Das elektrostatische Feld

Das elektrostatische Feld
1.8 Das elektrostatische Potential
Auf eine Punktladung Q wird im äusseren elektrischen Feld eine Kraft ausgeübt.
Für die Verschiebung von Q von P 0 nach P 1 muss
Arbeit gegen die Feldkräfte verrichtet werden.
ds
E
F = QE
P1
P1
W = − ∫ Fds = −Q ∫ Eds
e
P0 P0
Die Arbeit ist nicht vom gewählten Weg, sondern nur von P 0 und P 1 abhängig.
1-29

Das elektrostatische Feld
Sonderfall
Bewegung der Punktladung Q entlang eines
geschlossenen Weges
ds
E
F = QE
W = − Q ∫ Eds + ( − Q ∫ Eds) = − Q∫
Eds = 0
e
C1 C2
C
Die Punktladung befindet sich nach dem Umlauf wieder am
Ausgangspunkt, die Energie des Systems ist unverändert.
∫
Eds = 0
C
Im elektrostatischen Feld verschwindet das entlang einer geschlossenen Kontur
gebildete Umlaufintegral der el. Feldstärke.
1-30

Das elektrostatische Feld
∫
Eds = 0
C
Die elektrischen Feldlinien beginnen bei den positiven und
enden bei den negativen Ladungen.
Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld.
Wie für das Gravitationsfeld kann man eine potentielle
Energie der Ladung definieren.
Potentielle Energie einer Ladung Q
Elektrostatisches Potential
Dimension
P1
W = Q[ ∫ ( −E) ⋅ ds] = Q[ ϕ ( P ) −ϕ
( P )]
e e 1 e 0
P0
[ W
e] = VAs = Ws = J
W e ist eine skalare Grösse und beschreibt nur die Änderung
der potentiellen Energie gegenüber P 0 .
Jeder Punkt des Raumes kann durch ein elektrostatisches
Potential oder eine Potentialdifferenz charakterisiert
werden.
1-31

Das elektrostatische Feld
Der Potentialbezugspunkt P 0 kann willkürlich, z.B. der Erde oder
der unendlich fernen Hülle zugeordnet werden.
ϕ ( P ) = 0
e
0
Absolute potentielle Energie einer Punktladung Q in P 1
P1
We = Q[ ∫ ( −E) ⋅ ds] = Q[ ϕe( P1) − ϕe( P0)] = Qϕe( P1)
P0
0
Absolutes Potential in P 1
W( 1
1)
P
e
P
ϕ
e( P1
) = = − ∫ E ⋅ds
Q
P0
Das elektrostatische Potential von P 1 berechnet sich als Quotient der Arbeit die nötig
ist um die Ladung an P 1 zu bringen.
1-32

Das elektrostatische Feld
Potential einer Punktladung
Positive Ladung im Ursprung
des Koordinatensystems
Arbeit um eine zweite Punktladung Q 1 von r=r 1 entgegen der Feldrichtung nach
r=r 2 0
e
1-33

Das elektrostatische Feld
Anfangspunkt r 1 auf der unendlich fernen Hülle
r → ∞
1
Q
W = e
Q Qϕ
( r )
4πε
r
=
1 1 e 2
0 2
ϕ ( r )
e
2
=
Q
4πε
r
0 2
Um zwei Ladungen gleichen Vorzeichens näher
zusammen zu bringen, ist Arbeit aufzubringen.
Das Verschieben einer Ladung zwischen Punkten
gleichen Potentials erfordert keine Arbeit.
Flächen konstanten Potentials sind konzentrisch um
die Punktladung angeordnet.
1-34

Das elektrostatische Feld
1.8 Äquipotentialflächen
P 0
E
ds
P 1
Feldbild einer
Punktladung mit gleichen
Potentialdifferenzen der
Äquipotentiallinien
Schnittlinien der Äquipotentialflächen
mit der Zeichenebene werden als
Äquipotentiallinien bezeichnet.
Feldlinien stehen an jeder Stelle
senkrecht auf Äquipotentialflächen.
P1
ϕ ( P ) − ϕ ( P ) = 0= −∫
E ⋅ds
e
1 e 0
P0
Im elektrostatischen Feld nimmt jeder Leiter ein konstantes Potential an. Seine
Oberfläche wird zur Äquipotentialfläche auf der die Feldstärke senkrecht steht.
1-35

