: Abhängigkeit? Skript 2.55 Prozent der Bevölkerung haben hohen Blutdruck. Von den Personen mit hohem Blutdrucktrinken 75 Prozent Alkohol, während nur 50 Prozent der Personen ohne hohen Blutdruck Alkoholtrinken. Wieviel Prozent der Personen, die Alkohol trinken, haben hohen Blutdruck?26

Aufgabe 61: Historische Statistik – Teil 1 Skript 2.2, 2.4Der Chevalier de Méré war fest davon überzeugt, daß er ohne Einbuße sein gewinnbringendesGlücksspiel wie folgt modifizieren könne. Bisher wettete er auf ’mindestens eine 6bei einem Wurf mit 4 Würfeln‘. Dieses Ereignis wollte er ersetzen durch ’mindestens einmaldoppeltes Auftreten der 6 bei 24 Würfen mit jeweils 2 Würfeln‘.Als es anders kam, hatte wie üblich nicht er, sondern die Mathematik schuld. Leisten Sieeine Ehrenrettung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, indem Sie zeigen, daß man durchausberechnen kann, daß die fraglichen Ereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.Aufgabe 62: Historische Statistik – Teil 2 Skript 2.2, 2.4Mit einiger Mühe stellt man fest, daß man die Zahlen 10 und 9 jeweils auf 6 verschiedeneArten als Summe von drei Zahlen aus dem Bereich von 1-6 darstellen kann:10 = 1+3+6 = 1+4+5 = 2+2+6 = 2+4+4 = 2+3+5 = 3+3+49 = 1+2+6 = 1+3+5 = 1+4+4 = 2+2+5 = 2+3+4 = 3+3+3.Zur Überraschung vieler stellt es sich nun heraus, daß beim Wurf von drei Würfeln (die Augenzahleines Würfels liegt gerade im Bereich 1-6) die Augensumme 10 häufiger beobachtetwird als die Augensumme 9. Warum?Aufgabe 63: Denksport DIE ZEIT vom 19.7.91Ein interessantes Problem wurde vor einiger Zeit in der DER ZEIT und anderen Zeitschriftendiskutiert. Hier ist der Anfang des ZEIT-Artikels:Die amerikanische Journalistin Marilyn vos Savant gilt als der Mensch mit dem höchstenIntelligenzquotienten der Welt, was immer das auch bedeuten mag. Ende letzten Jahreshat sie mit der Lösung einer Denksportaufgabe in ihrer Kolumne Fragen Sie Marilyneinen Sturm hämischer bis empörter Leserbriefe ausgelöst, der noch immer anhält. Wasdie Journalistin in der Zeitschrift Parade geschrieben hatte, widersprach nämlich derIntuition ihrer Leserschaft, darunter vieler Mathematiker.Ein Leser hatte ihr folgende Frage gestellt: Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehenteil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Türwartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eineTür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinterwelcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten Ich zeige Ihnen mal was öffneter eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut insPublikum. Er fragt: Bleiben Sie bei Nummer eins oder wählen Sie Nummer zwei?— ja, was tun Sie jetzt?27

Obwohl unsere Information falsch ist, verbürgen wir uns nicht für sie.E. SaheAufgabe 64: bedingt – unbedingt Skript 2.5Wie man weiß, hat jeder 1000-te Einwohner einer fernen Stadt Tuberkulose. Es existiert einmedizinischer Test mit den folgenden Eigenschaften:Falls eine Person Tuberkulose hat, wird der Test dieses mit einer Wahrscheinlichkeit von0.999 anzeigen. Falls eine Person nicht Tuberkulose hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit nur0.002, daß der Test ein falsches Ergebnis abliefert. Nun zeigt der Test für eine zufällig ausgewähltePerson an, daß sie Tuberkulose hat. Muß die Person gleich verzweifeln?Aufgabe 65: Mit Statistik zum Skatprofi Skript 2.2 – 2.5Drei Skatspieler A, B und C treffen sich an zwei Skatabenden und ermitteln jeweils dieReihenfolgebester Spieler des Abends — zweitbester Spieler des Abends — schlechtesterSpieler des Abends.Unter Annahme, daß diese Reihenfolge nur vom Zufall abhängt, berechne man die Wahrscheinlichkeitder folgenden Ereignisse:a) an beiden Abenden ist Spieler A ’bester Spieler des Abends‘b) an beiden Abenden ergibt sich die gleiche Reihenfolgec) an beiden Abenden ergibt sich die Reihenfolge A–B–C.Man gebe die der Lösung zugrunde gelegte Menge der Elementarereignisse bei jeder dieserdrei Teilaufgaben an. Sodann berechne man die Wahrscheinlichkeiten der zu den in denTeilaufgaben a), b) und c) definierten Ereignissen analogen Ereignisse für den Fall, daß sichdie Skatspieler zu 3 Skatabenden treffen.Aus einem Skatspiel wird zufällig eine Karte gezogen. Man weiß, daß dies ein Bild (Bube,Dame, König) ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die gezogene Kartea) ein Bubeb) ein Herzc) ein Asist?Zusatzfrage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß beim Skatspiel folgende Situation auftritt:’Jeder Spieler und der Skat besitzen genau ein As‘?28

Aufgabe 66: Nach dem Skatspiel Skript 4.4Ein Mann kommt betrunken nach Hause. An seinem Schlüsselbund befinden sich 5 Schlüssel,von denen einer der Hausschlüssel ist. Da er nicht mehr weiß, welcher der richtige ist, wählter einen zufällig aus und versucht mit diesem die Tür zu öffnen. Ist der Schlüsssel falsch,so versucht er es noch einmal. Sei X die Anzahl der Versuche, die er benötigt, bis es ihmgelingt, die Tür zu öffnen.a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X unter der Annahme, daß ihmvor jedem Versuch das Schlüsselbund zu Boden fällt und er mit der Suche wieder vonvorne beginnt. Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, daß es ihm bei einergeraden Anzahl von Versuchen gelingt, die Tür zu öffnen?b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X unter der Annahme, daß ihmvor jedem Versuch die Schlüssel bekannt sind, mit denen er schon vergeblich versuchthat, die Tür zu öffnen. Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, daß es ihmbei einer geraden Anzahl von Versuchen gelingt, die Tür zu öffnen?Aufgabe 67: Über eine andere Droge Skript 4.4, 5.1, 5.2Eine Tüte enthält 5 Gummibärchen, von denen 3 rot und 2 grün sind.a) Der Tüte werden nacheinander zwei Gummibärchen zufällig entnommen, wobei daszuerst entnommene Gummibärchen nicht zurückgelegt wird. Sei X die Anzahl dergrünen Gummibärchen, die entnommen wurden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion,den Erwartungswert und die Varianz von X!b) Beantworten Sie die Fragen von a) unter der Bedingung, daß das zuerst entnommeneGummibärchen in die Tüte zurückgelegt wird, bevor das zweite Gummibärchengezogen wird.Aufgabe 68: Schon wieder Casino-Statistik Skript 2.Drei Studenten treffen sich zum Skatspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daßa) alle drei am Sonntagb) alle drei an verschiedenen Wochentagenc) genau zwei am gleichen Wochentagd) alle drei am gleichen Wochentag geboren sind?29

