201 - Österreichische Mathematische Gesellschaft

R. Crandall, C. Pomerance: Prime Numbers. A Computational Perspective. Second
Edition. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005, XV+597 S. ISBN
0-387-25282-7 H/b 54,95.
Dieses Buch, geschrieben von zwei weltbekannten Mathematikern, betrachtet –
wie der Name schon sagt – das weite Gebiet der Primzahlen, vor allem aus computationeller
und algorithmischer, aber auch aus zahlentheoretischer Sicht.
Im ersten Viertel des Buches wird zum einen eine allgemeinen Einführung in
Primzahlen (z.B. spezielle Arten von Primzahlen) und die wichtigsten Sätze und
Vermutungen dazu gegeben, zum anderen werden die im weiteren Verlauf des
Buches benötigten Grundlagen aus der Zahlentheorie dargestellt, wie etwa die
modulare und polynomielle Arithmetik usw.
Nach einer Klassifizierung von Primzahlen und Pseudoprimzahlen und den zugehörigen
Algorithmen und Sätzen, wie etwa diverse Siebmethoden, werden die
wichtigsten Methoden zum Beweis der Primalität vorgestellt.
Die nächsten beiden Kapitel betrachten exponentielle und subexponentielle Faktorisierungsalgorithmen.
Nach einem Kapitel über elliptische Kurven und deren
Anwendung zum Beweis von Primalität folgt schließlich ein Streifzug durch die
verschiedenen Anwendungsgebiete der Primzahlen: Von der Kryptografie, über
Zufallszahlen, Quasi-Monte Carlo-Methoden, diophantische Analysis bis hin zu
Quantencomputern und -algorithmen wird die Relevanz der Theorie der Primzahlen
beispielhaft veranschaulicht. Zum Abschluss des Buches findet sich schließlich
noch ein Kapitel über effiziente Algorithmen für die Arithmetik mit großen
ganzen Zahlen.
Neben dem sehr gut geschriebenen Text zur Theorie gibt es zu jedem Abschnitt
zahllose Übungsaufgaben, die an ’
normale‘ Studenten gerichtet sind, sowie
zusätzlich etliche Forschungsaufgaben von noch nicht gelösten Problemen
zum jeweiligen Abschnitt. Außerdem sind die im Buch als Pseudocode vorgestellten
Algorithmen als Mathematica-Paket ‘Prime Kit’ auf der Homepage der
von Crandall gegründeten Firma Perfectly Scientific Inc. zum Download verfügbar
(http://www.perfsci.com/).
R. Kainhofer (Wien)
M. D. Fried, M. Jarden: Field Arithmetic. Second Edition. Revised and Enlarged
by M. Jarden. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Vol. 11,
3. Folge). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005, XXIII+780 S. ISBN
3-540-22811-X H/b 149,95.
Die im Jahre 1986 erschienene ersten Auflage des Buches ist zu einer Standardreferenz
in diesem Bereich der Körpertheorie geworden. M. Jarden hat nun eine
revidierte und stark erweiterte zweite Auflage vorgelegt, die der Entwicklung der
letzten 20 Jahre Rechnung tragen soll.
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