Das elektrostatische Feld
Auch bei nicht verschwindender Gesamtladung eines Leiters ist das Leiterinnere im
Bereich der Elektrostatik stets feldfrei.
1.9 Die elektrische Spannung
Dimension [U] = V
Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten
P1
P2
P0
P2
P2
ϕ ( P ) − ϕ ( P ) = −∫ E ⋅ds −( −∫ E ⋅ ds)
= ∫ E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ds
e
1 e 2
P0 P0 P1 P0 P1
Das Ergebnis ist unabhängig
vom Bezugspunkt P 0 und wird
als elektrische Spannung
zwischen P 1 und P 2 bezeichnet.
Die elektrische Spannung ist gleich
der bei Verschiebung einer Ladung
von P 1 nach P 2 pro Ladungseinheit
gewinnbaren Energie.
P 2
U = ϕ ( P ) − ϕ ( P ) = ∫ E ⋅ds
12 e 1 e 2
P1
1
P2 1
P2
W12
U12
= ∫ QE ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds =
Q P1 Q P1
Q
1-36

Das elektrostatische Feld
St. Petersburg, 6. August 1783. Prof. Richman und
sein Assistent werden vom Blitz getroffen,
während sie gewitterelektrische Versuche machen.
Der Assistent entkam nahezu unverletzt, während
Richmann auf der Stelle tot war.
Die Untersuchung erbrachte: "An seiner Stirne
bemerkte man einen roten Fleck, [...] Der linke
Schuh war verbrannt und durchlöchert. [...] Man
fand die Hirnschale ganz, das Gehirn so gesund
als es nur sein kann, den Vorderteil der Lunge
gesund, den hinteren von schwarz-brauner Farbe
und Blut gefüllt„. Die wissenschaftliche Welt war
schockiert.
1-37

Das elektrostatische Feld
1.10 Die elektrische Flussdichte
Für eine positive Punktladung ist die Feldstärke
proportional dem Verhältnis der Ladung zur
Oberfläche A k einer umschliessenden Kugel.
Q
ε0E= erε0Er( r)
= er
2
4π
r
Es gilt also
Q Q
∫∫ ε0E ⋅ dA = ∫∫ ε0E ⋅ erdA = ∫∫ er e
2 rdA 2 dA Q
AK AK AK 4πr
⋅ = ∫∫
4πr
=
AK
dA = e dA vektorielles Flächenelement; in Richtung
r
senkrecht zur Fläche nach aussen orientiert
Wir definieren als
el. Flussdichte ε E=
D
As
0 [ D ] =
2
m
Somit folgt für den
elektrischen Fluss:
Ψ =
A
D ⋅ dA
∫∫ [ Ψ ] = As
1-38

Das elektrostatische Feld
Allgemein lässt sich für eine beliebig geformte Hüllfläche
und beliebige Ladungsverteilung beweisen:
Ψ = ∫∫
D ⋅ dA = Q
A
ψ
… ist also ein Mass für die im umschlossenen Volumen vorhandene Ladungsmenge.
Beispiel
Parallel angeordnete
homogene Flächenladungen
der Dichten ± σ
2DdA = dQ = σ dA
D+ σ
=
D σ
+
2
σ
D + σ
σ
D+ σ
= −e y
2
σ
D+ σ
= + e y
2
σ
D− σ
= + e y
2
σ
D+ σ
= −e y
2
D= D+ + D−
= e y
σ σ
σ
1-39

Das elektrostatische Feld
1.12 Feldstärke an leitenden Oberflächen
Wir betrachten eine leitende metallische Kugel
mit Gesamtladung Q>0.
Für die Flussdichte folgt nach Integration über
eine Kugelfläche mit r>a
2
∫∫ D⋅ dA = ∫∫ erD( r) ⋅ erdA = D( r) ∫∫
dA = D( r)4π
r = Q
A A A
Q
Dr ( ) = ε
0Er
( ) =
2
4π
r
Da ( ) = ε Ea ( ) = σ
0
► Im Aussenraum erzeugt die Kugel also dasselbe
Feld wie eine Punktladung Q im Ursprung.
► Im Inneren ist die Kugel feldfrei.
► Die Ladungen sind auf der Kugeloberfläche
homogen als Flächenladung verteilt.
► Die Flussdichte an der Oberfläche ist gleich der
Flächenladung.
Q
σ = =
A
K
Q
2
4π
a
1-40