Welche Annahmen liegen Ihren Antworten zugrunde?Wenn etwas Glücksache ist, kann man es nicht einfach dem Zufall überlassen.V.F. SimpsonAufgabe 69: Analyse eines Glücksspiels Skript 2.2, 2.4Ein Glücksspiel bestehe darin, daß eine Münze dreimal geworfen wird. ( Bei jedem einzelnenWurf seien nur die beiden Ergebnisse ’Wappen‘ und ’Zahl‘ möglich.)a) Wie viele Elementarereignisse hat man bei der wahrscheinlichkeitstheoretischen Behandlungdieses Glücksspiels zu beachten? (Dabei soll die Menge der Elementarereignisseso gewählt werden, daß es sinnvoll erscheint, alle Elementarereignisse (genauer:alle 1-elementigen Ereignisse) als gleichwahrscheinlich anzusehen, d.h., das Glücksspielsoll als ein Laplace-Experiment behandelt werden.)b) Wie viele verschiedene Ereignisse gibt es?c) Wie viele unter diesen Ereignissen erhalten (unter Zugrundelegung der Laplace-Annahmeder Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse) die Wahrscheinlichkeit 1/2?Aufgabe 70: Unabhängigkeit persönliche ErwartungEs wurden die Teilnehmer von Statistikklausuren mit folgendem Ergebnis untersucht:60 % der Studenten hatten Vorlesung und Tutorengruppe besucht und regelmäßig Übungsblätterbearbeitet (Ereignis A). 57 % der Studenten hatten zu den oben genannten Eigenschaften(Ereignis A) auch noch die Klausur bestanden (Ereignis B).a) Sind A und B unabhängig?b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Studenten an, die Klausur zu bestehen,vorausgesetzt, er besucht Vorlesung und Tutorengruppe und bearbeitet regelmäßigdie Übungsblätter.Diesen Winter halte ich zwei Vorlesungen für drei Studenten, von denen einer wenigvorbereitet ist, der zweite noch weniger, und dem dritten fehlt sowohl Vorbereitung alsauch die Fähigkeit. Das sind die Lasten des mathematischen Berufes.Gauß an Bessel (1810)Aufgabe 71: Vieles ist abhängig von Unabhängigkeit Skript 2.6Die beiden Ereignisse A und B seien unabhängig. Zeigen Sie, daß auch Ā und ¯B unabhängigsind! Sind auch A und Ā notwendigerweise unabhängig?30

¨© Stell Dir vor, es ist Statistikvorlesung — und alle hören hin.Aufgabe 72: Einige Alltagsprobleme Skript 4.4a) Sie stehen in Manhattan an der Kreuzung (0,0) und wollen nach (4,4).Wie viele Möglichkeiten gibt es, von (0,0) nach (4,4) zu gelangen, wenn Sie an jedemKnoten im Gitter entweder nach Osten oder nach Norden gehen können? ¦ § b) Ein Taxifahrer befindet sich an der Stelle (0,0). Er bekommt den Auftrag, einen Kundenvon (4,4) nach (8,8) zu bringen. Wie viele kürzeste Wege gibt es? c) In einer Schlange vor Ihnen stehen vier Männer und vier Frauen. Wie viele verschiedeneReihenfolgen gibt es?d) Formulieren Sie eine Aufgabe mit der Lösung von b) im Stil von c).Die Wahrscheinlichkeit, daß Brot auf die mit Butter bestrichene Seite fällt, ist umgekehrtproportional zum Alter des Teppichs.31

!!!¥!!!!¡¡!!!!¡!n ¥Aufgabe 73: Erst überlegen, dann beweisen ! Skript 4.4Zeigen Sie, daß gilt:nnkr n 1r 1" k(1)k"nnr k" n(2)nknkk"k r 1"nkkk "(3)n0"k"1"¥ . . . ¥0"2¥!n1"2¥ . . . ¥!nn"2¡!k"0"2nn "(4)Aufgabe 74: Ein geeigneter Trainer für Arminia ?? ArbeitsmaterialFußballtrainer Kannix bevorzugt das 4-2-4 System, d.h., außer dem Torwart spielen in derMannschaft 4 Verteidiger, 2 Mittelfeldspieler und 4 Stürmer. Insgesamt steht ihm ein Spielerreservoirvon 17 Spielern zur Verfügung. Von diesen können 2 nur als Torwart, 5 nur alsVerteidiger, 4 nur als Mittelfeldspieler und 6 nur als Stürmer spielen.a) Wie viele verschiedene Mannschaften kann er aufstellen?b) Wie viele verschiedene Mannschaften kann er aufstellen, wenn er die Funktionen derFeldspieler unberücksichtigt läßt?Ein Verteidiger und ein Stürmer kommen blessiert von einem Pokalspiel zurück.c) Wie lauten jetzt die Antworten zu a) und b)?Aufgabe 75: Ein unrealistisches Beispiel Skript 4.4Ein nachdenkender Student bewegt sich zufällig auf # :$&% $¤' $)( $+* , * ( ' %Dabei startet er im Punkt 0 und entscheidet sich in jeder Epoche ¡ t 1, 2, 3, . . . zufällig, ob ereinen Schritt nach links oder einen Schritt nach rechts machen soll.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er nach 12 Epochen wieder im Punkt 0 angekommenist?Hinweis: Um nach 12 Schritten wieder im Punkt 0 zu landen, muß der Student 6 Schrittenach rechts und 6 Schritte nach links machen.32

- - -.- - -. . .- - - -. . . .Aufgabe 76: Ein realistisches Beispiel Klausur WS 91/92Der Deutsche Kaninchenzüchterverein e.V. beschäftigt sich wieder mit sich selbst: Ein neuerVorstand soll gewählt werden, bestehend aus:1. Vorsitzender2. VorsitzenderKassenwartRevisorPressesprecherDas bedeutet, daß jedes zweite Mitglied ein Amt erhält, denn der Verein umfaßt nur 10 Mitglieder.Die Igelzüchter 1902 e.V. finden das sehr spießig. Sie haben selbstverständlich keinenVorstand. Allerdings wird auch dort gewählt: Um effektiv arbeiten zu können, benötigen die10 Stacheltierfreunde einen fünfköpfigen Geschäftsführenden Ausschuß.Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann die Wahl zuma) Geschäftsführenden Ausschuß der Igelzüchter 1902 e.V.b) Vorstand des Deutschen Kaninchenzuchtvereins e.V.erbringen?Es gibt nur eine Gewißheit, nämlich daß wir keine Gewiß heit haben können; und deshalbgibt es auch die Gewißheit nicht, daß wir keine Gewißheit haben können.S. ButlerAufgabe 77: Gibt es hierzu eine Urnenaufgabe? KombinationsfähigkeitEin Testfahrer für Skier hat den Auftrag bekommen, für die Stiftung Warentest 3 Kategorienvon Skiern zu testen. In jeder Kategorie wird zusätzlich noch zwischen Holzski (H)und Kunststoffski (K) unterschieden. Die Kategorien enthalten 4, 6 und 8 Skier und sind infolgendem Diagramm dargestellt:.+/10:2H4768:9;2KJF9NM258BO:/7P;O:QR9SI >L.+/103254768:9;2=@?BA/7F472H8BI>?3A6FF258VIC 8ED¤F ?GAC 8). ADie Entscheidung des Testfahrens für einen speziellen Ski geht in 2 Stufen vor sich. In derersten Stufe wählt er zufällig (Gleichmöglichkeitsmodell) eine Kategorie aus, in der zweitendann zufällig einen Ski.33

