RC-Schaltkreise
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Mathias Arbeiter 06. April 2006<br />
Betreuer: Herr Bojarski<br />
<strong>RC</strong>L - Netzwerke<br />
Einführung in das Verhalten passiver Wechselstromnetzwerke
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Tiefpassfilter - <strong>RC</strong>-Schaltkreis 3<br />
1.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.1 Tiefpassfilter - <strong>RC</strong>-Schaltkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2 Charakteristika des <strong>RC</strong>-<strong>Schaltkreise</strong>s: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2.1 Durchführung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2.2 Berechnungen/Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2.3 Ergebnisse/Auswertung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.3 Zeitkonstante τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.3.1 Durchführung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.3.2 Berechnungen/Vorbetrachtungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.3.3 Ergebnisse/Auswertung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2 Kompensierter Spannungsteiler 6<br />
2.1 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.1.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.1.2 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.1.3 Ergebnisse/Auswertung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.2 Fourierspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2.1 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2.2 Ergebnisse/Auswertung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
3 Wien-Brücke 10<br />
3.1 Vorbetrachtungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
3.2 Durchführung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3.3 Berechnungen/Vorüberlegungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3.4 Ergebnisse/Auswertung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.4.1 Phasenverschiebung ϕ = 0 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.4.2 Phasenverschiebung ϕ = +47.29 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
3.4.3 Phasenverschiebung ϕ = −45 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
3.5 Vergleich der drei Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 Tiefpassfilter - <strong>RC</strong>-Schaltkreis<br />
1.1 Theorie<br />
1.1.1 Tiefpassfilter - <strong>RC</strong>-Schaltkreis<br />
Ein Tiefpassfilter setzt sich aus einer Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand zusammen:<br />
Abbildung 1: <strong>RC</strong>-Schaltkreis<br />
Sei im Folgenden:<br />
U a = Ausgangsspannung<br />
U e = Eingangsspannung<br />
U R = Spannung am Widerstand<br />
U C = Spannung am Kondensator<br />
Dabei gelten folgende Zusammenhänge:<br />
U a = U C<br />
U R = U e − U a<br />
1.2 Charakteristika des <strong>RC</strong>-<strong>Schaltkreise</strong>s:<br />
1.2.1 Durchführung:<br />
• Schaltung gemäß Abb. 1 aufbauen<br />
• Kapazität, Widerstand und Frequenz gemäß Bedingung (1) einstellen<br />
• mithilfe des Oszilloskops kann über die ±-Taste eine zusätzliche Funktion angezeigt werden, die die<br />
Ausgangsspannung von der Eingangsspannung abzieht<br />
• für die Zeitkonstante wird U R wieder herausgenommen und die REchteckspannung (U e ) über die<br />
Ausgangsspannung (U a = U C ) gelegt<br />
• da die Zeitkonstante unabhängig von der Frequenz ist und nur von R und C abhängt, kann die<br />
Frequenz so verändert werden, dass möglichst viel Spannung am Ausgang noch anliegt (Tiefpassfilter<br />
⇒ tiefere Frequenzen einstellen)<br />
• so fällt weniger Spannung ab und die ZEitkonstante kann genauer ermittelt werden
1.2.2 Berechnungen/Vorbetrachtungen<br />
Folgende Bedingung gilt es zu erfüllen:<br />
3 · R · C = t i (1)<br />
Da es sich bei unserer Schaltung um einen Tiefpassfilter handelt, der hohe Frequenzen herausfilter, muss<br />
die Frequenz der eingehenden Rechteckspannung hinreichend klein sein.<br />
Des Weiteren ist darauf zu achten, dass der Innenwiderstand des Generators (R i = 50Ω) und die Eingangskapazität<br />
des Oszillografen (C O = 13pF ) vernachlässigbar sind.<br />
Gewählte Frequenz:<br />
Gewählter Widerstand:<br />
Daraus resultierende Kapazität:<br />
f = 50Ω<br />
R = 10000Ω<br />
C = 0.67µF<br />
1.2.3 Ergebnisse/Auswertung:<br />
Abbildung 2: <strong>RC</strong>-Schaltkreis: oben: U e , mittig: U R , unten: U a<br />
Der Einfluss des Kondensators tritt deutlich zutage. Mit exponentiellem Verlauf nimmt die Ausgangsspannung<br />
ab bzw. zu, welches vom Entladen bzw. Aufladen des Kondensators herrührt.