Das elektrostatische Feld
1.13 Influenz
Ein leitender Körper nimmt in einem externen el. Feld ein konstantes Potential an
und ist in seinem Inneren feldfrei.
1.13.1 Dünne leitende Platten im homogenen Feld
► Aufgrund der Anziehungskräfte konzentrieren sich die Ladungsträger auf der
Innenseite der Platten;
► weiters ist nur mit dieser Position Feldfreiheit in den Platten erreichbar
► Zwischen den Platten zeigt das Feld näherungsweise homogenen Verlauf.
Näherungsweise Berechnung
der Feldstärke
Ψ = ∫∫
D⋅ dA = Q
Hüllfläche
DA= σ A
x
± σ = ±
Q
A
Flussdichte
D = ε E = σ
x
0
x
1-41
Streufeld

Das elektrostatische Feld
Wir bringen zwei dünne ungeladene leitende Scheiben in das Feld zwischen den Platten.
Durch das Feld erfolgt eine Trennung der in den Scheiben vorhandenen Ladungsträger.
Nachweis der influenzierten Ladungen:
► Trennung der Platten
► Entnahme aus dem Feld
► Messung der Ladung der einzelnen Platten
Bei sehr geringer Plattendicke wird das ursprüngliche Feld praktisch nicht beeinflusst.
Die influenzierte (verschobene) Ladung ist gleich der Flussdichte
und könnte zur Messung von D x (Verschiebungsdichte ) dienen.
σ =
Dx
1-42

Das elektrostatische Feld
1.13.2 Im leitenden Körper eingeschlossener Hohlraum
Wir betrachten eine ungeladene leitende Hohlkugel mit Punktladung Q im Mittelpunkt.
Durch Influenz bilden sich Flächenladungsverteilungen und aus.
σ
a
σ
b
Die Gesamtladung der Hohlkugel verschwindet
2 2
K
= σa4π + σb4π
= 0
Q a b
Q
σ
a
= −
2
4π
a
Q
σ
b
= +
2
4π
b
2 2
∫∫
D⋅ dA = D( r)4πr = Q + σ 4πa
= 0
Flussdichte im Material der Hohlkugel
verschwindet wegen der verschwindenden A
eingeschlossenen Ladung ( ) 0 für
1-43
→ Dr = a< r<
b
a

Das elektrostatische Feld
► Die influenzierte Flächenladung ist genau gleich der
Normalkomponente der Flussdichte.
► Die Felder der Influenzladungen und der Ladungsverteilungen
kompensieren sich im leitenden Körper, der somit feldfrei ist.
Sonderfall
Die felderzeugenden Ladungen befinden sich ausserhalb,
der Hohlraum ist ladungsfrei.
Nur an der äusseren Oberfläche bilden sind Influenzladungen,
das Leiterinnere und der Hohlraum werden abgeschirmt.
Faraday´scher Käfig,
Michael Faraday, britischer
Physiker (1791- 1867)
Das Konzept findet auch bei Blitzschutzanlagen Anwendung.
► Umkehrung: Elektrostatische Abschirmung eines inneren
Feldes mit geerdeter Hülle (Mikrowellenherd).
1-44

Das elektrostatische Feld
Auch Cabriolets bieten bei
entsprechender Ausführung des Verdecks
(metallische Verdeckstruktur) den
Insassen und der Bordelektronik Schutz
vor Blitzeinschlägen.
Test mit Blitzspannungen bis
1,4 Millionen Volt, der Blitzstrom wird
über das Verdeckgestänge, die
Karosserie und die Reifen zur Erde
abgeleitet.
1-45

Das elektrostatische Feld
1.14 Die dielektrische Polarisation
Wir betrachten eine Plattenanordnung mit konstanter Ladung der äusseren Platten.
+ Q= + σ A − Q= −σ A
Reduzierung der Spannung
zwischen den Platten durch
unterschiedliche Materialien
Bei Einbringen einer leitenden Platte bleibt für konstante
Flächenladung der äusseren Platten die el. Feldstärke unverändert
► Die Spannung verringert sich aufgrund des kürzeren Integrationsweges,
D
E = ε
c
0
U < U
a
1-46

Das elektrostatische Feld
Wir bringen nun homogenes isolierendes Material (Dielektrikum)
gleicher Abmessungen zwischen die Platten und stellen fest:
Ua > Ub > Uc
+ Q= + σ A − Q= −σ A
Reduzierung der Spannung
zwischen den Platten durch
unterschiedliche Materialien
► Im Gegensatz zum Leiter sind die Elektronen im Isolator nicht frei beweglich,
es tritt nur eine Ladungsverschiebung in den atomaren Strukturen auf.
► Durch die äusseren Feldkräfte werden die Atome bzw. Moleküle polarisiert.
1-47