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Testfahrer in der ersten Stufe Kategorie 3auswählt?b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Testfahrer in der zweiten Stufe einenKunststoffski auswählt, sofern er sich in der ersten Stufe für Kategorie 2 entschiedenhat?c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Testfahrer einen Kunststoffski auswählt?d) Es wurde ein Kunststoffski ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eraus Kategorie 1 stammt?Aufgabe 78: Ein schweres Schicksal Skript 2.5, 5.1.6Drei Urwaldforscher sind den Kannibalen in die Hände gefallen und sehen sich schon imKochtopf schmoren. Da geben die freundlichen Kannibalen ihren Opfern noch eine Chance,unbehelligt von dannen zu ziehen. Der Häuptling erklärt ihnen diese Möglichkeit:Ich habe hier 2 Urnen und je 12 schwarze und 12 weiße Kugeln. Die Kugeln kann ichnach 2 verschiedenen Verfahren in die Urnen verteilen:Verfahren I: In die eine Urne kommen 6 weiße Kugeln und 2 schwarze Kugeln, in dieandere Urne die restlichen Kugeln (also 10 schwarze und 6 weiße).Verfahren II: In jede Urne kommen 6 schwarze und 6 weiße Kugeln.Sucht Euch eines der beiden Verfahren aus. Ich werde dann – unsichtbar für Euch – dieKugeln entsprechend in die Urnen legen. Ihr sollt sodann zufällig eine Urne auswählenund daraus wieder zufällig eine Kugel ziehen. Wenn Ihr eine weiße Kugel zieht, so seidIhr frei!Welches Verfahren würden Sie den Urwaldforschern aus welchen Gründen vorschlagen,damit ihre Überlebenschance möglichst groß wird?Aufgabe 79: Statistik als Breitensport Fragen Sie WatsonStellen Sie sich vor, Sie sitzen im Ursprung (der Punkt mit den Koordinaten (0,0,0)) einesräumlichen Gitters. Sie können vom Gitterpunkt (i, j, k) jeweils in einem (Kletter-)Schritteinen der Gitterpunkte (i¥ 1, j, k), (ir 1, j, k), (i, j¥ 1, k), (i, jr 1, k), (i, j, k¥ 1) oder (i, j, kr 1) erreichen.Nun kommt der sportliche Teil: Sie sollen auf dem kürzesten Weg von Ihrem angeblichenSitzplatz (Sie sitzen zur Zeit im Ursprung) den Punkt mit den Koordinaten (x,y,z)erreichen.a) Wie viele Schritte müssen Sie zurücklegen?b) Gibt es mehr als einen kürzesten Weg? Wenn ja, wie viele ganz genau?34

vvkkWußten Sie, daß ein Pferd mindestens zwölf Beine hat? Nun, es hat zwei Beine vorn, zwei hinten,zwei auf jeder Seite und eins an jeder Ecke, und dabei sind noch nicht einmal die Beine am Bodenberücksichtigt. R.Danckwerts, D.Vogel, K.Bovermann, 1985, Elementare Methoden der Kombinatorik,Teubner, StuttgartAufgabe 80: Statistik und Übersinnliches Skript 2.7.4Das Aufspüren von unterirdischen Wasserläufen durch Wünschelrutenlaufen geht bis insMittelalter zurück. Eine erste genaue Beschreibung erschien in Agricolas berühmten WerkDe re metallica, welches 1556 erschien. Verläßliche Berichte darüber, ob diese tatsächlichwirkt, sind schwer erhältlich, da Erfolgs- oder Mißerfolgsmeldungen anscheinend starkabhängen von der Einstellung des jeweiligen Beobachters. Die folgende Tabelle basiert aufeinem der wenigen authentischen Berichte zu diesem Thema. Aufgeführt sind alle durchgeführtenBrunnengrabungen in einer Gemeinde.Ergebnisse von Brunnengrabungen nach Wünschelrutenläufen und solchen, dieauf Grund anderer Kriterien durchgeführt wurden. Ort: Fence Lake, New Mexiko.Quelle: Larsen, Marx: An Introduction to Mathematical Statistics and its Applications,Prentice-Hall, 1981, S. 387.nach Wünschelrutenlauf nach anderen KriterienErfolgreich 24 25Nicht erfolgreich 5 7a) Wie müßte die Tabelle aussehen, wenn beide Merkmale unabhängig wären?b) Bestimmen Sie den Kontingenzkoeffizienten!Aufgabe 81: Rauchen und Gesundheit ZigarettenschachtelnAus den Ergebnissen einer Studie von Doll und Hill (1952) läßt sich folgende Tabelle generieren.W¤XTYZB[R\]5^3[XT_N`:]HaXT^3]l`:`:]5adm^3n=opXXT^3]l`:`:]5asm^3nuopX^:Ymmw]yxbdc;cfehgjiNkqrescNcfe7btgjiNk^:Ymmw]~}v ezT{ zT|ev z1z e7€7bQuelle: N.E. Breslow, N.E. Day (1987): Statistical methods in cancer research. InternationalAgtency for Research on Cancer, Lyon (Frankreich).Die Gruppe LG bestand aus 1357 Patienten mit Lungenkrankheiten. In der CG-Gruppe befandensich 1357 Patienten mit anderen als Lungenkrankheiten.Was lesen Sie aus den Daten?35

š †S›œ‘‡ƒ:„H… ž ˜ ¦T£ ¨ ˜ ž ˜ ¤¦ ¦ § Ÿ7¦ § ¡1 ¨ ˜ £ ¤Ÿ ¨ ˜ £ ž¨¦ž š †S›œ‘‡ƒ:„H…K¡T¦ ˜r ž § §7 Ÿ ¨ ¢¡ Ÿ¡7¦¥ § 7£ § ŸTR¡R ž ¨ £¨ž ¤Ÿ ŸTž ˜ ŸTž ˜ £ ˜ £ Ÿ¥ ¨ ¡ § ¨ ˜ ŸŸ¥ ž¡T¦~©¥ª¥„5…&«u„H‹…ž ¨7¨ ¨ Ÿ¡ § £ ¢¡ Ÿ1¨Ÿ ¡¬¨¨ ¨ ˜ ¡Tž § ¢¡¡7ŸTIch tu’ so gerne rauchen,recht lange noch Gott geb’sin Qualm die Lungen tauchendas freut den kleinen Krebs.Insterburg & Co.Aufgabe 82: Sterben im Alter die Raucher aus? Skript 2.7Zusammen mit dem einprozentigen Mikrozensus wurde die Berliner Bevölkerung im Altervon 16 und mehr Jahren im Mai 1967 über ihre Rauchgewohnheiten befragt. Als Rauchergalten dabei alle Personen, die täglich oder fast täglich rauchten. Die folgenden Angabensind dem Aufsatz ’Die Rauchgewohnheiten der Berliner Bevölkerung‘ in: Berliner Statistik,Heft 12, 22. Jahrgang, Dez. 1968, entnommen. Alle Ergebnisse des Mikrozensus wurden aufdie Berliner Bevölkerung hochgerechnet:Œ Ž ŠT‡‡„5… Œ …BŠT‘„5‡ Œ¤‚Nƒ:„H…¤†N‡‰ˆŠT‹…3„5‡Š7‘“B‹„5… ”¤†S“B‹ƒ3…3Š7‘“B‹„H… ’ ŠT‘“B‹„5… ”)†;“B‹ƒ3…3Š7‘“B‹„5… –•—’†S›œ‘‡ƒ:„H…)7ž Ÿ ˜ ž ¢¡ ˜ Ÿ7£ ¤Ÿ £Ÿ¥ ¤¦ ˜H§ ž § 7 ¦ ˜ ŸT¨ ¨ ¨ž ˜ ˜H=šš †S›œ‘‡ƒ:„H…¤¨¦ ˜ ¦7Ÿ¥ £ ˜ žž ¨ ¦7Ÿ¥ ¨ ˜ ¡T£ ¤¦ ˜ ˜ ˜7˜ ¡R ¨ 7 ˜7žDie Angaben sind in Tausend.a) Welche Merkmale wurden für die Erstellung der Tabelle herangezogen? Geben Sie dasjeweilige Meßniveau an.b) Stellen Sie die Kontingenztabelle für die Merkmale ’Alter‘ und ’Rauchereigenschaft‘auf.c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig herausgegriffene Berlinerinauch Raucherin ist?d) Ermitteln Sie für die Berlinerinnen die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pt A i ¦ Raucheru ,wobei A i die angegebenen Alterklassen sind.e) Betrachten Sie die Berliner Männer. Wie müßten die absoluten Zahlen aussehen, damitdas Merkmal ’Alter‘ vom Merkmal ’Rauchereigenschaft‘ unabhängig ist?Ein weiteres Ereignis der Untersuchung zeigt die folgende Tabelle, in der jeweils angegebenist, wie viele von 100 Personen einer bestimmten Kombination von Merkmalsausprägungentäglich Süßigkeiten verzehren bzw. Sport trieben:36