1.3 Zeitkonstante τ<br />
1.3.1 Durchführung:<br />
• für die Zeitkonstante wird U R wieder herausgenommen und die REchteckspannung (U e ) über die<br />
Ausgangsspannung (U a = U C ) gelegt<br />
• da die Zeitkonstante unabhängig von der Frequenz ist und nur von R und C abhängt, kann die<br />
Frequenz so verändert werden, dass möglichst viel Spannung am Ausgang noch anliegt (Tiefpassfilter<br />
⇒ tiefere Frequenzen einstellen)<br />
• so fällt weniger Spannung ab und die ZEitkonstante kann genauer ermittelt werden<br />
1.3.2 Berechnungen/Vorbetrachtungen:<br />
Die Zeitkonstante gibt den Zeitraum an, wann die Spannung auf 1 e<br />
abgefallen ist.<br />
Sie ist frequenzunabhängig und berechnet sich wie folgt:<br />
1.3.3 Ergebnisse/Auswertung:<br />
τ = R · C<br />
In Abb. (3) wurde die Rechteck-Eingangsspannung und die Ausgangsspannung (U a = U C ) aufgetragen.<br />
Bei U C ist zu sehen, wie die Spannung über den Kondensator exponentiell abfällt.<br />
Aus Abb. 3 kann nun die Zeitkonstante τ berechnet werden.<br />
Abbildung 3: <strong>RC</strong>-Schaltkreis: oben: U e , mittig: U R , unten: U a<br />
Die Zeitkonstante gibt an, wann die Spannung auf 1 e<br />
abgefallen ist.<br />
Anhand der Zeitfenster, die der Oszilloskop angibt, kann nun die Zeitkonstante ermittelt werden.<br />
Es ergibt sich ein experimentell ermittelter Wert von:<br />
Der theoretisch berechnete Wert liegt bei:<br />
τ exp = 6.8ms<br />
τ theo = R · C = 10000Ω · 0.67pF = 0.67ms
2 Kompensierter Spannungsteiler<br />
2.1 Spannungsteiler<br />
2.1.1 Theorie<br />
Die Schaltung eines frequenzkompensierten Spannungsteiler setzt sich aus zwei festen Widerständen,<br />
einem regelbaren Widerstand und einer regelbaren Kapazität zusammen.<br />
Abbildung 4: Schaltbild frequenzkompensierter Spannungsteiler<br />
Dabei wurde folgendes Modul verwendet.<br />
Abbildung 5: verwendetes Modul zum Aufbau des Spannungsteilers<br />
Die Ausgangsspannung U a wird dabei über den nicht-regelbaren Kondensator abgegriffen.<br />
2.1.2 Durchführung<br />
• Schaltung gemäß Abb. 4 aufbauen<br />
• der regelbare Kondensator kommt dabei an der Phase die Frequenzgenerators (siehe Abb. 5)<br />
• mithilfe eines Schraubenziehers kann man den regelbaren Widerstand verändern<br />
• über das -Schwungrad- kann der regelbare Kondensator variiert werden<br />
• der regelbare Kondensator kann über über das Einschieben einer größerer Fläche (drehbar gelagert)<br />
variiert werden<br />
• der Widerstand und der Kondensator werden nun so eingestellt, dass sich ein Spannungsverhältnis<br />
U e<br />
U a<br />
= 5 1 einstellt
• als Eingangsspannung wurde abermals eine Rechteckspannung verwendet<br />
• da dieser Spannungsteiler frequenzkompensiert ist, bleibt das Verhältnis U e<br />
= 5 für alle Frequenzen<br />
U a 1<br />
gleich (bei entsprechender Kompensation mithilfe des Kondensators)<br />
2.1.3 Ergebnisse/Auswertung:<br />
Abbildung 6: Funktion eines Spannungsteilers: oben: U e , mitte: U a unten: FFT<br />
Mithilfe der Cursur-Tasten am Oszilloskopen kann nun das Spannungsverhältnis ermittelt werden:<br />
Ausgangsspannung:<br />
eingestellte Eingangsspannung:<br />
∆V = 2.125 = U a<br />
∆V = 10.63 = U e<br />
Dies ergibt ein Spannungsverhältnis:<br />
U e<br />
= 10.63<br />
U a 2.125 = 5.002<br />
Des Weiteren wurde für unterschiedliche Frequenzen dieses Verhältnis überprüft.<br />
f 1 = 20Hz<br />
f 2 = 100Hzsiehe Abb. 6<br />
f 3 = 1200Hz<br />
Für alle Frequenzen blieb das Spannungsverhältnis gleich.