Das elektrostatische Feld
Verschiebungspolarisation:
Die positiven und negativen Ladungsträger oder
räumlich verteilten Ladungen werden durch das äussere
Feld gegeneinander verschoben.
Die an gegenüberliegenden Seiten entgegengesetzt
geladenen Teilchen werden als Dipole bezeichnet.
Verschiebung der
Elektronenhülle gegenüber
dem Kern – Verschiebungsbzw.
Elektronenpolarisation
p = Qd
Dipolmoment
Orientierungspolarisation:
Manche Moleküle besitzen aufgrund
ihres unsymmetrischen Aufbaus ein
permanentes Dipolmoment.
Durch ein äusseres Feld werden
die sonst statistisch orientierten
molekularen Dipolmomente
ausgerichtet - makroskopische
Polarisation
1-48

Das elektrostatische Feld
Drehmoment auf einen Dipol im homogenen Feld:
Die Orientierungspolarisation ist stark temperaturabhängig,
die Temperaturbewegung wirkt der Ausrichtung entgegen.
► Polarisationsladungen: Nicht frei bewegliche Ladungen von Dipolen / Isolatoren.
► Freie Ladungen: Frei bewegliche Ladungen von Metallen.
Während man freie Ladungen voneinander trennen kann ist
eine Trennung von Polarisationsladungen nicht möglich.
Die gesamte Polarisationsladung in einem Dielektrikum ist
daher immer gleich Null ! Im homogenen Feld heben sich
die Wirkungen der ausgerichteten Dipole im Inneren des
Dielektrikums auf.
Die Polarisationsflächenladungen an den Oberflächen sind
Flächenladungen von Leitern vergleichbar.
1-49

Das elektrostatische Feld
Polarisationsflächenladung
Als Folge der Polarisation wird das elektrische Feld im Dielektrikum bei gleicher
Flussdichte schwächer, es verschwindet aber nicht völlig wie beim Leiter.
Die Reduzierung der el. Feldstärke kann durch einen dimensionslosen Faktor, die
relative Dielektrizätszahl erfasst werden
ε r
D= εE=
εε E
r
0
Dielektriziätskonstante
ε=
εε
r 0
Trockene Luft: ε
r
= 1,00059
Destilliertes Wasser: 81
Bariumtitanat: 1000…4000
Papier: 1.2 … 3.0
1-50

Das elektrostatische Feld
1.15 Kräfte im inhomogenen Feld
Homogenes Feld:
Inhomogenes Feld:
Die Kräfte auf die influenzierten positiven und negativen
Ladungsträger eines ungeladenen Leiters oder Dielektrikums
heben sich auf (es kann nur ein Drehmoment auftreten).
Es wirkt eine resultierende Kraft in Richtung zunehmender
Feldstärke.
► Aus der Anziehung zweier Körper kann also nicht auf Gesamtladungen der Körper
unterschiedlichen Vorzeichens geschlossen werden.
► Umgekehrt ist Abstossung ein Indikator für vorhandene Gesamtladung.
1-51

Das elektrostatische Feld
1.17 Die Kapazität
Wird die Ladung auf parallelen Platten um einen Faktor k
erhöht, ±Q → ±kQ, steigt die el. Flussdichte und damit die
el. Feldstärke bzw. Spannung proportional.
Der Proportionalitätsfaktor wird
als Kapazität C bezeichnet:
Dimension
As
[ C ] = = F (Farad)
V
Q U → Q = CU
Die Kapazität C ist das Verhältnis von aufgenommener Ladung Q und angelegter
Spannung U, charakterisiert also die Fähigkeit einer Anordnung Ladung zu speichern.
ε
0 E dA
Q ∫∫ ⋅
Q = ∫∫ D⋅
dA
C = = A
A
U ∫ E ⋅ ds
U = ∫ E⋅
ds
Die Kapazität erlaubt mit integralen Grössen (Spannung, Ladung) anstelle dreidimensionaler
Feldverteilungen zu rechen !
s
s
1-52

Das elektrostatische Feld
► Kapazität:
► Kondensator:
Eigenschaft einer Anordnung (Fassungsvermögen)
Anordnung (Bauelement), z.B. Plattenkondensator
1.17.1 Der Plattenkondensator
Die Ladungen ±Q sind als Flächenladungen ±σ = ±Q /A auf den Platten verteilt.
El. Feldstärke mit
Dielektrikum
Spannung
D σ Q
E = = =
εε εε εε A
r 0 r 0 r 0
Q
Q
U = Ed = d C
εεA
→ = U
0 r
A
εε
r
A ε A
C = =
d d
Kapazität
0
Die (lineare) Kapazität ist nur von der Geometrie und
den Materialeigenschaften abhängig.
U = Ed
1-53