µ7º»B°H± ¼¤²S»B¯:±BµTº»B°5± ¹ µ7º»B°H± ¼¤²S»B¯:±BµTº»B°H±¹²SÀœº³¯:°H±)Á7 ÃTÄ Å ½ ÃT ÁýH¾=¿¿ ²SÀœº³¯:°H±¤ÅÆ Ã ¾ ÁÂ Ä ½ ÅÁ7¿ ²SÀœº³¯:°H± ¾  Ã7Æ ÁÄ Æ ÇÅÆ ¿ ²SÀœº³¯:°H±KÇTÆ ÃÇ ÁÁ ½ žÃTÁ Ã7Ä Â ½ÇTÆ~ȥɥ°5±&Êu°H±­¤®N¯:°H±¤²N³‰´µT±3°5³¸ µT³³°5± ·¸ µT³³°5± ·Die ersten beiden Spalten geben die Zahlen bezüglich der Süßigkeiten, die anderen bezüglichdes Sports wieder. Die ’28‘ in der ersten Zeile bedeutet z.B., daß von 100 rauchenden Männernder Altersklasse ’16 bis unter 30‘ 28 täglich Süßigkeiten konsumieren.f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig herausgegriffener Berliner im Altervon 30 bis unter 45 Jahren trotz seines Tabakkonsums noch eifriger Sportler ist?g) Geben Sie die Kontingenztabelle mit absoluten Häufigkeiten für die Merkmale ’Alter‘und ’Verzehr von Süßigkeiten‘ in bezug auf die Berliner Männer an.Aufgabe 83: Abschätzungen Skript 5.3a) Es sei X eine Zufallsvariable mit E § Xª ¡ a und Pt X Ë 0uá 0. Zeigen Sie, daß Pt X ­12gilt!2audËXª ¡ § ª ¡¡ t 1u Ë Ë 10u PtWr Ë PtWr Ë r 10ub) Für die stetig verteilte Zufallsvariable X gilt E 4 und E X 2 25. Ferner seiY43X . Treffen Sie eine Aussage über 2 X bzw. 2 Y !c) Die diskrete Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktionf t xuž¡ÌÍ¢Î18, x ¡ÐÏ 168, x ¡ 00 , sonst.Errechnen Sie Pt ¦ X r E § Xª ¦ ­ 2Ñ V § Xª u und vergleichen Sie diesen Wert mit der Obergrenze,die man auf Grund der Tschebyscheffschen Ungleichung erhält! Was schließenSie hieraus?Aufgabe 84: Frauen und Recht Skript 2.7.4Von den ordentlichen Gerichten wurden in einem Jahr in einem Land wegen Verbrechenund Vergehen 500 000 Männer und 100 000 Frauen angeklagt, verurteilt wurden 420 000 Angeklagte,darunter 50 000 Frauen; der Rest wurde freigesprochen.a) Stellen Sie die Zahlen in einer Tabelle dar und vervollständigen Sie diese.37

ðò ðï1í ðò ð7óïßÕÞ:ÙHàEïñð7ððåÓ;Ú ëôë7ëë ðò ðë7ó ðò ðì7õïñðð7ðåÓ;Ú ê5íÔë7ëë ðòNêê7ê ðò;êHððêrðpðð7ðåÓ;Ú ë7ëôë7ëë ðòNêr÷7ð ðò;êrï7ëê¬ïöðð7ðHü ¢¤£¥ §¦¨ ©úÔû;üý7þÿ=ÿ¡ ¨b) Wie müßten die Zahlen in der Tabelle aussehen, wenn die Merkmale stochastisch unabhängigvoneinander gewesen wären?c) Es lebten in dem Jahr 27 000 000 Frauen und 24 000 000 Männer in dem Land. Kannman annehmen, daß die Häufigkeit der Anklagen vom Geschlecht des Angeklagtenstochastisch unabhängig war?Aufgabe 85: Geschlecht und Arbeit Skript 2.7Für Zwecke eines Betriebsvergleichs wurden die 2000 Beschäftigten eines Betriebes nachfolgenden Gesichtspunkten aufgeteilt: Geschlecht (A 1 männlich, A ¡ 2 weiblich), Anstellungsverhältnis(B 1 Angestellter, B ¡ 2 Arbeiter), Fachausbildung (C ¡ 1 mit Fachausbil-¡¡dung, C 2 ungelernt oder angelernt).¡Dabei wurden folgende Zahlen nt ermittelt: A 1 1450, nt B uZ¡ 1 ¡ 200, nt C u 1 1700, nt A u^¡ 2 £B 2 400, nt A u£¡ 2 C £ 2 250, nt B už¡ 2 C £ 2 160, nt A už¡ 1 B £ 1 C £ 1 30. už¡a) Stellen Sie die Beschäftigtenstruktur des Betriebes in einer Tabelle dar.b) Wieviel Prozent der beschäftigten Frauen sind ungelernte Arbeiterinnen?c) Wieviel Prozent der Beschäftigten mit Fachausbildung sind Männer?d) Wieviel Prozent der Angestellten sind Männer?Aufgabe 86: Statistik und Politik Skript 2.7Politiker in den USA hielten sich viel auf ihre Steuerpolitik (natürlich eine für ihre jeweiligenWähler günstige) zugute. Die folgende Tabelle wurde gerne als Beweis herumgereicht:ÝÞ:ÙHßÙ5à3àBÜ1Þ:Ù ÝÞ:ÙHßÙ5à3à3ÜTÞ:ÙÒÔÓ;ÕÖ×7ØuØuÙ5ÕÚ:ÖRÛ;ÜÚ:Ú:ÙÕäÜTåjÙ5ÕæÓNÕèç=é êHëì1í êrëìTîáãâêHððpðð7ð ßÕødØ=ÙHùà ðò óîTí ðò ó7îóWie groß war jeweils die Verblüffung, wenn jemand aus der folgenden Tabelle ermittelte,daß die Steuerrate von 0.141 im Jahre 1974 auf 0.152 im Jahre 1978 gestiegen war. ¤! "¡#$38

*,+.-¨/01¡1¡2§-435/6.735352-¨;¤7+?-A@B *,+.-¨/01¡12- C¤D52Ë 2§F *,+.-¨/011¡2- C¤D52Ë 2§F8:9-¤D52FHGJIII (4%LK G %MK(¤N O,O((J(K' %&P)'&JKOO K)&PN¨%")Ë