2.2 Fourierspektren<br />
2.2.1 Durchführung<br />
• der regelbare Kondensator wird variiert<br />
• dabei wird der Kondensator<br />
– 1) optimal eingestellt (Ausgangsspannung besitzt Rechteckform)<br />
– 2) maximale Kapazität (die senkrechten Kanten der rechteckförmigen Ausgangsspannung flachen<br />
ab [verschmieren])<br />
– 3) minimale Kapazität (die waagerechten Kanten verschmieren, Zacken an den senkrechten<br />
Kantenverläufen)<br />
• zu jedem dieser drei Fälle wird die Ausgangsspannung fourier-zerlegt (FastFourierTransformation)<br />
2.2.2 Ergebnisse/Auswertung:<br />
Alle Fourierspektren wurden bei einer Frequenz von f = 12181 Hz gemessen.<br />
Abbildung 7: Fourierspektrum bei optimaler Kompensation<br />
In Abb. 7 ist zu sehen, dass die Ausgangsspannung (mittlere Kurve) eine sehr exakte Rechteckspannung<br />
darstellt. Deutlich aus dem Fourierspektrum zu sehen, ist, dass sich die Rechteckspannung aus dem<br />
Vielfachen einer bestimmten Frequenz zusammensetzt.
Abbildung 8: Fourierspektrum bei überhöhter Kompensation<br />
In Abb. 8 stellt die Ausgangsspannung (mittlere Kurve) keine Rechteckspannung mehr dar. Der Kondensatorfläche<br />
wurde größtmöglichst recuziert. Die senkrechten Verläufe der Rechteckspannung sind überspitzt.<br />
Die waagerechten Anteile werden jedoch sehr gut dargestellt.<br />
Es ist zu erkennen, dass die Amplituden im Fourierspektrum bei den tiefen Frequenzen leicht höher liegen,<br />
als in Abb. 7. Tiefe Frequenzen werden bei dieser Konstellation von Kondensator und Widerstand sehr<br />
gut passiert.<br />
Abbildung 9: Fourierspektrum bei nicht ausreichender Kompensation<br />
In Abb. 9 wurde der Kondensator mit maximaler Fläche in den Stromkreis geschalten. Die Ausgangsspannung<br />
stellt demzufolge keine Rechteckspannung mehr dar. Die waagerechten Anteile verschmieren<br />
exponentiell.
Abbildung 10: Fourierspektrum bei nicht ausreichender Kompensation - Ausschnitt<br />
In Abb. 10 ist dieser Verlauf deutlicher zu erkennen. Das Fourierspektrum in Abb. 9 zeigt deutlich<br />
Abweichungen zu den anderen Spektren. Die Amplituden der tiefen Frequenzen im Fourierspektrum sind<br />
deutlich geringer als bei den anderen Spektren.<br />
3 Wien-Brücke<br />
3.1 Vorbetrachtungen:<br />
Abbildung 11: Schaltkreis einer Wien-Brücke<br />
Zur Realisierung der Schaltung steht folgendes Modul zur Verfügung:<br />
Abbildung 12: Modul zur Realisierung einer Wien-Brücke
C-R-Reihenschaltung:<br />
C-R-Parallschaltung:<br />
Z 1 = R + 1<br />
j ω C<br />
1<br />
Z 2 =<br />
1<br />
R + j ω C<br />
Das Spannungsverhältnis ergibt sich zu:<br />
U a<br />
U e<br />
=<br />
Z 2<br />
Z 1 + Z 2<br />
⇒ U a<br />
U e<br />
=<br />
=<br />
1<br />
( ( )<br />
1<br />
R + j ω C) R + 1<br />
j ω C + 1<br />
( 1 R +j ω C)<br />
1<br />
1 + 1<br />
j ω R C + j ω R C + 1 + 1 (2)<br />
3.2 Durchführung:<br />
• Aufbau gemäß Schaltung 11<br />
• die Phaseverschiebung und somit auch das Übertragungsverhältnis ist nun frequenzabhängig<br />
• die Eingangsfrequenz ist nun so zu variieren, dass die Phasenverschiebung ±45 ◦ und 0 ◦ wird<br />