}|~¤5€5~4€§‚¨ƒ¡€§~>„5…¨†4†¨‡?€{o~4ˆ‰Š‚‡.‚¨¥€§ƒŒ‹"¤Ž’‘b€§“o‡.~¨~~¨•"ˆ‚¨– ‹"— ‹"¤Ž”¨š ›¨š ˜4š œ ŽRš ‹‹‹"›¨š ‹›Ršx‹—‹"¨š › ‹Žšx‹‹›4š ››Ršx˜‹"›¨š ‹›Ršx˜—ž¨²"¨¢¨³ ª"«¬­ ª"«¤´­±¨· ¸ ¸¹· µ´ · » ´ · »ºª ¨· » ª R·x»¸ª´ · » ª´ ·x»º¨· » ­ · ºµGeflissentlich an Herrn K.B. Weh (1,85 m, 95 kg) gewandt, stellt Herr Eifrig nun folgendeTabelle auf:Man sähe deutlich, daß die Firmen, die 1960 einen unterdurchschnittlichen Gewinn gemachthätten, 1970 noch schlechter abgeschnitten hätten, während die damals bereits überdurchschnittlicherfolgreichen 1970 noch besser abgeschnitten hätten . – Triumphierend erhob sichHerr K.B. Weh, um etwas gegen das viele getrunkene Bier zu tun. Herr R.C. Des bestelltenoch noch zwei Klare und Bier und sah bald erfreut auf die von Herrn Eifrig produzierte,neue Tabelle:|ž¤Ÿ5 ¡5ž4 §¢¨£¡ §ž>¤¡5¥¨¦4¦¨§? ¡{Ÿož4¨©Š¢§.¢¨¡¥ §£Œª"«¬­®’¯b §°o§.ž¨ž¸ ¬ ª ¨· » ª R·x»Man könne klar erkennen – so Herr Eifrig –, daß die Firmen, die 1960 unterdurchschnittlichabgeschlossen hätten, sich 1970 verbessert hätten, während umgekehr die 1960 überdurchschnittlicherfolgreichen Unternehmen 1970 Einbußen erlitten. Es gleichen sich dieGegensätze eben aus – wie es Herr R.C. Des ja schon immer gesagt habe.Nach Herrn K.B. Weh’s Rückkehr wurde es sehr laut. Dann schlich Herr Eifrig, die Resteseiner Brille in der Hand, traurig nach Hause. Wieder einmal hatte man sich (ohne ihn) aufden kleinsten Nenner geeinigt, Statistik ist . . . .Nachdem Sie ein Wort Ihrer Wahl eingesetzt haben, denken Sie doch über den in dieser Aufgabedargestellten Sachverhalt nach und versuchen Sie eine Erklärung des merkwürdigenstatistischen Phänomens.Aufgabe 88: Statistik und BWL Skript 4.6; 5.4Eine Unternehmung stellt für die Dauer von 3 Jahren wöchentlich die Produktion X und dieKosten Y fest und erhält folgendes Ergebnis:40

ϤÅÂ’Ä¥Í Ï¤ÅÂ’Ä¥Í ÏÅÂ’Ä5Í Ï¤ÅÂ’Ä¥Í ÏÅÂ’Ä¥Í Ï¤ÅÂ’Ä¥Í Ï¤ÅÂ’Ä¥ÍÑÒÅÂÆÉ ÆÊ Æ"Æ ËÇ ËÈ ËÚÆÈÚ Ø¤ÑÒÁ,ϤÅÂ’Ä¥Í ÓÝÈ Ó Þ Þ ÓÓ Æ Ó ÛÚÓÓ"ÜؤÑÒÁ,ϤÅÂ’Ä¥Í ÓÝÈÜ Ú Ó Ó"Ó È§Ç ÓÔÊ È ÚÇÓÔȽ¿¾oÀ"ÁÃ’ĥŠÆ"Ç ÆÈ Æ§É Æ"Ê ÆÆ Ë"Ç ËȼÓÔÇ"ÇÇÖÕ|× ØÑÒÁ ؤÑÒÁ ؤÑÒÁ ØÑiÁ ؤÑÒÁ ؤÑÒÁ ØÑiÁ ÙÌLÍ’ÀÎÏÐÂ’ÑÒÀÅؤÑÒÁ,ϤÅÂ’Ä¥Í Ó"Ó Ó È ÛÓŠÇؤÑÒÁ,ϤÅÂ’Ä¥Í Ó"Ó"Ü Ú Ó Û Ê Û Ó ÓŠÉÓÓÚ Ø¤ÑÒÁ,ϤÅÂ’Ä¥Í ÓÔÛ Ó Þ Ó¥É Ó"Ó Ú Û"ÆÓÔÈÜؤÑÒÁ,ϤÅÂ’Ä¥Í ÓŠÉ Ó Ó É ÓÔÇ ÓÔÊÓŠÛÙ È Ê ÓÔÚ ÈË ÉÞ Û"Ë ÓÔÆ ÓÔÚÊa) Wie groß war der Anteil der Wochen, in denen die Unternehmung weniger als 12.1 tproduzierte und mehr als 88 500 DM Kosten hatte?b) Mit welchen Durchschnittskosten ist eine wöchentliche Produktion mit einem Volumenzwischen 12 und 12.5 t zu fahren?c) Ist die Standardabweichung der Kosten in Wochen mit einem Produktionsvolumenzwischen 12 und 12.5 t größer als die der Kosten in Wochen mit einem Produktionsvolumenzwischen 12.5 und 13 t?d) Ermitteln Sie für die einzelnen Kostengrößenklassen das arithmetische Mittel der Produktionund stellen Sie Ihr Ergebnis graphisch dar, indem Sie diese Mittel gegen dieKlassenmitten auftragen.e) Ermitteln Sie für die einzelnen Produktionsgrößenklassen das arithmetische Mittel derKosten und stellen Sie Ihr Ergebnis graphisch dar.f) Von welchem sachlichen Wert könnten die Ergebnisse d) und e) für Sie als Firmenchefsein?e) Die ersten 10 Beobachtungspaare der Urliste sind glücklicherweise erhalten geblieben:X 10.6 12.2 13.5 11.9 12.3 12.7 11.2 13.9 12.6 11.7Y 83.5 86.8 94 89.5 88.7 90.5 84.7 91 88.4 84.2Ermitteln Sie aus diesen Angaben die Stichprobenkovarianz und den Stichprobenkorrelationskoeffizienten!f) Wie müßte man vorgehen (evtl. Modifikation der Formeln), um diese beiden Größenaus der angegebenen Korrelationstabelle zu ermitteln?Die Mathematisierung hat in einem Unternehmen vor allem den Vorzug, daß man sichviel genauer irren kann.41

ìßá â ã äàå¨æ åá å4æ å¤ç å¨æ.àå å4æ?àá å¨æxáèàå¨æ åé å4æ åé å¨æ åê å4æ åë å¨æxáëáå¨æ å¤ë å4æ åé å¨æ åé å4æ å¤á å¨æxáRàâå¨æ å¤ë å4æ åè å¨æ åç å4æ å¤á å¨æxáâãAufgabe 89: Formeln suchen und anwenden Skript 5.4Gegeben sei die folgende Tabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion des diskreten Zufallsvektorst X, Yu :ä å¨æxáá å4æ áé å¨æxáè å4æ áâ àæ ååa) Bestimmen Sie E § Xª , E § Yª , V § Xª , V § Yª !b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von t X, Yu !c) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von t Y ¦ X ¡ 4u bzw. t X ¦ Y × 2u !d) Bestimmen Sie Covt X, Yu und ρt X, Yu !Wie die Drosophila das Haustier der Genetik, so ist die Normalverteilung dasSchoßhündchen der StatistikAufgabe 90: Alles normal? SkriptEine Reifenfirma untersucht die Lebensdauer eines neu entwickelten Reifens. Dabei zeigtsich, daß die ermittelte Lebensdauer der Reifen gut durch eine Normalverteilung mit denParametern µ ¡ 36 000 km und σ ¡ 4 000 km angenähert werden kann.a) Welche Lebensdauer wird von 95 % der Reifen nicht überschritten?b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufällig ausgewählter Reifen mehrals 28 000 km hält?c) Berechnen Sie das kürzeste Schwankungsintervall, in das 95 % der Reifen fallen.d) Die Firma ist in der Lage, den Herstellungsprozeß der Reifen so zu steuern, daß ¡ µ36 000 km konstant bleibt, aber die Standardabweichung σ veränderbar ist. Die Firmawill den Abnehmern eine Lebensdauer von mindestens 30 000 km garantieren; Reifenvon geringerer Lebensdauer will sie kostenlos umtauschen. Die Firma hat sichausgerechnet, daß es für sie tragbar ist, wenn im Durchschnitt 2.28 % der Reifen dieseMindestlebensdauer‘ unterschreiten. Mit welcher Standardabweichung σ muß der’Produktionsprozeß ablaufen, damit nicht höhere Umtauschforderungen an die Firmaherangetragen werden?42

Aufgabe 91: Formale Fingerübungen Skript 6.X sei normalverteilt mit µ ¡ 10 und σ ¡ 2.Bestimmen Sie F(12.5), F(8.7), F(10), F(10.89).Bestimmen Sie x, wenn Φt zuE¡ .9940, Φt zuE¡ .1515, Φt zuE¡ .5060.Statistik ist wie ein Bikini: Sie zeigt das Meiste und verhüllt das Wesentliche.Aufgabe 92: Formale Fingerübungen Skript 6.Ermitteln Sie für die Binomialverteilung mit den Parametern n und p die folgenden Werte:f t 0.5; n, pu , Ft 0.5; n, pu , Pt X × 6u , Pt X ¬ 5u , Pt 3 Ë X Ë 8u .Setzen Sie dabeia) n = 10 p = 0.3b) n = 12 p = 0.6 .Aufgabe 93: Achtung, fliegende Untertassen Skript 6.10 % aller Teller, die eine Porzellanmanufaktur herstellt, sind unbrauchbar. Ein Abnehmererhält eine Lieferung von 10 Tellern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich unterdiesen 10 Tellernbrauchbare Teller befinden?genau 6 mehr als 6höchstens 6 weniger als 6mindestens 6If there is a 50-50 chance that something can go wrong, then 9 times out of 10 it will.Paul Harvey News Fall (1979)Aufgabe 94: Achtung schwer! LösungenErmitteln Sie den Anteil der Aufgaben dieser Aufgabensammlung, der nicht lösbar ist!43

Aufgabe 95: Bin ich Ihnen normal genug, fragte die Normalverteilung Skript 6.6Überprüfen Sie die Güte der Approximation durch eine Normalverteilung für die Binomialverteilungmit n ¡ 20 und p ¡ 0.7. Verwenden Sie dazu die Methode des ’scharfen Hinsehens‘.Stellen Sie dazu die exakten und approximierenden Werte tabellarisch nebeneinander!Auch eine graphische Veranschaulichung könnte hilfreich sein.Aufgabe 96: Approximation der Realität: Wahlen und Statistik Binomialí NormalEin neuer Vorsitzender muß gewählt werden. Zur Verfügung stehen Herr Apfel und HerrBirne. Um keine Überraschung zu erleben, soll mittels einer repräsentativen Stichprobe dieVolksmeinung erkundet werden. Dazu werden vorher einige Gedanken angestellt.a) Angenommen 60 % des Volkes sind für Herrn Apfel (d.h. 40 % für Herrn Birne) undes werde eine Stichprobe vom Umfang 10 gezogen, welche Verteilung ergibt sich fürdie Birnen-Wähler in der Stichprobe? Machen Sie sich ein Bild!b) Was ändert sich, wenn 1000 Personen befragt werden?c) Was ändert sich, wenn das Volk unentschieden ist?d) Was für eine Stichprobe würden Sie ziehen?e) Diskutieren Sie Probleme, die in der Realität berücksichtigt werden müssen!Es gibt Lügen, gemeine Lügen und die Statistik.D’IsraeliAufgabe 97: Approximation Skript 6.6Es ist bekannt, daß 0,005 % einer Bevölkerungsgruppe jährlich durch einen gewissen Unfallgetötet wird. Bei einer Versicherung sind 10.000 Personen aus der genannten Gruppe gegendiesen Unfall versichert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einem gegebenen Jahrmehr als drei dieser Versicherten durch den genannten Unfall umkommen? Wie gut ist dieApproximation durch die Normalverteilung?An approximate answer to the right problem is worth a good deal more than an exactanswer to an approximate problem.J.W. Tukey44

Aufgabe 98: Ist das normal? Statistischer SachverstandDie folgende Zuschrift wurde in einer Lebensberatungskolumne in einer Zeitung in denUSA abgedruckt:Dear Abby: Du hast geschrieben, daß eine Frau 266 Tage lang schwanger ist. Ichhabe mein Baby nach zehn Monaten und fünf Tagen geboren, und daran gibt eskeinen Zweifel, denn ich erinnere mich an das Zugangsdatum sehr genau. MeinEhegatte ist bei der Flotte, und ich habe ihn damals nur eine Stunde lang gesehen.Während meiner gesamten Schwangerschaft haben wir uns nicht getroffen.Ich trinke nicht, bin auch sonst sehr zuverlässig, und es ist ganz unmöglich, daßdas Kind nicht von ihm ist. Bitte drucke eine Berichtigung Deiner Behauptung ab,daß eine Schwangerschaft 266 Tage dauert, denn sonst bekomme ich viel Ärger.a) Wie kann Abby helfen?b) Es stellt sich die Frage, ab wann der Ärger berechtigt ist. Vielleicht hilft der Hinweis,daß an dem vorbestimmten Geburtsdatum nur ca. 5 % der Geburten eintreten, 30 %der verbleibenden vor dem Datum geboren werden und außerdem von den anderen70 % ca. 90 % innerhalb der ersten 10 Tage nach dem berechneten Datum auf die Weltkommen.Aufgabe 99: normale Verschmutzung Skript 6.2An einem Fluß wird täglich der Quecksilberanteil des Wassers gemessen. Zahlreiche Untersuchungenhaben ergeben, daß der Quecksilberanteil des Wassers an Werktagen annäherndnormalverteilt ist mit µ ¡ 25 ppm und σ ¡ 5 ppm (ppm = parts per million = 0.0001 %).a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß an einem Werktag– mehr als 32.5 ppm,– höchstens 25 ppm,– zwischen 22.5 ppm und 30 ppm gemessen werden?b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Quecksilberanteil in das dreifache zentraleSchwankungsintervall fällt?c) Geben Sie die Grenzen des zentralen Intervalls an, in das der Quecksilberanteil mit derWahrscheinlichkeit 0.6827 fällt!d) Um die Bevölkerung zu beruhigen, will die zuständige Behörde einen kritischen Wertx definieren, derart, daß dieser Wert nur an zwei der Werktage überschritten wird.Die Behörde erklärt, daß der Zustand des Wassers unbedenklich ist, solange dieserkritische Wert nicht überschritten wird. Wie groß muß x gewählt werden?45

¢¢ >¢ >UP¢ UPUòóô5óÝõ5ö÷?øúùŠð¨óñ¥ü¨ý4þR÷úïòó ûÿPóñ#"ó§ð¨ñoþRó"ô ó§ñ¥ó§ø.ý¨ø?òõ5óý ôPóñ¥ô¥ùŠð¨ø.óþRóý¨ó§ ñ¥þRýü¨ý4òó§ý PóñþRóñ(¨¤õ5ñŠïó§ý@¢ó§ñ"ó§ð4ñ¥ô5ü¨ý@¢ ó"ô{ó§õ5öÖö§ü¨ñ ûü¨ð@¢ ?Hü¨ñŠùŠð@¥ñ¥ü¨ý¨ò¡ó§ø.ý¨óñ¨¤õ¥ñ¥ïóý@¢h ý4þRó§ñ¥ü¨ý¨ò¤ô£¢ ¥òóô5óÝõ5öÿ'HïùŠð©Xóø.ô5ü¨ý¨òþRóñ(¨¤õ5ñŠïó§ýó§ñ"ó§ð4ñ¥ô¢ ï÷.÷?ó ü¨ý¥¨¤õŠïõ¥ø.ô{õ5øúô5ùŠð4óô¨÷úïõ5õ Bsó÷.þ¨ó&óø?ý¨ó"ô óñ¢ ¨¤õ¥ñ¥ïóý§ ÷.ø?öó§ø.÷?øúùŠð¨óý ¤ý@ ï÷.÷.ïü@3¢ óÝõ¦¥ § õ5ó§õ5ó ¨RùŠð©Xóñ¢ûóñ5÷.óÝõ¥öÝõ5ó b : 6!J!7c4%6&Y : - : -- C6#)%-@E : -GF DH