• für jede dieser Frequenzen ist das Übertragungsverhältnis U a<br />
U e<br />
zu berechnen<br />
3.3 Berechnungen/Vorüberlegungen:<br />
Bei einer Phasenverschiebung von ϕ = 0 ◦ verschwindet der Imaginärteil und es folgt aus (2):<br />
Damit dieser Zustand erreicht wird, muss gelten:<br />
(2) und ϕ = 0 ◦ ⇒ U a<br />
U e<br />
= 1 3<br />
1<br />
j ω R C + j ω R C = 0<br />
⇒ ω = 2 π f = 1<br />
R C<br />
⇒ f =<br />
1<br />
R C 2 π<br />
Zum Aufbau der Wien-Brücke wurde ein Modul mit folgenden Widerständen und Kapazitäten verwendet:<br />
(3)<br />
R = 10000 Ω<br />
C = 10 nF
Aus Gleichung (3) ergibt sich somit für die Frequenz:<br />
(3) ⇒ f = 1592Hz<br />
Die Phaseverschiebung von ϕ = 0 ◦ sollte demnach bei einer Frequenz von ≈ 1600 Hz auftreten.<br />
3.4 Ergebnisse/Auswertung:<br />
Über eine Peak-to-Peak-Messung konnte sowohl die Eingangsspannung als auch die Ausgangsspannung<br />
am Oszilloskopen angezeigt werden.<br />
Zusätzlich wurde selbstverständlich die Phasenverschiebung ϕ mit angezeigt.<br />
3.4.1 Phasenverschiebung ϕ = 0 ◦<br />
Abbildung 13: Spannungsverhältnis bei f=1798 Hz - Phase=0<br />
Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = 0 ◦ ereicht wurde:<br />
f ϕ=0 ◦ = 1798 Hz<br />
Das Übertragungsverhältnis ergibt sich zu:<br />
U a<br />
U e<br />
= 3.75V<br />
11.41V = 0.33
3.4.2 Phasenverschiebung ϕ = +47.29 ◦<br />
Abbildung 14: Spannungsverhältnis bei f=8474 Hz - Phase=+47.3<br />
Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = +47.29 ◦ ereicht wurde:<br />
f ϕ=+47.29 ◦ = 8474 Hz<br />
Das Übertragungsverhältnis ergibt sich zu:<br />
U a<br />
= 2.031V<br />
U e 11.25V = 0.18<br />
3.4.3 Phasenverschiebung ϕ = −45 ◦<br />
Abbildung 15: Spannungsverhältnis bei f=501 Hz - Phase=-45<br />
Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = −45 ◦ ereicht wurde:<br />
f ϕ=−45 ◦ = 501 Hz<br />
Das Übertragungsverhältnis ergibt sich zu:
U a<br />
U e<br />
= 2.625V<br />
11.41V = 0.23<br />
3.5 Vergleich der drei Frequenzen<br />
Phasenversch. ϕ in ◦ Frequenz f in Hz Übertragungsverh. U a<br />
U e<br />
0 ◦ 1798 0.33<br />
+47.29 ◦ 8474 0.18<br />
−45 ◦ 501 0.23<br />
Wie aus Gleichung (2) zu erwarten, ist das Übertragungsverhalten maximal bei einer Phasenverschiebung<br />
von ϕ = 0 ◦ .<br />
Des Weiteren ist nach (2):<br />
U a<br />
U e<br />
= 1 3<br />
Mit dem experimentell ermittelten Wert von Ua<br />
U e<br />
= 0.33 konnte der theoretisch berechnete Wert sehr gut<br />
nachgewiesen werden.<br />
Nach der Gleichung (3) müsste die Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = 0 ◦ beträgt,<br />
betragen.<br />
Die von mir ermittelte Frequenz<br />
weicht um<br />
f ≈ 1600<br />
f ϕ=0 ◦ ≈ 1800 Hz<br />
∆f ≈ 200 Hz<br />
vom theoretisch berechneten Wert ab.<br />
Da das Übertragungsverhältnis U a<br />
= 0.33 sehr genau ermittelt werden konnte, und somit der Punkt<br />
U e<br />
mit einer Phasenverschiebung von ϕ = 0 ◦ sehr genau lokalisiert wurde, muss die deutlich abweichende<br />
Frequenz von ungenauen Werten bzgl. des Widerstands und/oder der Kapazität herrühren.