2 Arbeitsmaterial: Acid precipitation in NorwayDie folgenden Tabellen zeigen Daten aus einer Studie über norwegische Seen.1976pH SO 4 NO 3 Ca4.32 4.8 290 0.524.97 7.4 290 2.034.58 3.7 160 0.664.72 2.7 180 0.594.53 3.8 170 0.514.96 8.4 380 2.225.31 1.6 50 0.535.42 2.5 320 0.694.87 7.6 130 2.225.87 1.6 90 0.786.27 1.5 10 1.156.67 1.4 20 2.475.38 5.8 50 2.105.60 4.0 30 1.864.93 5.1 70 1.455.97 5.1 60 2.196.23 1.5 50 1.566.15 2.8 100 2.004.82 3.0 100 0.445.42 0.7 40 0.325.31 2.1 20 0.695.99 1.9 10 0.694.88 1.6 140 0.364.85 5.5 90 1.705.97 1.6 60 0.836.05 5.8 50 2.916.43 1.4 30 1.446.29 1.6 40 1.735.64 2.2 40 1.18197747

pH SO 4 NO 3 Ca19784.23 6.50 570 .624.74 7.60 410 1.954.55 4.20 390 .524.81 2.70 170 .504.70 3.70 120 .465.35 9.10 590 2.885.14 2.60 100 .665.15 2.70 130 .624.76 9.10 130 2.285.95 2.40 120 1.046.28 1.30 20 .976.44 1.60 30 1.145.32 6.20 120 2.206.10 3.90 50 2.244.94 5.70 110 1.566.02 5.80 130 2.286.34 1.50 60 1.536.23 1.70 30 .964.77 1.90 150 .364.82 1.80 360 .555.77 1.90 90 .576.10 1.90 40 .764.99 1.50 130 .224.65 5.90 140 1.655.82 1.60 190 .915.97 6.90 100 2.796.37 1.00 80 1.116.79 1.40 40 2.395.70 2.30 40 .9348

pH SO 4 NO 3 Ca4.40 4.6 295 0.554.98 6.8 180 1.954.57 3.3 200 0.444.83 2.3 60 0.434.64 3.6 170 0.495.54 8.8 350 2.674.91 1.8 60 0.475.23 2.8 130 0.664.87 9.6 125 2.305.59 2.6 185 1.056.17 1.9 15 1.146.28 1.8 10 1.185.33 5.9 45 1.945.57 4.9 165 2.254.91 5.4 80 1.445.71 5.0 50 2.066.20 1.4 20 1.866.07 1.9 15 2.045.09 1.5 100 0.415.34 1.5 60 0.585.60 1.3 20 0.665.99 1.5 10 0.804.86 1.7 165 0.334.77 5.7 150 1.655.90 1.4 65 0.965.78 5.9 70 2.646.40 0.6 20 0.706.48 1.0 80 1.475.77 2.2 25 1.16198149

pH SO 4 NO 3 Ca4.49 3.60 220 0.475.21 5.60 120 1.644.69 2.90 110 0.514.90 2.10 70 0.394.54 3.80 200 0.455.75 8.70 370 2.525.43 1.50 50 0.675.19 2.90 160 0.664.90 7.60 120 1.876.02 2.00 60 0.786.25 1.70 10 1.046.67 1.80 10 2.345.21 5.40 50 1.795.98 4.30 60 2.184.93 4.30 70 1.265.67 4.20 50 1.856.29 1.60 40 1.545.68 1.80 200 2.685.45 1.70 100 0.325.54 1.50 50 0.485.55 1.60 10 0.646.13 1.70 10 0.664.92 1.90 130 0.254.84 4.80 160 1.306.17 1.80 40 0.895.75 5.80 50 1.245.98 2.00 10 1.166.72 2.00 30 2.675.29 2.10 10 0.7950

3 Arbeitsmaterial: Einige exploratorische VorschlägeIn diesem Anhang sind einige Begriffe und Verfahren aus dem Gebiet der exploratorischenDatenanalyse zusammengestellt. Sie sind für eine erste Inspektion eines Datensatzes gedacht.Tiefe eines Datenwertes: Die kürzeste Entfernung eines Wertes der Rangwertreihe vom Randheißt Tiefe (n steht für Anzahl der Werte):Tiefe von x¨ i© :¡ minÿ i, n r i ¥ 1 ¡Tiefe des Medians: Folglich ist die Tiefe des Medians — dt Mu — gegeben durch:dt Mu£¡ nm 12 .Angeln oder Hinge: Durch den Median wird die Rangwertreihe x¨ 1© . . . x¨ n© bekanntlich inzwei Teile geteilt. Die Angeln — die untere Angel und die obere Angel — markieren die Mittender entstandenen Datenhälften. Sie werden gefunden mit Hilfe ihrer Tiefe dt Hu . Dieseberechnet man durch:n:¡ d¨ M©poqm 12dt HuHierbei bedeutet [x] ganzzahliger Anteil von x — Gauß-Klammern.Hu Ist ganzzahlig, so erhält man die Angeln x¨ d¨ H©© durch x¨ nm 1« d¨ H©© und . dt Hu Ist nichtdtganzzahlig, so erhält man die Angeln durch Mittelung:t x¨ nd¨ H©po © ¥ x¨ nd¨ H©poqm 1© uu¥12 bzw. t x¨ nm 1«d¨ H©doÌ© ¥ x¨ n1« nmnd¨ H©do « 1© uu¥Letter values: Weitere Zusammenfassende Größen — Letter values — erhält man durch Wiederholungder Konstruktionsprinzipien:Tiefe der eighths dt Eu :¡d¨ n1 H©do3m2lower eighth x¨ d¨ E©© bzw. t x¨ nd¨ E©poÌ© ¥ x¨ nd¨ E©poqm 1© uh¥12upper eighth x¨ nm 1« d¨ E©© bzw. t x¨ nm 1«nd¨ E©po « 1© uu¥12.12 .d¨ n© ¥ x¨ nm 1«E©poþþBþEs hat sich eingebürgert, für diese Letter values die Buchstaben M, H, E, D, C, B, A, Z, X, Y,. . . zu verwenden.Midsummary: Bis auf die dt Mu Tiefe erhält man zu jeder Tiefe der ausgezeichneten Tiefenfolgezwei Letter values. Als Midsummary (abgekürzt midX, wenn X das Letter - Symbol ist)bezeichnet man den Mittelwert der beiden Letter values.Spread: Die (positive) Differenz eines Paares von Letter Values bezeichnet man als Spread.Ist X das Letter-Symbol, so schreibt man auch gerne X-spread.Angelabstand: Die Differenz zwischen oberer und unterer Angel heißt Angelabstand: H-spread.Range: siehe Spannweite, Spread zur Tiefe 1.Midrange: Midsummary zur Tiefe 1.Box and whisker plot: Folgende zusammenfassende graphische Darstellung der fünf Größen:t x¨ 1© u Minimum , t x¨ n© u Maximum , t ˜xu Median und den beiden Angeln heißt Box and whiskerplot:51

Š‰ryz{=|}&~}€({}¡‚rsutvƒ„X}&~}€({}¡‚rws5xvBisweilen werden etwas abweichende Definitionen für die Konstruktion von Box-Plots verwendet.Deshalb aufgepaßt!Schritt: Das Produkt aus Faktor und Angelabstand bezeichnet man als Schritt: ¡ Schritt FaktorAngelabstand. Faktor ist dabei eine vom Anwender festzulegende Zahl größer Null. In der¥Regel wird als Faktor 1.5 gewählt.Innerer Zaun: Der innere Zaun ist definiert durchf 1 = untere r Angel Schrittf 2 = obere Angel + SchrittÄußerer Zaun: Der äußere Zaun ist definiert durchF 1 = untere Angel r 2 ¥ SchrittF 2 = obere Angel + 2 ¥ Schrittbenachbart: Die kleinste und die größte Beobachtung innerhalb (Grenzen eingeschlossen)des inneren Zaunes heißen benachbart.außerhalb: nennt man alle Beobachtungen, die zwischen dem inneren und äußeren Zaun liegen:alle x i mit F 1 Ë x i ¬ f 1 bzw. f 2 ¬ x i Ë F 2 heißen außerhalb.weit außerhalb: Beobachtungen, die außerhalb des äußeren Zaunes liegen, heißen weit außerhalb.Schematic plot: Folgende zusammenfassende graphische Darstellung der benachbarten Beobachtungen,des Medians, der Angeln sowie der außerhalb und der weit außerhalb liegendenWerte heißt Schematic plot (als Faktor wurde 0.75 gewählt):‹XŒ&`Ž!‹GŽ‘#’#Œ”“•Œ&–‹GŽ!=’—˜Œ¡›šŒ&‘#’;Ÿ Œ ¡V’(Ž—¢Œ¡‘#GŽ5‹žŒ&‘#’(Ž—¢Œ&‘GŽA‹ žš › š…%‡ ˆ ‡—=’Œ&‘Œ–‹`Œ¡‘#Œ…†œ G˜Œ&œ G˜Œ&52

¯_­&®#°#­±£¥¤;¦;§¨0©ª«w¬­&®¤;³µ´5­&q­”¬@­¡·;¸¹­¡¬@ú©§G·¡± ¤;¸º­¡¬Á©§w±²¤;³µ´5­&q­”¬@­&®;¦(§¼­¡«5§w± ¤ ½§=°#­&®­”¦;§¼­&«p± ¤ ¾¿X­&®­¦(§¼­¡«À±»¤;¸ºÁ§ÁÂýÂı ¤;¸¹©Å@´5½ÂıÁÑ_Ï&Ð#Ò#ÏÓÆ¥Ç;È;ÉÊ0ËÌÍwÎÏ&ÐÇ;ÕµÖ5Ï&×qÏ”Î@Ï¡Ø;ٹϡÎ@ÖuËÉGØ¡Ó Ç;ٹϡÎ@ÖuËÉwÓÔþþ5-Zahlen-Zusammenfassung: Die 5-Zahlen-Zusammenfassung ist eine tabellarische Zusammenfassungvon Median, Angeln und Extremwerten:Letter value display: Tabellarische Zusammenfassung einiger der oben eingeführten Größenfür einen Datensatz in der Form:Ç;ÕµÖ5Ï&×qÏ”Î@Ï&Ð;È(ÉÛÏ¡Í5ÉwÓ Ç ÜÉ=Ò#Ï&ÐÏ”È;ÉÛÏ&ÍpÓÝÇ Þß`Ï¡Ð#Ï”È(ÉÛÏ¡ÍÀÓ Ç àáÖuÎÄâTÓãÇ;â;äcåæGÐ#Ï0ËÎçÓÚÇ;ÕµÖ5Ï&×qÏ”Î@Ï&Ð;éêÖ5ÛÌÒÌGØ¡Ó Ç ÍAÞ%ë Ï¡Ð éìÖAÛÌ=Ò#ÌwÓÇ ÜææXÏ&Ð;éêÖ5ÛÌÒÌwÓ Ç àíÖuÎîé(ÓïÇ;éðä£åæÐÏ¡ËÎçÓèñ&ñ&ñ ñ&ñ¡ñ ñ&ñ¡ñ ñ¡ñ&ññ&ñ¡ñÇ;ÙºÖAÉÖAàÃÜàÄÓ Ç;Ù¹Ëó@Ö5àÜàÄÓ Ç àíÖAÎ ò ÓºÇ(åæ`ËÉÉë•Ï&Ö5Ò#ÏÓò4 Arbeitsmaterial: Einige kombinatorische FormelnPaarbildungen: Mit m Elementen a 1 , . . . , a m und n Elementen b 1 , . . . , b n kann man m n Paaret a i , b j u bilden, die genau ein Element aus jeder Gruppe enthalten.Verallgemeinerung: Sind k Gruppen gegeben, wobei r die j te Gruppe aus den n j Elemen-n 2 . . . n k Tupel ô a 1i1 , a 2i2 , . . . , a kik õ bilden, dieþ þgenau ein Element aus jeder Gruppe enthalten.ten a j1 , . . . , a jnj besteht, so lassen sich n 1þGeordnete Auswahl: Eine Population habe n unterscheidbare Elemente a 1 , . . . , a n . Eine Stichprobe(geordnete Auswahl) vom Umfang k ist dann durch a i1 , . . . , a ik mit i j 1, . . . , n gegeben.Es steht dabei fest, wer zuerst (a i1 ), als zweiter (a i2 ) usw. gezogen wurde. Die Anzahl¡ö ÿder verschiedenen derartigen Stichproben ist:n kt nu k ¡n þt n r 1u. . . þt n r k ¥ 1u beim Auswählen ohne Zurücklegenbeim Auswählen mit Zurücklegen.Ist k ¡n, so ergibt sich für die Auswahl ohne Zurücklegent nu k ¡n þt n r 1u. . . þ2 þ1 ¡ n!Da jede dieser Stichproben eine Umordnung (Permutation) der Elemente a 1 , . . . , a n ist, giltderSatz: Es gibt n! verschiedene Anordnungen von n verschiedenen Dingen.Teilpopulationen: Berücksichtigt man bei einer Stichprobe (Auswahl) ohne Zurücklegendie Anordnung nicht, dann spricht man auch von einer Teilpopulation.53

!¥!2 n ¡!!¡!nverschiedene Teilpopulationen vom Umfang k in einer Populati-Satz: Es ÷ gibtøúù kon von n Elementen.nu k tk!Einige Erkenntnisse zum Binomialkoeffizienten:ni "ni ¥ 1"n ¥ 1i ¥ 1 "(5)n∑i¢ 0ni "a i b n« i (6)t a ¥ bu n¡n∑i¢ 0n" i(7)r ¡ ¥ t r kuEine Teilpopulation vom Umfang k entspricht einer Aufteilung der Population vom Umfangn in zwei Teile des Umfanges k und n k mit n k n . Betrachtet man die Darstellungvon n alsn ¡ r 1 ¥ . . . ¥ r kso kann man damit die Interpretation einer Zerlegung einer Population vom Umfang n in kTeile des Umfanges r 1 , . . . , r k verbinden.n!Satz: Es gibtr 1 ! ... r k !verschiedene Aufteilungen einer Population vom Umfang n in Teilpopulationendes Umfanges r 1 , . . . , r k .Satz: Seien r und n gegeben, dann gibt ÷ esder Formrr 1 n¥ø rverschiedene Darstellungen von r inr ¡ r 1 ¥ . . . ¥ r n mit r i ­ 0.54